北师版八年级数学下册-5-1～5-3阶段测试

北师版八年级数学下册-5-1～5-3阶段测试

5．1～5.3 阶段测试 (时间：120 分钟满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．上复习课时，张老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：1 m ，1 3 ，1 2 ＋x 5 ，x π， 1 a＋b ， 请你判断一下其中正确的有(A) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．(葫芦岛中考)若分式x2－1 x＋1 的值为 0，则 x 的值为(B) A．0B．1C．－1D．±1 3．分式x3 x ，3a＋1 3a＋b ，m＋n m2－n2 ，2－2x 2x 中，最简分式的个数是(A) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．计算（x＋y）2－（x－y）2 4xy 的结果为(A) A．1B.1 2C.1 4D．0 5．(达州期中)若将分式a＋b 4a2 中的 a 与 b 的值都扩大为原来的 2 倍，则这个分式的值将(C) A．扩大为原来的 2 倍 B．分式的值不变 C．缩小为原来的 1 2D．缩小为原来的1 4 6．化简 m2 m－3 － 9 m－3 的结果是(A) A．m＋3B．m－3 C.m－3 m＋3 D.m＋3 m－3 7．(河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能 看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图 所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是(D) A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 8．已知 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，则( a ab－b2 － b ab－a2)÷a2＋b2 ab 的值为(B) A．1B.1 4C. 5 2 D. 5 10 9．甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地，如果甲的速度 v 保持不变，而乙先用 1 2v 的速 度到达中点，再用 2v 的速度到达 B 地，那么下列结论中正确的是(B) A．甲、乙同时到达 B 地 B．甲先到达 B 地 C．乙先到达 B 地 D．谁先到达 B 地与速度 v 有关 10．(孝感中考)已知 x＋y＝4 3，x－y＝ 3，则式子(x－y＋ 4xy x－y )(x＋y－ 4xy x＋y )的值是(D) A．48B．12 3C．16D．12 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．(江西中考)若分式 1 x－1 有意义，则 x 的取值范围为 x≠1. 12．分式 1 2a2b 与 1 ab2 的最简公分母是 2a2b2. 13．不改变分式 2－x2 －1－x 的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数是正数：x2－2 x＋1 . 14．(包头中考)化简：x2－4x＋4 x2＋2x ÷( 4 x＋2 －1)＝－x－2 x . 15．已知1 a ＋1 b ＝4，则 a－3ab＋b 2a＋2b－7ab ＝1. 16．某单位全体员工在植树节义务植树 240 棵．原计划每小时植树 m 棵，实际每小时 植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多 10 棵，那么实际比原计划提前了 2400 m2＋10m 小时完 成任务．(用含 m 的代数式表示) 三、解答题(共 72 分) 17．(16 分)计算： (1)3a2b· 5 12ab2 ÷(－5a 4b)； 解：原式＝－1 (2)(陇南中考) b a2－b2 ÷( a a－b －1)； 解：原式＝ 1 a＋b (3)(十堰中考) 1 a－1 － 1 a2＋a ÷ a2－1 a2＋2a＋1 ； 解：原式＝1 a (4)(2a2＋2a a2－1 － a2－a a2－2a＋1 )÷ 2a a－1 . 解：原式＝1 2 18．(6 分)(常德中考)先化简，再求值：( 1 x＋3 ＋ 6 x2－9 )÷ 1 x2－6x＋9 ，其中 x＝1 2. 解：原式＝[ x－3 （x＋3）（x－3） ＋ 6 （x＋3）（x－3）]×(x－3)2＝ x＋3 （x－3）（x＋3） ×(x－ 3)2＝x－3，把 x＝1 2 代入，得原式＝1 2 －3＝－5 2 19．(6 分)(眉山中考)先化简，再求值：(x－1 x －x－2 x＋1 )÷ 2x2－x x2＋2x＋1 ，其中 x 满足 x2－2x －2＝0. 解：原式＝[ x2－1 x（x＋1） － x2－2x x（x＋1）]÷x（2x－1） （x＋1）2 ＝ 2x－1 x（x＋1） · （x＋1）2 x（2x－1） ＝x＋1 x2 ， ∵x2－2x－2＝0，∴x2＝2x＋2＝2(x＋1)，则原式＝ x＋1 2（x＋1） ＝1 2 20．(6 分)按要求化简：(a－1)÷a2－1 a＋1 ·a＋1 ab2 ，并选择你喜欢的整数 a，b 代入求值． 小聪计算这一题的过程如下： 解：原式＝(a－1)÷（a＋1）（a－1） ab2 …① ＝(a－1)· ab2 （a＋1）（a－1） …② ＝ ab2 a＋1 …③ 当 a＝1，b＝1 时，原式＝1 2 …④ 以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第____步(填序号)， 原因：________________________________； 还 有 第 ____ 步 出 错 ( 填 序 号 ) ， 原 因 ： ________________________________________________________________________. 请你写出此题的正确解答过程． 解：①运算顺序错误④a 等于 1 时，原式无意义 原式＝(a－1)· a＋1 （a＋1）（a－1） ·a＋1 ab2 ＝a＋1 ab2 .当 a＝2，b＝1 时，原式＝3 2(答案不唯一， 只要 a 不等于 0，1，－1，b 不等于 0，计算正确即可) 21．(6 分)在数学课上，老师对同学们说：“你们任意说出一个 x 的值(x≠－1，1，－2)， 我立刻就知道式子(1＋ 1 x＋1 )÷ x＋2 x2－1 的结果．”请你说出其中的道理． 解：∵原式＝x＋1＋1 x＋1 ÷ x＋2 （x＋1）（x－1） ＝x＋2 x＋1 ·（x＋1）（x－1） x＋2 ＝x－1， ∴只要学生说出 x 的值，老师就可以说出答案 22．(7 分)现有大小两艘轮船，小船每天运 x(x＞40)吨货物，大船比小船每天多运 10 吨 货物．现在让大船完成运送 100 吨货物的任务，小船完成运送 80 吨货物的任务． (1)分别写出大船、小船完成任务用的时间；(3 分) (2)试说明哪艘轮船完成任务用的时间少？(4 分) 解：(1)大船完成任务的时间为 100 x＋10 天，小船完成任务的时间为80 x 天 (2) 100 x＋10 －80 x ＝20（x－40） x（x＋10） ，∵x＞40，∴ 100 x＋10 >80 x ，即小船所用时间少 23．(7 分)课堂上，李老师提出这样一个问题：已知 x＋3 （x－2）2 ＝ A x－2 ＋ B （x－2）2 ，求 整数 A，B 的值． 小明回答了解题思路：首先对等式右边进行通分，得A（x－2）＋B （x－2）2 ，即Ax－2A＋B （x－2）2 利 用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组 A＝1， －2A＋B＝3， 解这个方程组即可求出整数 A，B 的值． 李老师肯定了小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题： 已知 3x－4 x2－3x＋2 ＝ A x－1 ＋ B x－2 ，求整数 A，B 的值． 解：已知等式整理得 3x－4 x2－3x＋2 ＝A（x－2）＋B（x－1） x2－3x＋2 ，可得 3x－4＝(A＋B)x－2A －B，∴ A＋B＝3， 2A＋B＝4， 解得 A＝1， B＝2 24．(8 分)(梧州中考)解不等式组 3x－6≤x， 4x＋5 10 ＜x＋1 2 ，并求出它的整数解，再化简代数式 x＋3 x2－2x＋1 ·( x x＋3 － x－3 x2－9 )，从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． 解：解不等式 3x－6≤x，得 x≤3，解不等式4x＋5 10 ＜x＋1 2 ，得 x＞0，则不等式组的解 集为 0＜x≤3，所以不等式组的整数解为 1，2，3，原式＝ x＋3 （x－1）2 ·[ x2－3x （x＋3）（x－3） － x－3 （x＋3）（x－3）]＝ x＋3 （x－1）2 ·（x－1）（x－3） （x＋3）（x－3） ＝ 1 x－1 ，∵x≠±3，1，∴x＝2，则原式 ＝1 25.(10 分)阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式－x4－x2＋3 －x2＋1 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式． 解：由分母为－x2＋1，可设－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b 则－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)． ∵对于任意 x，上述等式均成立，∴ a－1＝1， a＋b＝3， ∴a＝2，b＝1.∴－x4－x2＋3 －x2＋1 ＝ （－x2＋1）（x2＋2）＋1 －x2＋1 ＝（－x2＋1）（x2＋2） －x2＋1 ＋ 1 －x2＋1 ＝x2＋2＋ 1 －x2＋1 . 这样，分式－x4－x2＋3 －x2＋1 被拆分成了一个整式(x2＋2)与一个分式 1 －x2＋1 的和． 解答： (1)将分式－x4－6x2＋8 －x2＋1 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式；(3 分) (2)试求－x4－6x2＋8 －x2＋1 的最小值；(3 分) (3)如果2x－1 x＋1 的值为整数，求 x 的整数值．(4 分) 解：(1)由分母为－x2＋1，可设－x4－6x2＋8＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b，则－x4－6x2＋8＝(－ x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)，∵对于任意 x，上述等式 均 成 立 ， ∴ a－1＝6， a＋b＝8， ∴ a ＝ 7 ， b ＝ 1 ， ∴ －x4－6x2＋8 －x2＋1 ＝ （－x2＋1）（x2＋7）＋1 －x2＋1 ＝ （－x2＋1）（x2＋7） －x2＋1 ＋ 1 －x2＋1 ＝x2＋7＋ 1 －x2＋1 ，这样，分式－x4－6x2＋8 －x2＋1 被拆分成了一个 整式 x2＋7 与一个分式 1 －x2＋1 的和 (2)由－x4－6x2＋8 －x2＋1 ＝x2＋7＋ 1 －x2＋1 知，对于 x2＋7＋ 1 －x2＋1 ，当 x＝0 时，这两个式子 的和有最小值，最小值为 8，即－x4－6x2＋8 －x2＋1 的最小值为 8 (3)2x－1 x＋1 ＝2x＋2－3 x＋1 ＝2（x＋1）－3 x＋1 ＝2－ 3 x＋1 .∵2x－1 x＋1 的值为整数，且 x 为整数；∴x ＋1 为 3 的约数，∴x＋1 的值为 1 或－1 或 3 或－3；∴x 的值为 0 或－2 或 2 或－4