高考数学黄金考点精析精训考点24椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质理

高考数学黄金考点精析精训考点24椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质理

考点 24 椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质 【考点剖析】 1.最新考试说明： (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的简单应用. (5)理解数形结合的思想. 2.命题方向预测： （1）高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三 角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之 间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是 考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判 别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. （2）高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲 线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质， 较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合 性较强. （3）高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物 线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及 准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，过焦点的直线较多. 选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强，涉及直线与抛物线位置关系的解答题 增多. 3.课本结论总结： 1.椭圆的概念 (1)文字形式：在平面内到两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合) 叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合 1 2 1 2P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c. ①若 a c ，则集合 P 为椭圆； ②若 a c ，则集合 P 为线段； ③若 a c ，则集合 P 为空集． 2.椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2 2 22 2 0 0 0a c a b c a b c＞ ， ＝ ＋ ， ＞ ， ＞ ， ＞ 图形 标准方程 2 2 2 2+ =1(a>b>0)x y a b 2 2 2 2 y + =1(a>b>0)x a b 范围 x a y b , x b y a , 对称性 曲线关于 ,x y轴、原点对称 曲线关于 ,x y轴、原点对称 顶点 长轴顶点  ,0a ,短轴顶点  0, b 长轴顶点  0, a ,轴顶点  ,0b 焦点  ,0c  0, c 焦距 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b＝ ＝ 离心率    0,1ce a ＝ ，其中 c＝ 2 2a b 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 22b a 3．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 4. 双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝± b a x y＝± a b x 离心率 e＝ c a ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2 ＋b2 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫作双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|＝2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2 ＝a2 ＋b2 (c>a>0，c>b>0) 5.抛物线方程及其几何性质 图 形 标 准方程 y 2 =2px（p＞0） y 2 =－2px（p＞ 0） x 2 =2py（p＞0） x 2 =－2py（p＞ 0） 顶 点 O（0，0） 范 围 x≥0， y R x≤0， y R y≥0， x R y≤0， x R 对 称轴 x轴 y轴 焦 点 ,0 2 pF       ,0 2 pF      0, 2 pF       0, 2 pF      离 e=1 心率 准 线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  焦 半径 0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF x  0| | 2 pMF y  0| | 2 pMF y  4.名师二级结论： 椭圆： 一条规律 椭圆焦点位置与 x2 ，y2 系数间的关系： 给出椭圆方程 x2 m ＋ y2 n ＝1 时，椭圆的焦点在 x轴上 m＞n＞0；椭圆的焦点在 y轴上 0＜m ＜n. 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x轴还是 y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条 件确定关于 a、b、c 的方程组，解出 a2 、b2 ，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小 距离，且最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c. (2)求椭圆离心率 e时，只要求出 a，b，c的一个齐次方程，再结合 b2 ＝a2 －c2 就可求得 e(0 ＜e＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心 是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 双曲线： 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a、2b 或 2c，从而 求出 a2 、b2 ，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2 、b2 的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 x2 m2 － y2 n2 ＝λ(λ≠0)， 再根据条件求λ的值． 三个防范 (1)区分双曲线中的 a，b，c大小关系与椭圆 a，b，c 关系，在椭圆中 a2 ＝b2 ＋c2 ，而在双曲 线中 c2 ＝a2 ＋b2 . (2)双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e∈(0,1)． 双曲线的标准方程中，对 a、b 的要求只是 a＞0，b＞0 易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要 求相同． 若 a＞b＞0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)； 若 a＝b＞0，则双曲线的离心率 e＝ 2； 若 0＜a＜b，则双曲线的离心率 e＞ 2. (3)双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝± b a x， y2 a2 － x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝± a b x. 抛物线： 一个结论 焦半径：抛物线 y2 ＝2px(p＞0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2 ，0 的距离|PF|＝x0＋ p 2 . 两种方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定 p的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数 p 的值，这里要注意抛物线标准方程有 四种形式．从简单化角度出发，焦点在 x 轴的，设为 y 2 ＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴的，设为 x 2 ＝by(b≠0)． 5.考点交汇展示： （1）与数列交汇 【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】点 在椭圆 上， 是 椭圆的两个焦点， ，且 的三条边 ， ， 成等差数列，则此椭 圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ，由椭圆的定义得： ，∵ 的三条边 成等差数列，∴ ，联立 ， ，解得 ，由余弦定理得： ，将 代入 可得， ，整理得： ，由 ，得 ， 解得： 或 （舍去），故选 D． （2）与导函数及其应用交汇 在直角坐标系 xoy中，曲线 C：y= 2 4 x 与直线 y kx a  ( a＞0)交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 【答案】（Ⅰ） 0ax y a   或 0ax y a   （Ⅱ）存在 【解析】（Ⅰ）由题设可得 (2 , )M a a ， ( 2 2, )N a ，或 ( 2 2, )M a ， (2 , )N a a . ∵ 1 2 y x  ，故 2 4 xy  在 x =2 2a处的到数值为 a，C在 (2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a   ，即 0ax y a   . 故 2 4 xy  在 x =- 2 2a处的到数值为- a，C 在 ( 2 2 , )a a 处的切线方程为 ( 2 )y a a x a    ，即 0ax y a   . 故所求切线方程为 0ax y a   或 0ax y a   . ……5分 （3）与解三角形交汇 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的左焦点为 ,F C与过原点的直线相交于 ,A B两点， 4, . 10, 6,cos ABF , 5 AF BF AB AF C e   连接 若 则 的离心率 = . 【答案】 5 7 【 解 析 】 AFB三角形 中，由余弦定理可得： 2 2 2| | | | | | 2 | || | cosAF AB BF AB BF ABF    代入得： 2 436 | | 100 2 10 | | 5 BF BF      ，解得 | | 8BF  ,由此可得三角形 ABF 为直角三 角形. OF=5，即 c=5.由椭圆为中心对称图形可知：当右焦点为 2F 时， 2AFB BF A   , 2 52 14, 7, 7 a AF AF a e     . (4)与平面向量交汇 【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知 F 是抛物线 2: 4C y x 的焦点， M 是C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点N . 若 1 2 FM MN   ，则 FN   _____． 【答案】5 【考点分类】 热点一 椭圆的标准方程及其几何性质 1.【2016 高考新课标 1文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离 为其短轴长的 1 4 ,则该椭圆的离心率为（ ） （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【答案】B 【解析】如图,由题意得在椭圆中, 1 1OF c,OB b,OD 2b b 4 2      在Rt OFB 中, | OF | | OB | | BF | | OD |   ,且 2 2 2a b c  ,代入解得 2 2a 4c ,所以椭圆得离心率得 1e 2  ,故选 B. y xO B F D 2.【2017 届湖南长沙长郡中学高三上周测】已知点 A、 F 分别是椭圆C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的上顶点和左焦点，若 AF 于圆O： 2 2 4x y  相切于点T ，且点T 是线段 AF 靠近点 A的三等分点，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 2 2 1 18 6 x y   【方法总结】 1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆 2 2 2 2 =1 x y a b  ，有－a≤x≤a，－ b≤y≤b,00)或 m＝ b a ，故离心率有 两种可能. 热点三 抛物线的标准方程及其几何性质 1.【2017 课标 1，理 10】已知 F为抛物线 C：y 2 =4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 2.【2017 课标 II，理 16】已知 F 是抛物线C: 2 8y x 的焦点，M 是C上一点， FM 的延 长线交 y 轴于点 N 。若M 为 FN 的中点，则 FN  。 【答案】6 【解析】 试题分析： 如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x轴交于点 'F ，做MB l 与点 B， NA l 与点 A ， 【方法总结】 1.抛物线的定义实质上是一种转化思想即 2．抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离． 3．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用．注意定义在解题中的应 用.研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面 几何性质的应用. 【热点预测】 1.【2017课标3，理5】已知双曲线C： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 5 2 y x , 且与椭圆 2 2 1 12 3 x y   有公共焦点，则 C 的方程为（ ） A． 2 2 1 8 10 x y   B． 2 2 1 4 5 x y   C． 2 2 1 5 4 x y   D． 2 2 1 4 3 x y   【答案】B 【解析】双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 by x a   ， 椭圆中： 2 2 2 2 212, 3, 9,c 3a b c a b       ，椭圆，即双曲线的焦点为  3,0 ， 据此可得双曲线中的方程组： 2 2 2 5 2 3 b a c a b c         ，解得： 2 24, 5a b  ， 则双曲线C 的方程为 2 1 4 5 x y   . 2.【2018 届河南省新乡市第一中学高三 8月月考】已知实数 4, ,9m 构成一个等比数列，则圆 锥曲线 2 2 1x y m   的离心率为 ( ) A. 30 6 B. 7 C. 30 6 或 7 D. 5 6 或 7 【答案】C 【解析】由已知得 6m   ，当 6m  ,则圆锥曲线是椭圆， 6, 1, 5a b c   ，离心 30 6 ce a   ； 当 6m   时则是双曲线， 1, 6, 7a b c   a=1，离心率 7ce a   ,故选 C. 3.【2018 届南宁市高三摸底】已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 ，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆方程，由点差法可知 代入 k=1,M(-4,1),解得 ，选 C. 4.【2018 届河南省中原名校高三第三次考评】已知点  1 1,P x y 是椭圆 2 2 1 25 16 x y   上的一点， 1F ， 2F 是焦点，若 1 2F PF 取最大时，则 1 2PF F 的面积是（ ） A. 16 3 3 B. 12 C.  16 2 3 D.  16 2 3 【答案】B 【解析】∵椭圆方程为 2 2 1 25 16 x y   5, 4 25 16 3a b c     ， ，因此，椭圆的焦点坐标为 1 23 0 3 0F F（ ，）、 （ ，）． 根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时， 1 2F PF 取最大值，则此时 1 2PF F 的面积 12 3 4 12 2 S      故选 B. 5.【2016 高考新课标 3 文数】已知O为坐标原点， F 是椭圆C： 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的 左焦点， ,A B分 别为C的左，右顶点.P为C上一点，且 PF x 轴.过点 A的直线 l与线段 PF交于点M ， 与 y轴交于点 E .若直线 BM 经过OE的中点，则C的离心率为（ ） （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【答案】A 【解析】由题意设直线 l的方程为 ( )y k x a  ，分别令 x c  与 0x  得点 | | ( )FM k a c  ， | |OE ka ，由 OBE CBM  ，得 1 | | | |2 | | | | OE OB FM BC  ，即 2 ( c) ka a k a a c    ，整理，得 1 3 c a  ， 所以椭圆离心率为 1 3 e  ，故选 A． 6.【2016 高考新课标 1 卷】已知方程 2 2 2 2 1 3 x y m n m n     表示双曲线,且该双曲线两焦点间 的距离为 4,则 n 的取值范围是( ) （A）  1,3 （B）  1, 3 （C）  0,3 （D）  0, 3 【答案】A 【解析】 2 2 2 2 1 3 x y m n m n     表示双曲线,则   2 23 0m n m n   ∴ 2 23m n m   ,由双曲线性质知：    2 2 2 23 4c m n m n m     ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2 2 2 4c m   ,解得 1m  ,∴ 1 3n   ,故选 A． 7.【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1： 2 2 x m +y2 =1(m>1)与双曲线 C2： 2 2 x n –y2 =1(n>0)的焦点重 合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则（ ） A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m1 D．m0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心， b为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°，则 C 的离心率 为________. 【答案】 2 3 3 【解析】试题分析： 【考点】双曲线的简单性质. 13.【2017 浙江，21】如图，已知抛物线 2x y ，点 A 1 1( ) 2 4  ， ， 3 9( ) 2 4 B ， ，抛物线上的点 ) 2 3 2 1)(,(  xyxP ．过点 B作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求 |||| PQPA  的最大值． 【答案】（Ⅰ） )1,1( ；（Ⅱ） 27 16 【解析】 试题解析： （Ⅰ）设直线 AP 的斜率为 k，则 2 1 2 1 4 12     x x x k ，∵ 1 3 2 2 x   ，∴直线 AP 斜率的取值 范围是 )1,1( ． （Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程 1 1 0, 2 4 9 3 0, 4 2 kx y k x ky k             解得点 Q 的横坐标是 )1(2 34 2 2    k kkxQ ，因为|PA|= 2 11 ( ) 2 k x  = )1(1 2  kk |PQ|= 1 )1)(1()(1 2 2 2    k kkxxk Q ，所以|PA||PQ|= 3)1)(1(  kk 令 3)1)(1()(  kkkf ，因为 2)1)(24()('  kkkf ，所以 f(k)在区间 ) 2 1,1( 上单 调递增， )1, 2 1( 上单调递减，因此当 k= 1 2 时， |||| PQPA  取得最大值 27 16 ． 14.已知椭圆 E： 2 2 2 2 1(a 0)x y b a b + = > > 过点 (0, 2），且离心率为 2 2 ． (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)设直线 1x my m R= - Î，( )交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9( 4 - ,0)与以线段 AB 为直径 的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(Ⅰ) 2 2 1 4 2 x y + = ；(Ⅱ) G 9( 4 - ,0)在以 AB 为直径的圆外． 【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得 2 2 2 2, 2 , 2 , b c a a b c ì =ï ï ï =í ï ï = +ïî 解得 2 2 2 a b c ì = ïï =í ï ï =î ， 所以椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 2 x y + = ． (Ⅱ)设点 1 1 2 2( y ),B( , y ),A x x AB 中点为 0 0H( , y )x ． 由 2 22 2 1 (m 2) y 2 3 0, 1 4 2 x my myx y ì = - ï + - - =í ï + = ïî 得 所以 1 2 1 22 2 2 3y + y = , y y = m 2 m 2 m + + ，从而 0 2 2y m 2 = + . 所以 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 9 5 5 25GH| ( ) y (my ) y (m +1) y + my + 4 4 2 16 x= + + = + + = . 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2( ) ( y ) (m +1)( y )|AB| 4 4 4 x x y y- + - - = = 2 2 2 21 2 1 2 0 1 2 (m +1)[( y ) 4 y ] (m +1)(y y ) 4 y y y+ - = = - , 故 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 |AB| 5 25 5 3(m +1) 25 17 2|GH| my (m +1) y 0 4 2 16 2(m 2) m 2 16 16(m 2) m my + - = + + = - + = > + + + 所以 |AB||GH|> 2 ，故 G 9( 4 - ,0)在以 AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.