辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含解析

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辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学(供文科考生使用)‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共6页.满分150分;考试时间:120分钟.‎ ‎2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.‎ ‎3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上,用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.‎ ‎4.考试结来,将答题卡和答题纸一并交回.‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 在复平面内,复数对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:,∴对应的点为,位于第一象限.‎ 考点:复数的乘除和乘方.‎ ‎2. ,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的运算求出集合,再根据并集运算即可求出结果.‎ ‎【详解】因为,所以,所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的并集运算,属于基础题.‎ ‎3. 已知向量,且,则( )‎ - 26 -‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标公式,即可求得.‎ ‎【详解】,,,‎ ‎,解得,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标公式,属于基础题.一般地,如果,,若,则.‎ ‎4. 某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120,150,180,150名高三学生参加某次数学调研考试,为了解学生能力水平,现制定以下两种卷面分析方案:方案①;从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生,从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析.完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是( )‎ A. 分层抽样法、系统抽样法 B. 分层抽样法、简单随机抽样法 C. 系统抽样法、分层抽样法 D. 简单随机抽样法、分层抽样法 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】①四所学校,学生有差异,故①使用分层抽样;‎ ‎②在同一所学校,且人数较少,所以可使用简单随机抽样.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题,属于基础题.‎ ‎(1)系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,在起始部分抽样时采用简单随机抽样;‎ - 26 -‎ ‎(2)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层,然后分层进行抽取,各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样;‎ ‎(3)简单随机抽样适用于样本容量较小的情况,从总体中逐个抽取.‎ ‎5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的恰有一名女同学的概率为( )‎ A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设2名男生为,3名女生为,则任选2人的种数共10种,其中恰有一名女同学共6种,根据古典概型概率计算公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】设2名男生为,3名女生为, 则任选2人的种数为共10种,其中全是女生为共6种, 故恰有一名女同学的概率 .‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.‎ ‎6. 执行如图所示的程序框图,则输出的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知,该程序是利用循环结构计算,输出变量的值,可发现周期为,即可得到,,,此时输出.‎ 详解】,.,.,.‎ ‎,.,.‎ 可发现周期,,,.‎ 此时输出.‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构,周期是是解决本题的关键,属于简单题.‎ ‎7. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.”意思是:“现有一根金锤,长度为5尺,头部的1尺,重4斤;尾部的1尺,重2斤;且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是( )‎ A. 该金锤中间一尺重3.5斤 B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍 C. 该金锤的重量为15斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差为1.5斤 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知等差数列的首项与第5项,再由通项公式求得公差,求得第三项,再求出中间三项的和,逐一核对四个选项得答案.‎ ‎【详解】由题意可知等差数列中, 则,‎ ‎∴,. ‎ ‎∴. ∴A错误,B错误,C正确,D错误. ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的前项和,是基础的计算题.‎ - 26 -‎ ‎8. 已知命题,;命题若,则.下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用配方法以及不等式性质,分别判断两个命题的真假,再判断复合命题的真假即可.‎ ‎【详解】因为,所以命题为真命题;若,则,所以命题是假命题,所以为真命题.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了特称命题的否定的格式,以及复合命题真假的判断,属于基础题.‎ ‎9. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据三视图可知该几何体是棱长为2的正方体中的一个三棱锥,在正方体中画出草图三棱锥,结合其外接球和正方体外接球相同,由此即可求出结果.‎ ‎【详解】由三视图可知,该几何体是棱长为2的正方体中的一个三棱锥,如图所示,‎ - 26 -‎ 三棱锥 ,该三棱锥的外接球即为正方体的外接球,‎ 所以外接球的半径为,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由三视图还原空间几何体,根据空间几何体求其外接球的表面积,属于基础题.‎ ‎10. 函数图象的大致形状是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数为偶函数,故排除B,D.再根据,排除A,即可得到答案.‎ - 26 -‎ ‎【详解】的定义域为,‎ ‎.‎ 所以为偶函数,故排除B,D.‎ ‎,故排除A.‎ 故答案为:C ‎【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象,利用函数奇偶性和特值为解题的关键,属于中档题.‎ ‎11. 已知双曲线:的两个焦点为,,过且与轴垂直的直线交的渐近线于,两点.若为直角三角形,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的对称性,,利用边角关系,即可求出结论.‎ ‎【详解】设双曲线的焦距为代入,‎ 得,为直角三角形,‎ 根据双曲线的对称性,可得,‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的简单几何性质,属于基础题.‎ - 26 -‎ ‎12. 关于的方程有四个不同的实数根,且,则的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对原式化简,可得,即或,又,, ,且,令,再根据函数的单调性即可求出结果.‎ ‎【详解】因为,所以 或,即或 又,‎ - 26 -‎ 设方程的根为,方程的根为,‎ 所以;;‎ 所以, ,且;‎ 所以,;‎ 令,‎ 所以,‎ 当时,,当时,;‎ 所以在区间上单调递增,在区间单调递减;‎ 所以,;‎ 所以的取值范围.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性和函数最值中的应用,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 函数的单调递增区间是__________.‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,求得函数的定义域,再根据复合函数的单调性,即可求出结果.‎ ‎【详解】令,可得,或,故函数的定义域为.‎ 又在区间上单调递增,函数在区间上单调递增,所以函数的单调递增区间是. ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数、二次函数的性质,复合函数的单调性,属于基础题.‎ ‎14. 设变量,满足约束条件,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域,作出目标函数对应的直线,平移该直线,即可求出的最小值.‎ ‎【详解】画出满足条件的平面区域,如图所示,‎ - 26 -‎ 因为,所以, ‎ 显然直线过与的交点时,最小,‎ ‎,解得,此时,‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数最值,考查数形结合的数学思想方法,属基础题.求目标图数最值的一般步骤:一画、二移、三求.(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点;(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15. 已知,且,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式可知 ,再由已知条件即可求出结果.‎ ‎【详解】由基本不等式可知,(当且仅当时,即时取等号).‎ - 26 -‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,属于基础题.‎ ‎16. 已知,函数,若对任意,,恒成立,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的表达式,可得,结合不等式恒成立分别进行求解即可.‎ ‎【详解】,所以;‎ 当时,函数的对称轴为,抛物线开口向上, ‎ 要使时,对任意恒成立,即对任意 恒成立;‎ 令, ‎ 则只需要, ‎ 即,得, ‎ 当时,要使恒成立,即,‎ 在射线的下方或在上, ‎ 由,即,‎ 由判别式, 得, 综上.‎ 故答案为:.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题,利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可.注意数形结合.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎(1)求的值和的最小正周期;‎ ‎(2)设锐角的三边,,所对的角分别为,,,且,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将的解析式化简为,进而求得的值和最小正周期;‎ ‎(2)由可求出的值,再借助余弦定理和基本不等式,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)由题 ‎.‎ ‎,.‎ 所以,,的最小正周期为.‎ - 26 -‎ ‎(2),,所以,‎ 在中,由余弦定理可得:‎ ‎,‎ 解得,‎ 又因为在中,,‎ 所以,的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查的是三角函数与解三角形的综合性问题,涉及的知识点包括三角恒等变换、余弦定理以及基本不等式等,熟记公式并准确计算是解题关键,属于基础题.‎ ‎18. 如图,在三棱柱中,平面,分别是线段,的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)当三棱柱的各棱长均为2时,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接与相交于点,连接,易得,从而得证;‎ ‎【详解】(1)证明:连接与相交于点,连接,‎ 由侧面为平行四边形可得是线段的中点,‎ - 26 -‎ 又因为是线段的中点,∴,‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)∵平面,平面,∴‎ ‎∵,是线段的中点,∴‎ ‎∵,平面,∴平面,‎ ‎∴线段为三棱锥的高,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵平面,平面,∴,‎ ‎∵三棱柱的各棱长均为2,∴四边形为正方形,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查线面平行证明,三棱锥体积的计算,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎19.‎ - 26 -‎ ‎ 2020年是具有里程碑意义的一年,我们将全面建成小康社会,实现第一个百年奋斗目标;2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.(总书记二〇二〇年新年贺词)截至2018年底,中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人,贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%;连续7年每年减贫规模都在1000万人以上;确保到2020年农村贫困人口实现脱贫,是我们党立下的军令状,脱贫攻坚越到最后时刻,越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底,按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准,该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户,得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.‎ ‎(1)补全频率分布直方图,并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)(精确到元);‎ ‎(2)2019年7月,为估计该地能否在2020年全面实现小康,统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表:‎ 月份/2019(时间代码)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 人均月纯收入(元)‎ ‎275‎ ‎365‎ ‎415‎ ‎450‎ ‎470‎ ‎485‎ 由散点图及相关性分析发现:家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系,请求出回归直线方程;由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展,该家庭2020年第一季度(1,2,3月份)每月的人均月纯收人均为预估值的,从4月份开始,每月的人均月纯收人均为预估值的,由此估计该家庭2020年能否达到小康标准,并说明理由;‎ ‎①可能用到的数据:; ‎ ‎②参考公式:线性回归方程中,,.‎ ‎【答案】(1)频率分布直方图见解析,中位数5.133千元,平均数5.16千元(2)‎ - 26 -‎ ‎,该家庭2020年能达到小康标准.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由频率之和为1可得:家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18,即可补全频率分布直方图,在根据频率分布直方图,即可求出中位数和平均数;‎ ‎(2)根据线性回归方程公式即可求出回归方程,再取,根据题意以及等差数列的相关性质,即可求出2020年该家庭人均年纯收入估计值,与8000判断即可.‎ ‎【详解】(1)由频率之和为1可得:家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18,所以频率分布直方图如下:‎ 中位数为:(千元)‎ ‎(或:设中位数为,则,解得:)‎ 平均数(千元)‎ ‎(2)解:由题意得:,‎ ‎ ‎ - 26 -‎ 所以:‎ 所以回归直线方程为:‎ 设为2020年该家庭人均月纯收入,则时,,即2020年前三月总收入为:元;‎ 当时,,‎ 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为:728,760,…,984,‎ 构成以32为公差的等差数列,‎ 所以4月份至12月份的总收入为 所以2020年该家庭总收入为:,‎ 所以该家庭2020年能达到小康标准.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,求中位数和平均数,线性回归方程和线性回归方程的应用,考查运算能力和处理问题的能力,属于中档题.‎ ‎20. 已知,是椭圆:的左右两个焦点,过的直线与交于,两点(在第一象限),的周长为8,的离心率为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)设,为的左右顶点,直线的斜率为,的斜率为,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据椭圆定义可知,周长为,结合已知求出,即可求解;‎ ‎(2)若直线斜率不存在时,求出坐标,以及值,并有 ;当直线斜率存在时,设出方程与椭圆方程联立,根据韦达定理,得出两点坐标关系,求出,,再求出取值范围,将表示为的二次函数,转化求二次函数的取值范围,即可求得结论.‎ ‎【详解】解:(1)由条件得解得,‎ 所以的方程为.‎ ‎(2)由(1)得,,,‎ 当直线的斜率不存在时,,,‎ ‎,.‎ 当直线的斜率存在时,此时直线的斜率不为0,设直线的方程为,‎ 设,,由得 ‎,‎ 则,,‎ ‎∴‎ - 26 -‎ ‎.∴.‎ 因为点在第一象限,所以,(为椭圆的上顶点)‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系,考查参数取值问题,解题的关键要从特殊位置关系,得出一般位置关系,然后等价转化为熟悉函数的值取值范围,属于较难题.‎ ‎21. 已知函数,.‎ ‎(1)若在处的切线的方程为,求,的值并求此时的最值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,不等式在时恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),,,无最大值;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数的几何意义和点斜式,即可求出切线方程,进而求出,即可,再利用导数求出函数的单调性,进而求出函数的最值.‎ ‎(2)由,方法一:对和两种情况进行讨论,其中当时,令,利用导数在函数最值中的应用,求解即可;方法二:采用分离参数法,利用极限思想解题即可;方法三:,对进行分类讨论,利用导数在函数单调性和最值中的应用解题即可.‎ ‎【详解】解:(1),令得:,由题意:,‎ ‎∴,‎ - 26 -‎ ‎∴,‎ ‎ 由得:, 由得:‎ ‎∴在上单调递减;在上单调递增 ‎∴,无最大值;‎ ‎(2)‎ 法一:①当时,,‎ ‎②当时:‎ 令,则 ‎∵∴‎ ‎(i)若,则 在上单调递增, 合题意;‎ ‎(ii)若,令得:,由得:,所以在上单调递减 ‎∴,这与恒成立矛盾,所以不合题意;‎ 综上的取值范围是 法二:①当时,‎ ‎②当时:‎ 令,则,令,则 所以在单调递增,∴,即,∴在上单调递增 又 ‎∴,若使恒成立,只需 - 26 -‎ ‎∴的取值范围是 ‎(说明:①无论法一还是法二,若考生不对进行讨论而得到,均需扣1分;②若考生若采用法二求解,由于高考不提倡用罗比塔法则,可根据答题情况酌情扣1-2分)‎ 法三:‎ 令,则,令,则 显然在上单调递增,∴‎ ‎(i)当即时,恒成立 ‎∴在上单调递增 ‎∴即 ‎∴在上单调递增 ‎∴恒成立,即合题意;‎ ‎(ii)当即时,,‎ ‎∴存在唯一使,当时,,∴在上单调递减,‎ ‎∴,即 所以在上单调递减,所以,这与在时恒成立矛盾,所以不合题意;‎ 综上:的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,导数在函数单调性中的应用以及导数在求函数最值中的应用,属于中档题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.‎ - 26 -‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求和的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知与相切,求的值.‎ ‎【答案】(1)的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将化为,两式平方相减,消去参数,求得的普通方程;代入极坐标方程,即可求出直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线与曲线方程联立,消去,得到关于的一元二次方程,与相切,,即可求解.‎ ‎【详解】解:(1)因为,,两式相减,有,‎ 所以的直角坐标方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)联立与的方程,有,消,‎ - 26 -‎ 得,因为与相切,所以有,‎ 解得:.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化,极坐标方程与直角坐标方程互化,考查直线与圆锥曲线的位置关系,属于中档题,‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23. 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若,且,证明:.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分类讨论去绝对值,作出函数的图像,根据图像得到函数的单调性,利用单调性结合图像可得不等式的解集;‎ ‎(2)利用绝对值的三角不等式以及基本不等式可证明结果.‎ ‎【详解】(1)法一:‎ ‎,‎ 作出的图象,如图所示:‎ - 26 -‎ 结合图象,‎ 函数在上单调递增,‎ 在上单调递减,‎ 又,,‎ 所以不等式的解集是.‎ 法二:,‎ 等价于:或或,‎ 解得:或或,‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎(2)由(1)知函数的最大值是,所以恒成立.‎ 因,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 所以 ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值的三角不等式的应用,是中档题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎
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