陕西省2020届高三下学期第三次教学质量检测数学（理）试题 Word版含解析

陕西省2020届高三下学期第三次教学质量检测数学（理）试题 Word版含解析

‎2020年高三第三次教学质量检测 理科数学 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 已知集合，，，则集合（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出并集，再求对应的补集，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为集合，，，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2. 已知复数（为虚数单位），若复平面内对应点在虚轴上，则实数的值为（ ）‎ A. B. 3‎ C. －3 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数的除法化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 又复平面内对应点在虚轴上，所以，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查由复数的几何意义求参数，属于基础题型.‎ ‎3. 下面的折线图表示某商场一年中各月份的收入、支出情况，据此判断下列说法错误的是（ ）‎ A. 相邻两月的收入增长率最大为1月至2月 B. 支出最高值与支出最低值的比是6︰1‎ C. 收入最高的月份是2月份 D. 2月至5月为销售淡季，收支均递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折现统计图即可判断各选项．‎ ‎【详解】解：由折线统计图可得相邻两月的收入增长率最大为1月至2月，故A正确；‎ 支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是，故B正确．‎ 收入最高的是2月份 万元，故C正确．‎ ‎2月至5月收入递减，3月、4月的支出相同，故D错误；‎ - 24 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题 ‎4. 已知向量，，，若，则（ ）‎ A. －5 B. 5‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先得到，再由向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为向量，，，‎ 所以，‎ 又，所以，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.‎ ‎5. 已知实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出可行域，再由可表示为可行域内的点和点连线的斜率，由图可得解.‎ - 24 -‎ ‎【详解】由不等式组，作出可行域，如图所示，‎ 可表示为可行域内的点和点连线的斜率，由图可知经过点时斜率最大，此时，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分式型线性规划的求解，考查了数形结合的能力，属于基础题.‎ ‎6. 函数（ ）‎ A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，‎ 因为，所以为偶函数，故排除A,C，由诱导公式得 ‎，‎ 即函数的最小正周期为，所以正确答案为D.‎ 点睛：引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质，以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.‎ - 24 -‎ 在此类问题中，函数解析式相对特殊，直接法求解不容易算，采用三角函数的性质去判断，反而会使问题简单化，以达到四两拔千斤的效果.‎ ‎7. 如图所示，给出的是计算值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A. i＞9 B. i＞10 C. i＞11 D. i＞12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出的值，模拟循环过程可得条件．‎ ‎【详解】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：‎ 不满足条件，第1圈：‎ 不满足条件，第2圈：‎ 不满足条件，第3圈：‎ ‎…‎ 依此类推 - 24 -‎ 不满足条件，第10圈：‎ 不满足条件，第11圈：‎ 此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：．‎ 故选：C ‎【点睛】算法是新课程中新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础题．‎ ‎8. 在中，若，则下列等式中一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降次公式得到，展开得到，得到 ‎【详解】∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.‎ ‎9. “”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数利用单调性判断.‎ ‎【详解】设，，所以为增函数，‎ - 24 -‎ 由于，所以，所以；‎ 反之成立，则有，所以.‎ 所以是充要条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.‎ ‎10. 甲、乙两名同学轮流投篮，甲先投乙后投，直到有1人投中为止.每次投篮，甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6.记甲投篮的次数为，到投篮结束时，等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示甲同学投篮了次投篮结束，最后一次可能甲同学投中也可以是乙同学投中，分两种情况求解即可.‎ ‎【详解】表示甲同学投篮了次投篮结束，有两种可能，一种是甲同学投了次，乙次，最后一次甲同学投中，一种是甲同学投了次，乙同学次，最后一次乙同学投中，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立事件的概率计算，属于基础题.‎ ‎11. 以下是某同学对棱长为1的正方体的性质的探究，其中正确的是（ ）‎ A. 12条棱中可构成16对异面直线 B. 以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为 C. 过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形 D. 以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱，由此能求出异面直线共有多少对，可判断A；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质利用计算可得B正确；过正方体的一个顶点的截面最多与正方体的五个面相交，即可判断C；求出八面体的棱长，然后求解表面积即可判断D．‎ ‎【详解】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，‎ 正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，∴异面直线共有12×4×＝24对．故A错；‎ 以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如为四面体B1﹣D1CA的体积为V＝＝1﹣4×＝，得到B正确；‎ 过正方体的一个顶点的截面最多与正方体的五个面相交，所以不可能是六边形，故C错；‎ 正方体的棱长为1，以正方体各表面中心为顶点的正八面体的棱长为：，八面体的表面积为：8××＝，故D错；‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查异面直线的判断，平面截正方体，棱锥表面积和球的体积的求法，考查判断和推理、空间想象能力和运算能力，具有一定的综合性，属于中档题．‎ ‎12. 已知椭圆：与双曲线：（，）有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.‎ - 24 -‎ 设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作，利用椭圆和双曲线定义可表示出，由，可得点的横坐标为，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，并求出此时的值.‎ ‎【详解】如图，作，垂足为M，‎ 根据椭圆与双曲线的定义可得，‎ 解得，‎ 由，可得点的横坐标为，‎ 即，‎ - 24 -‎ 由勾股定理可得，‎ 整理得，即，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题.把答案填在答题卷中相应的横线上.）‎ ‎13. 已知抛物线：的焦点为，若抛物线上一点满足，则的值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在抛物线：上可得，利用抛物线的定义得到关于的方程，解方程即可求解.‎ ‎【详解】因为点在抛物线：上，所以，‎ 由抛物线的定义知，，解得.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及其标准方程；考查运算求解能力；属于基础题.‎ ‎14. 的展开式中的常数项的值是______.（用数字作答）‎ ‎【答案】－40‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理求出二项式的展开式的通项公式，令的指数为零，求得的值，然后代入二项式的展开式的通项公式即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，二项式的展开式的通项公式为 ‎，‎ 令，解得，‎ 所以二项式的展开式的常数项为 ‎.‎ 故答案为：－40‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中的常数项；考查运算求解能力；属于基础题、常考题型.‎ ‎15. 已知函数，则的值为______.‎ ‎【答案】4037‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算当时，当时，即可得解；‎ ‎【详解】解：因为，当时，‎ - 24 -‎ 当时 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，解题的关键是推导出，属于中档题．‎ ‎16. 中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示，从莱布尼茨三角形可以看出，排在第10行从左边数第3个位置上的数是______.一般地，类比杨辉三角形中相邻两行（第行与第行，除首末项的二项式系数外）满足关系式，其中是行数，是列数，，.请类比写出莱布尼茨三角形中相邻两行（第行、从左边数第个位置上的数与第行）满足的关系式的______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 根据题中条件，先得到从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字，由此可求出第10行从左边数第3个位置上的数；以及满足的关系式.‎ ‎【详解】由题中条件可得，，，，，，，，，，……，‎ 由此可得，从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字；‎ 所以第9行第2个数字为，第10行第2个数字为，‎ 因此第10行第3个数字为；‎ 又莱布尼茨三角形的第2行数字可记作，；‎ 第3行数字可记作：，，；‎ 第4行数字可记作，，，；‎ 第5行数字可记作，，，，；‎ ‎……‎ 第行数字可记作，，……，，……，；‎ 第行数字可记作，，……，，……，；‎ 所以有.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理，根据题中条件找出规律即可，属于常考题型.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必修作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题 - 24 -‎ ‎17. 已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求证：为等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，得到，与原式作差整理，即可证明数列是等比数列；‎ ‎（2）先由（1）得到，求出，再由裂项相消的方法，即可求出数列的和.‎ ‎【详解】（1）∵，则，‎ ‎∴，所以.‎ 又，∴.‎ ‎∴是首项为4，公比为4的等比数列；‎ ‎（2）解：由（1）知，，代入得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型.‎ - 24 -‎ ‎18. 在如图多面体中，，，四边形为矩形，，，‎ ‎（1）若为线段上一点，且，是否存在线段上一点，使，面？若存在，求出的值；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ ‎【答案】（1）存在；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图，过作，交于点，过作，交于点，过作，交于点，连接,可得，根据比例关系可证；‎ ‎（2）可根据面面关系证得为平面与平面所成的锐二面角的平面角，即可求出.‎ ‎【详解】（1）如图，过作，交于点，过作，交于点，过作，交于点，连接,‎ - 24 -‎ 平面平面，平面，平面，‎ 平面，平面与平面分别交于，，，‎ ‎，‎ 故存在，使得平面；‎ ‎（2），平面，平面，‎ 设平面平面，则，‎ ‎，，，‎ 平面，从而平面，‎ 所以为平面与平面所成的锐二面角的平面角，‎ 在内，，知，，‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查空间中点的存在性问题，考查二面角的求法，属于中档题.‎ ‎19. 已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由已知即可以解得a,b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，，化简得，结合解得，从而解出的取值范围.‎ 试题解析：‎ - 24 -‎ ‎（1）由已知 ，，‎ 所以的方程为 ‎（2）过的直线若斜率不存在，则或3.‎ 设直线斜率存在，‎ ‎ ‎ 则 由（2）（4）解得，代入（3）式得 化简得 由（1）解得代入上式右端得 解得 综上实数的取值范围是.‎ 点睛:解析中出现属于问题，由得出，结合韦达定理找到与 的关系，再利用建立不等关系即得解.‎ ‎20. 已知函数.‎ - 24 -‎ ‎（1）当时，判断函数的零点个数，并加以证明；‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）有唯一零点；证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，判定其单调性，再由，即可得出结果；‎ ‎（2）先对函数求导，得到，根据题意，得到在上恒成立，令，则，所以在恒成立，根据二次函数的性质即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，则，‎ 因为，所以，‎ ‎∴在上单调递增；‎ 又，‎ ‎∴在上有唯一零点；‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 又函数在上单调递增，‎ 所以在上恒成立.‎ 令，则，所以在恒成立，‎ 令，‎ 由二次函数开口向上，知，只需，即，‎ 解得，.‎ - 24 -‎ 即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，考查由函数单调性求参数的问题，涉及一元二次不等式恒成立问题，以及三角函数的性质，属于跨章节综合题.‎ ‎21. 新冠肺炎来势汹汹，党中央运筹帷幄、全国人民众志成城，抗疫保卫战取得阶段性胜利.通过建立数学模型，可增强对疫情走势的准确预判.‎ 日期 累计确诊病例数 ‎1月24日 ‎5‎ ‎1‎ ‎3.871‎ ‎1月25日 ‎22‎ ‎2‎ ‎2.316‎ ‎1月26日 ‎35‎ ‎3‎ ‎1.792‎ ‎1月27日 ‎46‎ ‎4‎ ‎1.465‎ ‎1月28日 ‎56‎ ‎5‎ ‎1.216‎ ‎1月29日 ‎63‎ ‎6‎ ‎1.061‎ ‎1月30日 ‎87‎ ‎7‎ ‎0.597‎ ‎1月31日 ‎116‎ ‎8‎ ‎0.106‎ ‎2月1日 ‎128‎ ‎9‎ ‎－0.09‎ - 24 -‎ ‎2月3日 ‎142‎ ‎11‎ ‎－0.32‎ ‎2月4日 ‎165‎ ‎12‎ ‎－0.72‎ ‎2月5日 ‎173‎ ‎13‎ ‎－0.88‎ ‎2月7日 ‎195‎ ‎15‎ ‎－1.36‎ ‎2月8日 ‎208‎ ‎16‎ ‎－1.73‎ ‎2月10日 ‎219‎ ‎18‎ ‎－2.13‎ ‎2月11日 ‎225‎ ‎19‎ ‎－2.42‎ ‎2月13日 ‎229‎ ‎21‎ ‎－2.66‎ ‎2月14日 ‎230‎ ‎22‎ ‎－2.73‎ ‎2月16日 ‎236‎ ‎24‎ ‎－3.27‎ ‎2月17日 ‎240‎ ‎25‎ ‎－3.87‎ 平均数 ‎12‎ ‎－0.49‎ 新冠肺炎疫情拐点，是指疫情发展过程中确诊病例的变化率由多到少的转折时间点.由疫情发展过程可知，病例数开始增长很快，日增长率达到峰值后，增速减缓；即累计确诊病例数与时间的函数图像，近似于一条曲线（图1）.假设这条曲线可近似如下表示：，其中，表示新冠肺炎累计确诊病例数，是时间，、、为待定系数，而是的最大值.对上式关于求导，得：，在直角坐标系中画出图像（图2），该图像其实就是新冠肺炎每日新增确诊病例数曲线；再对求导，得二阶导数；令，解得，就是拐点出现的时刻.为确定新冠肺炎累计病例数随时间变化的函数关系式，我们对上述公式，两边取自然对数，得，令，（日期变为序列数），便得到与的线性回归方程：‎ - 24 -‎ ‎，这样，由统计报表中新冠肺炎逐日累计确诊病例数的信息，用最小二乘法可求一元线性回归方程的确定方法，可以得到、的值，，，上表为陕西省从2020年1月24日到2月20日中选取其中21天，统计的每日新冠肺炎累计病例数报表，取，‎ ‎（1）试以表中所列的前20个数据为基础，参考数据：，，，，推算与的线性回归方程（保留两位有效数字）；‎ ‎（2）由此估算陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”.‎ ‎【答案】（1）；（2）陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”约为2月2日.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据所给参考数据及公式求出、，即可求出回归直线方程；‎ ‎（2）由（1）及，知，所以，对求二阶导数，令，解方程即可求出，从而得解；‎ ‎【详解】解：（1）由表可知样本数，‎ 从而求得与的线性回归方程为.‎ ‎（2）由（1）及，知，，‎ ‎，‎ - 24 -‎ 所以，‎ 所以 所以 令，得，即，，‎ 即陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”约为2月2日.‎ ‎【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，导数的计算及应用，考查阅读理解能力、计算能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎[选修4－4：极坐标与参数方程]‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数几何意义及根与系数的关系，求得的最大值.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）圆C的极坐标方程为：，则 由极坐标与直角坐标的转化公式得，‎ 所以：.‎ ‎（2）将线l的参数方程为：（t为参数），‎ 代入.‎ 所以 设点A，B所对应的参数为和，‎ 则，，‎ 则 当时，的最大值为4.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.‎ ‎[选修4－5：不等式选讲]‎ ‎23. 在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为.‎ ‎（1）已知，，三点，若，求的取值范围；‎ ‎（2）已知，，三点，对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，先得到，解不等式，即可得出结果；‎ ‎（2）根据题意，得到 - 24 -‎ ‎，由绝对值三角不等式求出其最小值，得到，再由题意，得出，求解即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得，即，‎ 则，两边平方得，解得.‎ 故的取值范围为.‎ ‎（2）由题意，‎ ‎，‎ 当且仅当且时取等号；‎ 又任意，，不等式恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 因此只需，即，解得，‎ ‎∴的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等的应用，熟记绝对值三角不等式即可，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型,‎ - 24 -‎