高考卷 06普通高等学校招生全国统一考试（四川卷

高考卷 06普通高等学校招生全国统一考试（四川卷

2006 年普通高等学校招生全国统一考试（四川）韩先华编辑 数 学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 8 页。考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答 案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP  24 RS  如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP  球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV  n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP  )1()( 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合    2A= | 5 6 0 , | 2 1 3 ,x x x B x x      则集合 A B ＝ （A） | 2 3x x  （B） | 2 3x x  （C） | 2 3x x  （D） | 1 3x x   2. 函数 ln( 1)( 1)y x x   的反函数是 （A） 1( ) 1( )xf x e x R    （B） 1( ) 10 1( )xf x x R    （C） 1( ) 1( 1)xf x e x    （D） 1( ) 1( 1)xf x e x    3. 曲线 34y x x  在点（－1，－3）处的切线方程是 （A） 7 4y x  （B） 7 2y x  （C） 4y x  （D） 2y x  4.如图, 已知正六边形 1 2 3 4 5 6PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A） 1 2 1 3PP PP  （B） 1 2 1 4PP PP  （C） 1 2 1 5PP PP  （D） 1 2 1 6PP PP  5.甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有 1800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划 采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90 人的样本，应在这三校分别抽取学生 （A）30 人，30 人，30 人 （B）30 人，45 人，15 人 （C）20 人，30 人，10 人 （D）30 人，50 人，10 人 6. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （A） sin( )6y x   （B） sin(2 )6y x   （C） cos(4 )3y x   （D） cos(2 )6y x   7. 已知二面角 l   的大小为 060 ， m n、 为异面直线， m n  且 ， ， m n则 、 所成的角为 （A） 030 （B） 060 （C） 090 （D） 0120 8 已知两定点 ( 2,0),A  (1,0),B 如果动点 P 满足条件 2 ,PA PB 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （A） 9 （B）8 （C） 4 （D） 9. 如图，正四棱锥 P－ABCD 底面的四个顶点 A、B、C、D 在球 O 的同一个大圆上， 点 P 在球面上，如果 16 3P ABCDV   ,则求 O 的表面积为 （A） 4 （B）8 （C）12 （D）16 10. 直线ｙ＝ｘ－3 与抛物线 xy 42  交于 A、B 两点，过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别 为 P、Q ，则梯形 APQB 的面积为 （A）36. （B）48 （C）56 （D）64. 11. 设 cba 、、 分别为 ABC 的三内角 A B C、 、 所对的边，则 2 ( )a b b c  是 A B=2 的 （A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 12. 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率 为 （A） 41 60 （B） 38 54 （C） 35 54 （D） 19 54 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。 13. 10(1 2 )x 展开式中 3x 的系数为___________（用数字作答）。 14. 设 x、y 满足约束条件： 1, 1 ,2 2 10. x y x x y       则 2z x y  的最小值 为______________。 15.如图把椭圆 2 2 125 16 x y  的长轴 AB 分成 8 分，过每个分点作 ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于 1P , 2P ,…… 7P 七个点，F 是椭 圆的一个焦点，则 1 2 7......PF P F P F    ____________． 16. m、n 是空间两条不同直线， 、 是空间两条不同平面，下面有四个命题： ① , ;m n m n      , 　 ② , , ;m n m n       　 ③ , , ;m n m n       　 ③ , , ;m m n n       　 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（四川）韩先华编辑 数 学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 8 页。考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题答题卡： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 选项 二、填空题答题卡： ⒔ 。⒕ 。⒖ 。⒗ 。 三.解答题 共 6 个小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 数列 na 前 n 项和记为 ,nS 1 1,a  1 2 1,( 1)n na S n    ， (Ⅰ)求 na 的的通项公式； (Ⅱ) 等差数列 nb 的各项为正，其前 n 项和为 ,nT 且 3 15,T  又 1 1,a b 2 2 3 3,a b a b  成等 比数列，求 .nT 18．（本小题满分 12 分） 已知 A、B、C 是 ABC 三内角，向量 ( 1, 3),m   (cos ,sin ),n A A 且 1.m n  （Ⅰ）求角 A （Ⅱ）若 2 2 1 sin 2 3,cos sin B B B    求tanC。 19．（本小题满分 12 分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合 格的概率分别为 0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为 0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互 之间没有影响。 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。 20．（本小题满分 12 分） 如图,长方体 ABCD- 1111 DCBA 中，E、P 分别是 BC、 1 1A D 的中点, M、N 分别是 AE、 1CD 的中点, 1 1AD=A A ,a Ab=2 ,a （Ⅰ）求证： 1 1MN// ADD ;A平面 ； （Ⅱ）求二面角 P AE D  的大小； 21．（本小题满分 14 分） 已知函数 3f(x) +3 1,x ax  g(x) ( ) 5,f x ax   其中 f (x) 是的 f(x)的 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 导函数。 （Ⅰ）对满足 1 1a   的一切 a 的值， 都有 g(x) 0, 求实数ｘ的取值范围； （Ⅱ）设 2a m  ，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝f(x)的图像与直线ｙ＝3 只有一个公共点。 22．（本小题满分 12 分） 已知两定点 1( 2,0),F  2 ( 2,0),F 满足条件 2 1 2PF PF   的点 P 的轨迹是 曲线 E，直线ｙ＝kx－1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 （Ⅰ）求ｋ的取值范围； （Ⅱ）如果 6 3,AB  且曲线 E 上存在点 C，使 ,OA OB mOC    求 m ABC的值和 的面积S 。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）文科数学及参考答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 10 页。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP  24 RS  如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP  球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV  n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP  )1()( 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分； 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D A B D B C D B A C （1）已知集合  2 5 6 0A x x x    ，集合  2 1 3B x x   ，则集合 A B  （A） 2 3x x  （B） 2 3x x  （C） 2 3x x  （D） 1 3x x   得分 评卷人 （2）函数      ln 1 , 1f x x x   的反函数是 （A）    1 1xf x e x R    （B）    1 10 1xf x x R    （C）    1 10 1 1xf x x    （D）    1 1 1xf x e x    （3）曲线 34y x x  在点 1, 3  处的切线方程是 （A） 7 4y x  （B） 7 2y x  （C） 4y x  （D） 2y x  （4）如图，已知正六边形 1 2 3 4 5 6PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A） 1 2 1 3,PP PP   （B） 1 2 1 4,PP PP   （C） 1 2 1 5,PP PP   （D） 1 2 1 6,PP PP   （5）甲校有 3600 名学生，乙校有5400 名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况， 计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 （A）30 人，30 人，30 人 （B）30 人， 45 人，15人 （C） 20 人，30 人，10人 （D）30 人，50 人，10人 （6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A） sin 6y x      （B） sin 2 6y x      （C） cos 4 3y x      （D） cos 2 6y x      (7) 已知二面角 l   的大小为 060 ， ,m n 为异面直线，且 ,m n   ，则 ,m n 所成的角为 （A） 030 （B） 060 （C） 090 （D） 0120 (8) 已知两定点    2,0 , 1,0A B ，如果动点 P 满足 2PA PB ，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积 等于 （A）9 （B）8 （C） 4 （D） (9) 如图，正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点 , , ,A B C D 在球O 的同一 个大圆上，点 P 在球面上，如果 16 3P ABCDV   ，则球O 的表面积是 （A） 4 （B）8 （C）12 （D）16 (10) 直线 3y x  与抛物线 2 4y x 交于 ,A B 两点，过 ,A B 两点向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为 ,P Q ，则梯形 APQB 的面积为 （A）36 （B） 48 （C）56 （D） 64 （11）设 , ,a b c 分别是 ABC 的三个内角 , ,A B C 所对的边，则  2a b b c  是 2A B 的 （A）充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 （12）从 0 到9 这10个数字中任取3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3 整除的概 率为 （A） 41 60 （B） 38 54 （C） 35 54 （D） 19 54 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上。 （13） 101 2x 展开式中的 3x 系数为________ 960 ________（用数字作答） （14）设 ,x y 满足约束条件： 1 1 2 2 10 x y x x y       ，则 2z x y  的最小值为_______ 6 _________; （15）如图，把椭圆 2 2 125 16 x y  的长轴 AB 分成8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分 于 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则 1 2 3 4 5 6 7PF P F P F P F P F P F P F       _______35 _________; （16） ,m n 是空间两条不同直线， ,  是两个不同平面，下面有四个命题： ① , // , //m n m n      ② , // , //m n m n      ③ , // , //m n m n      ④ , // , //m m n n      其中真命题的编号是_______①，②_________;（写出所有真命题的编号） 三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分 12 分） 数列 na 的前 n 项和记为  1 1, 1, 2 1 1n n nS a a S n    （Ⅰ）求 na 的通项公式； （Ⅱ）等差数列 nb 的各项为正，其前 n 项和为 nT ，且 3 15T  ，又 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b   成等比数 列，求 nT 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解：（Ⅰ）由 1 2 1n na S   可得  12 1 2n na S n   ，两式相减得  1 12 , 3 2n n n n na a a a a n     又 2 12 1 3a S   ∴ 2 13a a 故 na 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴ 13n na  （Ⅱ）设 nb 的公比为 d 由 3 15T  得，可得 1 2 3 15b b b   ，可得 2 5b  故可设 1 35 , 5b d b d    又 1 2 31, 3, 9a a a   由题意可得    25 1 5 9 5 3d d      解得 1 22, 10d d  ∵等差数列 nb 的各项为正，∴ 0d  ∴ 2d  ∴   213 2 22n n nT n n n      （18）（本大题满分 12 分） 已知 , ,A B C 是三角形 ABC 三内角，向量    1, 3 , cos ,sinm n A A    ，且 1m n   （Ⅰ）求角 A ； （Ⅱ）若 2 2 1 sin 2 3cos sin B B B    ，求 tan B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角 公式，考察应用、分析和计算能力。满分 12 分。 解：（Ⅰ）∵ 1m n   ∴   1, 3 cos ,sin 1A A   即 3sin cos 1A A  3 12 sin cos 12 2A A         1sin 6 2A      ∵ 50 , 6 6 6A A        ∴ 6 6A    ∴ 3A  （Ⅱ）由题知 2 2 1 2sin cos 3cos sin B B B B    ，整理得 2 2sin sin cos 2cos 0B B B B   ∴ cos 0B  ∴ 2tan tan 2 0B B   ∴ tan 2B  或 tan 1B   而 tan 1B   使 2 2cos sin 0B B  ，舍去 ∴ tan 2B  （19）（本大题满分 12 分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核 都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9,0.8,0.7 ；在 实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9 ，所有考核是否合格相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解 决实际问题的能力。满分 12 分。 解：记“甲理论考核合格”为事件 1A ，“乙理论考核合格”为事件 2A ，“丙理论考核合格”为事件 3A ， 记 iA 为 iA 的对立事件， 1,2,3i  ；记“甲实验考核合格”为事件 1B ，“乙实验考核合格”为事件 2B ， “丙实验考核合格”为事件 3B ， （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 解法 1：    1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P C P A A A A A A A A A A A A           1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P A A A P A A A P A A A P A A A    0.9 0.8 0.3 0.9 0.2 0.7 0.1 0.8 0.7 0.9 0.8 0.7            0.902 解法 2：    1P C P C   1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 P A A A A A A A A A A A A            1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 P A A A P A A A P A A A P A A A        1 0.1 0.2 0.3 0.9 0.2 0.3 0.1 0.8 0.3 0.1 0.2 0.7             1 0.098  0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件 D        1 1 2 2 3 3P D P A B A B A B             1 1 2 2 3 3P A B P A B P A B                 1 1 2 2 3 3P A P B P A P B P A P B      0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9      0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 （20）（本大题满分 12 分） 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,E P 分别是 1 1,BC A D 的 中点， ,M N 分别是 1,AE CD 的中点， 1 , 2AD AA a AB a   （Ⅰ）求证： //MN 面 1 1ADD A ； （Ⅱ）求二面角 P AE D  的大小。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能 力和推理能力。满分 12 分 解法一： （Ⅰ）证明：取CD 的中点 K ，连结 ,MK NK ∵ , ,M N K 分别为 1, ,AK CD CD 的中点 ∵ 1// , //MK AD NK DD ∴ //MK 面 1 1ADD A ， //NK 面 1 1ADD A ∴面 //MNK 面 1 1ADD A ∴ //MN 面 1 1ADD A （Ⅱ）设 F 为 AD 的中点 ∵ P 为 1 1A D 的中点 ∴ 1//PF DD ∴ PF  面 ABCD 作 FH AE ，交 AE 于 H ，连结 PH ，则由三垂线定理得 AE PH 从而 PHF 为二面角 P AE D  的平面角。 在 Rt AEF 中， 17, 2 ,2 2 aAF EF a AE a   ，从而 2 22 17 17 2 a aAF EF aFH AE a    在 Rt PFH 中， 1 17tan 2 DDPFPFH FH FH     故：二面角 P AE D  的大小为 17arctan 2 方法二：以 D 为原点， 1, ,DA DC DD 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标系，则          1 1,0,0 , ,2 ,0 , 0,2 ,0 , ,0, , 0,0,A a B a a C a A a a D a ∵ , , ,E P M N 分别是 1 1 1, , ,BC A D AE CD 的中点 ∴ 3,2 ,0 , ,0, , , ,0 , 0, , ,2 2 4 2 a a a aE a P a M a N a                       （Ⅰ） 3 ,0,4 2 aMN a      取  0,1,0n  ，显然 n  面 1 1ADD A 0MN n   ，∴ MN n  又 MN  面 1 1ADD A ∴ //MN 面 1 1ADD A ∴过 P 作 PH AE ，交 AE 于 H ，取 AD 的中点 F ，则 ,0,02 aF      设  , ,0H x y ，则 , , , , ,02 2 a aHP x y a HF x y                 又 ,2 ,02 aAE a      由 0AP AE   ，及 H 在直线 AE 上，可得: 2 2 04 2 4 4 a a x ay x y a        解得 33 2,34 17x a y a  ∴ 8 2 8 2, , , , ,017 17 17 17 a a a aHP a HP                 ∴ 0HF AE   即 HF AE  ∴ HP  与 HF  所夹的角等于二面角 P AE D  的大小 2cos , 21 HP HFHP HF HP HF         故：二面角 P AE D  的大小为 2 21arccos 21 （21）（本大题满分 12 分） 已知函数      3 3 1, 5f x x ax g x f x ax      ，其中  'f x 是的导函数 （Ⅰ）对满足 1 1a   的一切 a 的值，都有   0g x  ，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）设 2a m  ，当实数 m 在什么范围内变化时，函数  y f x 的图象与直线 3y  只有一个公共 点 本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和 综合应用数学知识的能力。满分 12 分。 解：（Ⅰ）由题意   23 3 5g x x ax a    令     23 3 5x x a x     ， 1 1a   对 1 1a   ，恒有   0g x  ，即   0a  ∴     1 0 1 0      即 2 2 3 2 0 3 8 0 x x x x         解得 2 13 x   故 2 ,13x      时，对满足 1 1a   的一切 a 的值，都有   0g x  （Ⅱ）  ' 2 23 3f x x m  ①当 0m  时，   3 1f x x  的图象与直线 3y  只有一个公共点 ②当 0m  时，列表： x  , m m  ,m m m  ,m   'f x  0  0   f x  极大  极小  ∴     22 1 1f x f x m m     极小 又∵  f x 的值域是 R ，且在 ,m  上单调递增 ∴当 x m 时函数  y f x 的图象与直线 3y  只有一个公共点。 当 x m 时，恒有    f x f m  由题意得   3f m  即 322 1 2 1 3m m m    解得    3 32,0 0, 2m   综上， m 的取值范围是 3 32, 2 （22）（本大题满分 14 分） 已知两定点    1 22,0 , 2,0F F ，满足条件 2 1 2PF PF   的点 P 的轨迹是曲线 E ，直线 1y kx  与曲线 E 交于 ,A B 两点 （Ⅰ）求 k 的取值范围； （Ⅱ）如果 6 3AB  ，且曲线 E 上存在点C ，使OA OB mOC    ，求 m 的值和 ABC 的面积 S 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几 何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 14 分。 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以    1 22,0 , 2,0F F 为焦点的双曲线的左支， 且 2, 1c a  ，易知 1b  故曲线 E 的方程为  2 2 1 0x y x   设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由题意建立方程组 2 2 1 1 y kx x y      消去 y ，得 2 21 2 2 0k x kx    又已知直线与双曲线左支交于两点 ,A B ，有     2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 2 8 1 0 2 01 2 01 k k k kx x k x x k                    解得 2 1k    ∵ 2 1 21AB k x x     2 1 2 1 21 4k x x x x     2 2 2 2 2 21 41 1 kk k k                2 2 22 1 2 2 1 k k k     依题意得      2 2 22 1 2 2 6 3 1 k k k     整理后得 4 228 55 25 0k k   ∴ 2 5 7k  或 2 5 4k  但 2 1k    ∴ 5 2k   故直线 AB 的方程为 5 1 02 x y   设  0 0,C x y ，由已知 OA OB mOC    ，得      1 1 2 2 0 0, , ,x y x y mx my  ∴  1 2 1 2 0 0, ,x x y ymx my m m       ， 0m  又 1 2 2 2 4 51x x k     ，   2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 81 1 ky y k x x k k          ∴点 4 5 8,C m m      将点C 的坐标代入曲线 E 的方程，得 2 2 80 64 1m m   得 4m   ， 但当 4m   时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴ 4m  ，点C 的坐标为 5,2 C 到 AB 的距离为   2 2 5 5 2 12 1 35 12            ∴ ABC 的面积 1 16 3 32 3S     录入：四川省内江市隆昌县黄家中学 程 亮 lc_chengliang@163.com 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）文科数学及参考答案 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分； 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D A B D B C D B A C （1）已知集合  2 5 6 0A x x x    ={ | 2 3}x x≤ ≤ ，集合  2 1 3B x x   { | 2或 1}x x x   ， 则集合 A B   2 3x x  ，选 C. （ 2 ） 函 数      ln 1 , 1f x x x   ， 解 得 1yx e  (y ∈ R) ， 所 以 原 函 数 的 反 函 数 是    1 1xf x e x R    ，选 A. （3）曲线 34y x x  ，导数 2' 4 3y x  ，在点 1, 3  处的切线的斜率为 1k  ， 所以切线方程是 2y x  ，选 D. （4）如图，已知正六边形 1 2 3 4 5 6PP P P P P ，设边长 1 2| |PP a ，则∠ 2 1 3P PP = 6  .， 1 3| | 3PP a , 1 2 1 3,PP PP   = 23 33 2 2 aa a   ，∠ 2 1 4P PP = 3  ， 1 4| | 2PP a ， 1 2 1 4,PP PP   = 212 2a a a   ， 1 2 1 5,PP PP   =0， 1 2 1 6,PP PP   <0，∴ 数量积中最大的是 1 2 1 3,PP PP   ，选 A （5）甲校有 3600 名学生，乙校有5400 名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况， 计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45 人，15人， 选 B. （6）从图象看出， 4 1 T= 12 6 4     ，所以函数的最小正周期为π，函数应为 y=sin 2x 向左平移了 6  个单位，即 sin 2( )6y x   =sin(2 ) cos( 2 ) cos(2 )3 2 3 6x x x          ，所以选 D. (7) 已知二面角 l   的大小为 060 ， ,m n 为异面直线，且 ,m n   ，则 ,m n 所成的角为两条 直线所成的角，∴ θ= 060 ，选 B. (8) 已知两定点    2,0 , 1,0A B ，如果动点 P 满足 2PA PB ，设 P 点的坐标为(x，y)， 则 2 2 2 2( 2) 4[( 1) ]x y x y     ，即 2 2( 2) 4x y   ，所以点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 4π， 选 C. (9) 如图，正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点 , , ,A B C D 在球 O 的同一个大 圆上，点 P 在球面上，PO⊥底面 ABCD，PO=R， 22ABCDS R ， 16 3P ABCDV   ， 所以 21 1623 3R R   ，R=2，球O 的表面积是16 ，选 D. (10) 直线 3y x  与抛物线 2 4y x 交于 ,A B 两点，过 ,A B 两点向抛物线的准 线 作 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 ,P Q ， 联 立 方 程 组 得 2 4 3 y x y x      ， 消 元 得 2 10 9 0x x   ，解得 1 2 x y     ，和 9 6 x y    ，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形 APQB 的面积为 48，选 B. （11）设 , ,a b c 分别是 ABC 的三个内角 , ,A B C 所对的边，若  2a b b c  ， 则 2sin sin (sin sin )A B B C  ，则1 cos2 1 cos2 sin sin2 2 a B B C   ， ∴ 1 (cos2 cos2 ) sin sin2 B A B C  ，sin( )sin( ) sin sinB A A B B C   ， 又sin( ) sinA B C  ，∴ sin( ) sinA B B  ，∴ A B B  ， 2A B ， 若△ABC 中， 2A B ，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到  2a b b c  ， 所以  2a b b c  是 2A B 的充要条件，选 A. （12）从 0 到9 这10个数字中任取3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3 整除。 所有的三位数有 3 2 10 9 648A A  个，将 10 个数字分成三组，即被 3 除余 1 的有{1，4，7}、被 3 除余 2 的有{2，5，8}，被 3 整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位数被 3 整除，则可以分类讨论：① 三个数字均取第一组，或均取第二组，有 3 32 12A  个；② 若三个数字均取自第三组，则要考虑取 出的数字中有无数字 0，共有 3 2 4 3 18A A  个；③ 若三组各取一个数字，第三组中不取 0，有 1 1 1 3 3 3 3 3 162C C C A    个，④若三组各取一个数字，第三组中取 0，有 1 1 2 3 3 22 36C C A    个，这样 能被 3 整除的数共有 228 个，不能被3 整除的数有 420 个，所以概率为 420 648 = 35 54 ，选 C。 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上。 （13） 101 2x 展开式中的 3x 项为 3 7 3 3 10 1 ( 2 ) 960C x x     ， 3x 的系数为－960。 （14）设 ,x y 满足约束条件： 1 1 2 2 10 x y x x y       ，在直角坐标系中画出可 行域△ABC，其中 A(1， 2 1 )，B(1，8)，C(4，2)，所以 2z x y  的最 小值为－6。 （15）如图，把椭圆 2 2 125 16 x y  的长轴 AB 分成8 等份，过每个分点作 x 轴 的垂线交椭圆的上半部分于 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个 焦点，则根据椭圆的对称性知， 1 1 7 1 1 1 1 2| | | | | | | | 2PF P F PF PF a    ，同理 其 余 两 对 的 和 也 是 2a ， 又 4 1| |P F a ， ∴ 1 2 3 4 5 6 7PF P F P F P F P F P F P F       7a =35. （16） ,m n 是空间两条不同直线， ,  是两个不同平面，下面有四个命题： ① , // , //m n m n      ,为真命题；② , // , //m n m n      ，为 ie 假命题； ③ , // , //m n m n      为假命题； ④ , // , //m m n n      为真命题， 所以真命题的编号是①、④. 三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分 12 分） 数列 na 的前 n 项和记为  1 1, 1, 2 1 1n n nS a a S n    （Ⅰ）求 na 的通项公式； （Ⅱ）等差数列 nb 的各项为正，其前 n 项和为 nT ，且 3 15T  ，又 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b   成等比数 列，求 nT 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解：（Ⅰ）由 1 2 1n na S   可得  12 1 2n na S n   ，两式相减得  1 12 , 3 2n n n n na a a a a n     又 2 12 1 3a S   ∴ 2 13a a 故 na 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴ 13n na  （Ⅱ）设 nb 的公比为 d 由 3 15T  得，可得 1 2 3 15b b b   ，可得 2 5b  故可设 1 35 , 5b d b d    又 1 2 31, 3, 9a a a   由题意可得    25 1 5 9 5 3d d      解得 1 22, 10d d  ∵等差数列 nb 的各项为正，∴ 0d  ∴ 2d  ∴   213 2 22n n nT n n n      （18）（本大题满分 12 分） 已知 , ,A B C 是三角形 ABC 三内角，向量    1, 3 , cos ,sinm n A A    ，且 1m n   （Ⅰ）求角 A ； （Ⅱ）若 2 2 1 sin 2 3cos sin B B B    ，求 tan B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角 公式，考察应用、分析和计算能力。满分 12 分。 解：（Ⅰ）∵ 1m n   ∴   1, 3 cos ,sin 1A A   即 3sin cos 1A A  3 12 sin cos 12 2A A         1sin 6 2A      ∵ 50 , 6 6 6A A        ∴ 6 6A    ∴ 3A  （Ⅱ）由题知 2 2 1 2sin cos 3cos sin B B B B    ，整理得 2 2sin sin cos 2cos 0B B B B   ∴ cos 0B  ∴ 2tan tan 2 0B B   ∴ tan 2B  或 tan 1B   而 tan 1B   使 2 2cos sin 0B B  ，舍去 ∴ tan 2B  （19）（本大题满分 12 分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核 都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9,0.8,0.7 ；在 实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9 ，所有考核是否合格相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解 决实际问题的能力。满分 12 分。 解：记“甲理论考核合格”为事件 1A ，“乙理论考核合格”为事件 2A ，“丙理论考核合格”为事件 3A ， 记 iA 为 iA 的对立事件， 1,2,3i  ；记“甲实验考核合格”为事件 1B ，“乙实验考核合格”为事件 2B ， “丙实验考核合格”为事件 3B ， （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 解法 1：    1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P C P A A A A A A A A A A A A           1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P A A A P A A A P A A A P A A A    0.9 0.8 0.3 0.9 0.2 0.7 0.1 0.8 0.7 0.9 0.8 0.7            0.902 解法 2：    1P C P C   1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 P A A A A A A A A A A A A            1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 P A A A P A A A P A A A P A A A        1 0.1 0.2 0.3 0.9 0.2 0.3 0.1 0.8 0.3 0.1 0.2 0.7             1 0.098  0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件 D        1 1 2 2 3 3P D P A B A B A B             1 1 2 2 3 3P A B P A B P A B                 1 1 2 2 3 3P A P B P A P B P A P B      0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9      0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 （20）（本大题满分 12 分） 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,E P 分别是 1 1,BC A D 的 中点， ,M N 分别是 1,AE CD 的中点， 1 , 2AD AA a AB a   （Ⅰ）求证： //MN 面 1 1ADD A ； （Ⅱ）求二面角 P AE D  的大小。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能 力和推理能力。满分 12 分 解法一： （Ⅰ）证明：取CD 的中点 K ，连结 ,MK NK ∵ , ,M N K 分别为 1, ,AK CD CD 的中点 ∵ 1// , //MK AD NK DD ∴ //MK 面 1 1ADD A ， //NK 面 1 1ADD A ∴面 //MNK 面 1 1ADD A ∴ //MN 面 1 1ADD A （Ⅱ）设 F 为 AD 的中点 ∵ P 为 1 1A D 的中点 ∴ 1//PF DD ∴ PF  面 ABCD 作 FH AE ，交 AE 于 H ，连结 PH ，则由三垂线定理得 AE PH 从而 PHF 为二面角 P AE D  的平面角。 在 Rt AEF 中， 17, 2 ,2 2 aAF EF a AE a   ，从而 2 22 17 17 2 a aAF EF aFH AE a    在 Rt PFH 中， 1 17tan 2 DDPFPFH FH FH     故：二面角 P AE D  的大小为 17arctan 2 方法二：以 D 为原点， 1, ,DA DC DD 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标系，则          1 1,0,0 , ,2 ,0 , 0,2 ,0 , ,0, , 0,0,A a B a a C a A a a D a ∵ , , ,E P M N 分别是 1 1 1, , ,BC A D AE CD 的中点 ∴ 3,2 ,0 , ,0, , , ,0 , 0, , ,2 2 4 2 a a a aE a P a M a N a                       （Ⅰ） 3 ,0,4 2 aMN a      取  0,1,0n  ，显然 n  面 1 1ADD A 0MN n   ，∴ MN n  又 MN  面 1 1ADD A ∴ //MN 面 1 1ADD A ∴过 P 作 PH AE ，交 AE 于 H ，取 AD 的中点 F ，则 ,0,02 aF      设  , ,0H x y ，则 , , , , ,02 2 a aHP x y a HF x y                 又 ,2 ,02 aAE a      由 0AP AE   ，及 H 在直线 AE 上，可得: 2 2 04 2 4 4 a a x ay x y a        解得 33 2,34 17x a y a  ∴ 8 2 8 2, , , , ,017 17 17 17 a a a aHP a HP                 ∴ 0HF AE   即 HF AE  ∴ HP  与 HF  所夹的角等于二面角 P AE D  的大小 2cos , 21 HP HFHP HF HP HF         故：二面角 P AE D  的大小为 2 21arccos 21 （21）（本大题满分 12 分） 已知函数      3 3 1, 5f x x ax g x f x ax      ，其中  'f x 是的导函数 （Ⅰ）对满足 1 1a   的一切 a 的值，都有   0g x  ，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）设 2a m  ，当实数 m 在什么范围内变化时，函数  y f x 的图象与直线 3y  只有一个公共 点 本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和 综合应用数学知识的能力。满分 12 分。 解：（Ⅰ）由题意   23 3 5g x x ax a    令     23 3 5x x a x     ， 1 1a   对 1 1a   ，恒有   0g x  ，即   0a  ∴     1 0 1 0      即 2 2 3 2 0 3 8 0 x x x x         解得 2 13 x   故 2 ,13x      时，对满足 1 1a   的一切 a 的值，都有   0g x  （Ⅱ）  ' 2 23 3f x x m  ①当 0m  时，   3 1f x x  的图象与直线 3y  只有一个公共点 ②当 0m  时，列表： x  , m m  ,m m m  ,m   'f x  0  0   f x  极大  极小  ∴     22 1 1f x f x m m     极小 又∵  f x 的值域是 R ，且在 ,m  上单调递增 ∴当 x m 时函数  y f x 的图象与直线 3y  只有一个公共点。 当 x m 时，恒有    f x f m  由题意得   3f m  即 322 1 2 1 3m m m    解得    3 32,0 0, 2m   综上， m 的取值范围是 3 32, 2 （22）（本大题满分 14 分） 已知两定点    1 22,0 , 2,0F F ，满足条件 2 1 2PF PF   的点 P 的轨迹是曲线 E ，直线 1y kx  与曲线 E 交于 ,A B 两点 （Ⅰ）求 k 的取值范围； （Ⅱ）如果 6 3AB  ，且曲线 E 上存在点C ，使OA OB mOC    ，求 m 的值和 ABC 的面积 S 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几 何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 14 分。 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以    1 22,0 , 2,0F F 为焦点的双曲线的左支， 且 2, 1c a  ，易知 1b  故曲线 E 的方程为  2 2 1 0x y x   设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由题意建立方程组 2 2 1 1 y kx x y      消去 y ，得 2 21 2 2 0k x kx    又已知直线与双曲线左支交于两点 ,A B ，有     2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 2 8 1 0 2 01 2 01 k k k kx x k x x k                    解得 2 1k    ∵ 2 1 21AB k x x     2 1 2 1 21 4k x x x x     2 2 2 2 2 21 41 1 kk k k                2 2 22 1 2 2 1 k k k     依题意得      2 2 22 1 2 2 6 3 1 k k k     整理后得 4 228 55 25 0k k   ∴ 2 5 7k  或 2 5 4k  但 2 1k    ∴ 5 2k   故直线 AB 的方程为 5 1 02 x y   设  0 0,C x y ，由已知 OA OB mOC    ，得      1 1 2 2 0 0, , ,x y x y mx my  ∴  1 2 1 2 0 0, ,x x y ymx my m m       ， 0m  又 1 2 2 2 4 51x x k     ，   2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 81 1 ky y k x x k k          ∴点 4 5 8,C m m      将点C 的坐标代入曲线 E 的方程，得 2 2 80 64 1m m   得 4m   ， 但当 4m   时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴ 4m  ，点C 的坐标为 5,2 C 到 AB 的距离为   2 2 5 5 2 12 1 35 12            ∴ ABC 的面积 1 16 3 32 3S    