2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 再练一课 (范围：5
再练一课(范围：5.5)
1．sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°化简得( )
A．－1
2 B. 3
2 C．－ 3
2 D.1
2
答案 C
解析 sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°＝sin(162°＋78°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°
＝－ 3
2 .
2．函数 y＝2cos2 x＋π
4 －1 是( )
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π
2
的奇函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π
2
的偶函数
答案 C
解析 y＝2cos2 x＋π
4 －1＝cos 2x＋π
2 ＝－sin 2x，显然是奇函数，周期为π.
3．已知α，β∈ －π
2
，π
2 ，且 tan α，tan β是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两个根，则α＋β的值为
( )
A.π
3
或－2π
3 B．－2π
3
C．－π
3
或2π
3 D．－π
3
答案 B
解析 由题意可得 tan α＋tan β＝－3 3，tan αtan β＝4；
所以 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－3 3
1－4
＝ 3；
因为α，β∈ －π
2
，π
2 ，tan α＋tan β＝－3 3<0，tan αtan β＝4>0，
所以α，β∈ －π
2
，0 ，所以α＋β∈(－π，0)．
因为 tan(α＋β)＝ 3，所以α＋β＝－2π
3 .
4．已知函数 f(x)＝f(π－x)，且当 x∈ －π
2
，π
2 时，f(x)＝x＋sin x．设 a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，
则( )
A．a
0，
故得到 sin α
2
＝ 30
6 .
7．已知 sin α－3cos α＝0，则 sin 2α＝________.
答案 3
5
解析 由题意可得 sin α＝3cos α，
所以 sin2α＋cos2α＝(3cos α)2＋cos2α＝1，
所以 cos2α＝ 1
10
，
所以 sin 2α＝2sin αcos α＝6cos2α＝3
5.
8．若方程 sin x－ 3cos x＝c 有实数解，则 c 的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 关于 x 的方程 sin x－ 3cos x＝c 有解，
即 c＝sin x－ 3cos x＝2sin x－π
3 有解，
由于 x 为实数，则 2sin x－π
3 ∈[－2,2]，
故有－2≤c≤2.
9．已知α，β为锐角，cos α＝3
5
，cos(α＋β)＝－ 5
5 .
(1)求 sin 2α的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
解 (1)已知α，β为锐角，cos α＝3
5
，所以 sin α＝4
5
，
则 sin 2α＝2sin αcos α＝2×3
5
×4
5
＝24
25.
(2)由于α，β为锐角，则 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)＝－ 5
5
⇒sin(α＋β)＝2 5
5
，
由(1)知 tan α＝sin α
cos α
＝4
3
，
所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－ 5
5
×3
5
＋2 5
5
×4
5
＝ 5
5
，
则 tan β＝2，故 tan(α－β)＝ tan α－tan β
1＋tan αtan β
＝
4
3
－2
1＋4
3
×2
＝－ 2
11.
10．已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－1.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在 0，π
2 上的单调区间．
解 由已知得，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝ 2sin 2x＋π
4 ＋1.
(1)函数的最小正周期 T＝2π
2
＝π.
(2)由 2kπ－π
2
≤2x＋π
4
≤2kπ＋π
2(k∈Z)得，
kπ－3π
8
≤x≤kπ＋π
8(k∈Z)，
又 x∈ 0，π
2 ，∴ x∈ 0，π
8 ，
∴f(x)的单调递增区间为 0，π
8 ，
同理可求 f(x)的单调递减区间为
π
8
，π
2 .
11．若 sin x＋π
3 ＝1
3
，则 cos
π
3
－2x 等于( )
A．－7
9 B.7
9 C.2 2
3 D．－2 2
3
答案 A
解析 因为 sin x＋π
3 ＝1
3
，
π
6
－x ＋ x＋π
3 ＝π
2
，
所以 cos
π
6
－x ＝sin x＋π
3 ＝1
3
；
cos
π
3
－2x ＝cos 2
π
6
－x ＝2cos2
π
6
－x －1＝－7
9.
12．函数 y＝2sin xcos x－ 3cos 2x 的单调增区间是( )
A. kπ－5π
12
，kπ＋ π
12 (k∈Z)
B. kπ－π
6
，kπ＋π
3 (k∈Z)
C. kπ－π
3
，kπ＋π
6 (k∈Z)
D. kπ－ π
12
，kπ＋5π
12 (k∈Z)
答案 D
解析 y＝2sin xcos x－ 3cos 2x＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 2x－π
3 ，
由－π
2
＋2kπ≤2x－π
3
≤π
2
＋2kπ(k∈Z)得，
kπ－ π
12
≤x≤kπ＋5π
12(k∈Z)，
∴函数的单调增区间是 kπ－ π
12
，kπ＋5π
12 (k∈Z)．
13.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成
的一个大正方形，如果大正方形的面积为 225，小正方形的面积为 9，直角三角形较小的锐角
为α，则 sin 2α等于( )
A. 1
25 B. 7
25 C.12
25 D.24
25
答案 D
解析 ∵大正方形的面积为 225，小正方形的面积为 9，
∴大正方形的边长为 15，小正方形的边长为 3.
设四个全等的直角三角形的长直角边为 x，则短直角边为 x－3.
由勾股定理得 x2＋(x－3)2＝152，解得 x＝12(舍负)，
α为直角三角形较小的锐角，所以 sin α＝3
5
，cos α＝4
5
，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝24
25.
14．函数 f(x)＝cos2x－sin2x＋2sin xcos x 的最小正周期为________，单调递减区间是
________________．
答案 π kπ＋π
8
，kπ＋5π
8 (k∈Z)
解析 由题意得，f(x)＝cos2x－sin2x＋2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x＝ 2sin 2x＋π
4 ，
∴最小正周期 T＝2π
ω
＝π，
由 2kπ＋π
2<2x＋π
4<2kπ＋3π
2 (k∈Z) 得，
kπ＋π
8
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