2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三) (含答案解析)

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三) (含答案解析)

BD 的动点，则 如图，正四面体 ABCD 中，E，F 分别是线段 AC 的三等分点，P 是线段 AB 的中点，G 是直线 . A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 72 种 个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有 某县政府分派 4 名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一 . D. 280 t  B. 35 C. t h A. 的系数为 的展开式中， t 在 . ， h t ሼ D. h t t C. t B. t A. 成中心对称的充要条件是 h  的图象关于点 䁠 cos t 函数 . 也成立 䁠 ʹ  时， ʹ  成立，那么 䁠 ᦙ  时，有 ᦙ  䁠1 t 䁠 t 1 䁠D. 如果 C. B. 图象过原点，且关于原点对称 上的单调性相反  t 和 t 䁥 在 䁠 A. 为定义在 R 上的奇函数，则下列结论中不正确的是 䁠 已知函数 ሼ. 䁨 1 h t 1 t D. 䁨 1 h t 1 C. 䁨 1 t B. 䁨 1 t t A. 中，D 是 AB 边上靠近点 A 的三等分点，E 是 CD 的中点，则 䁨 在 h. 合hݔ D. ݔ 4，7， 合h C. ݔ 4， 合h B. ݔ 4， 合h A. ，则 ݔ 6， 合 ， ݔ 5， 合ሼ ， 合 ȁ ʹ ʹ ݔ 设集合 . t 1 t D. t 1 C. t 1 t B. t 1 A. 1t th 1. 一、单项选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三) 2020 A. 存在点 G，使 成立 B. 存在点 G，使 成立 C. 不存在点 G，使平面 平面 ACD 成立 D. 不存在点 G，使平面 平面 ABD 成立 . 已知 1 、 分别为双曲线 C： t 1 的左、右焦点，点 A 为双曲线上一点， 1 的平分 线交 x 轴于点  ，则 ȁȁ A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 1. 设函数 䁠 t t log 1 ，则 䁠 的值域是 A. R B. t t C. 1 t D. 1二、填空题（本大题共 7 小题，共 21.0 分） 11. 已知某离散型随机变量 的数学期望 ， 的概率分布列如下表： 0 1 2 3 P a 1 h 1 b 则 ________ .12. 某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为 1，则该 三棱锥的体积为______ ． 13. 已知抛物线 ᦙ  的焦点坐标为 1 ሼ  ，则 ______． 14. 已知实数 x，y 满足 t t 1  t t 1  ʹ ，则 t 的取值范围是______． 15. 已知数列 ， 1 h ， ， t t1 t ，则 1 ________． 16. 函数 䁠 的定义域为 R，若对任意的 ， 䁠 t 䁠൅ ᦙ  ，且 䁠 1 ，则不等式 t 1䁠 t 1 ᦙ 1 的解集为______． 17. 如图，在 䁨 中，  ，D，E 分别是 AC，BC 上的点，且满足 ᦙ 䁨ᦙ h ， ሼ䁨 ，若 䁨ᦙ h ，则 ᦙ 的面积为______． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 18. 已知函数 䁠 ሼsin cos t ． Ⅰ 求 䁠 ሼ 的值及函数 䁠 的最小正周期； Ⅱ 求函数 䁠 的单调递增区间． ． 的前 n 项和 t1 ݔ 合 求数列 Ⅱ 的通项公式； 合ݔ 求数列 Ⅰ ．  ሼ ， 是等差数列，且 合ݔ 数列 . h t ，且 的前n项和为 合ݔ 20. 已知数列 定点 M 的位置，若不存在，请说明理由． ？若存在，确 试问线段 DE 上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 平面 BCDE； ᦙ䁨 证明：平面 1 ． tan ， 1 且 ， 䁨 ， 䁨ᦙ ሼ ， 䁠䁠䁨ᦙ 圆 O 所在的平面， 䁨ᦙ ， 的外接圆 O 的半径为 䁨 如图， .19 21. 如图，已知椭圆 C： t 1 ᦙ ᦙ  与双曲线 ሼ t 1 有 相同的焦点，且椭圆 C 过点 1 ，若直线 l 与直线 OP 平行且与 椭圆 C 相交于点 A，B． Ⅰ 求椭圆 C 的标准方程； Ⅱ 求三角形 OAB 面积的最大值． 22. 已知函数 䁠 ln t t ᦙ  t 当 1 ʹ ʹ ሼ 时，函数 䁠 在 ሼ䁥 上的最小值为 ln h ，求 a； Ⅱ 若存在  t ，使得 䁠 ʹ  ，求 a 的取值范围． 4 解析：解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，若 䁠 为奇函数，则 䁠 在 t 䁥 和  t 上的单调性相同，A 错误； 对于 B，若 䁠 为定义在 R 上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，B 正确； 对于 C，若 䁠 为奇函数，则 䁠 t 1 t 䁠1 ，则 䁠 t 1 t 䁠1  ，C 正确； 对于 D，若 ᦙ  时，有 䁠 ᦙ  成立，那么 ʹ  时， 䁠 t 䁠 t ʹ  ，C 正确； 故选：A． 根据题意，结合函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题． 5.答案：A 解析：由题意得 䁠 h  ，即 cos h t  ，所以 t ，故选 A ...6.答案：C 解析：解：二项式 t 的展开式的通项公式为 t1 t t t 1ሼth ， 令 1ሼ t h ，解得 h ； 展开式中 的系数为： t h h t  ． 故选：C． 利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中 的系数． 本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题 7.答案：B 解析： 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 根据题意，分 2 步进行分析： 将 4 名干部分为 3 组， 将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村， 由分步计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分 2 步进行分析： 将 4 名干部分为 3 组，有 䁨ሼ 种分组方法， 将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，有 h h 种情况， 则有 h 种不同的分配方法， 故选：B． 8.答案：C 解析：解：正四面体 ABCD 中，E，F 分别是线段 AC 的三等分点， P 是线段 AB 的中点，G 是直线 BD 的动点， 在 A 中，不存在点 G，使 成立，故 A 错误； 在 B 中，不存在点 G，使 成立，故 B 错误； 在 C 中，不存在点 G，使平面 平面 ACD 成立，故 C 正确； 在 D 中，存在点 G，使平面 平面 ABD 成立，故 D 错误． 故选：C． 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题． 9.答案：B 解析： 解：双曲线 C： t 1 的 h ， h h ， t ， 则 1 t  ，  ， 1 的平分线交 x 轴于点 M， 可得 ȁ1ȁ ȁȁ ȁ1ȁ ȁȁ ሼ 1 ， 可得 A 在右支上， 由双曲线的定义可得 ȁ1ȁ t ȁȁ ， 解得 ȁȁ ； 故选：B． 求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理，以及双曲线的定义可得 ȁ1ȁ t ȁȁ ，进而可得所求； 本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 10.答案：B 解析： 1 时 log  ， t t log t ， 函数 䁠 t t log 1 的值域是 t t ． 11.答案： 1 h 解析： 本题主要考查离散型随机变量 的数学期望，属于基础题． 根据分布列的性质及数学期望公式求解即可． 解：  t 1 1 h t 1 t h 1 ， 又  t 1 t t h 1 t 1 h t 1 t 1 1 1 h ． 故答案为 1 h ． 12.答案：3 解析： 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为 2，底面是直角边长度为 3 的等腰直角三 角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可． 此题考查了由三视图求面积、体积，解题的关键是得到该几何体的形状． 解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示： 其高为 2，底面是直角边长度为 3 的等腰直角三角形， 其底面面积 1 h h ，高 ， 则体积 1 h h ， 故答案为：3 13.答案： 1 解析：解：抛物线 ᦙ  的焦点坐标为 1 ሼ  ， 1 ሼ ， 解得 1 ． 故答案为： 1 ． 根据抛物线的焦点坐标求得 p 的值． 本题考查了抛物线的简单几何性质的应用问题，是基础题． 14.答案：  解析： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示， 做直线 l： t  ，平移 l 可知过 C 时 z 最小，过 B 时 z 最大， 联立 t t 1  t t 1  得 䁨 1 h h ，同理 t 1 ， 即 z 的取值范围是  ． 故答案为：  ． 15.答案：3 解析： 本题考查数列的递推关系式的应用，周期数列的应用，考查计算能力． 利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解 1 即可． 解：由递推关系，得 1 h ， ， h h ， ሼ t h ， t ， t h ， h ， ， 知数列 是周期数列，周期为 6， 得 1 hhth h h ． 故答案为 3． 16.答案： t t 1 1 t 解析： 构造函数 䁠 ，求导后由已知可知函数为增函数，把原不等式转化为 t 1 ᦙ 求解． 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题． 解：令 䁠 ，则 ൅ 䁠 t 䁠൅ ᦙ  ， 可得 在 t t 上为增函数， 由 䁠 1 ，得 䁠 1 ， 不等式 t 1䁠 t 1 ᦙ 1 化为 t 1 ᦙ ， 又 在 t t 上为增函数， t 1 ᦙ ，得 ʹt 1 或 ᦙ 1 ． 不等式 t 1䁠 t 1 ᦙ 1 的解集为 t t 1 1 t ． 故答案为： t t 1 1 t ． 17.答案： ሼ h 解析： 本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 过点 E 作 䁨 于点 F，设 ，表示出 BA、BD 和 AD，利用勾股定理和余弦定理，列方程 求得 x 的值，再计算 ᦙ 的面积． 解：过点 E 作 䁨 于点 F，如图所示； 由  知， 䁠䁠 ， 再由 ሼ䁨 ，得 ； 设 ，则 ； 又 ᦙ 䁨ᦙ h ，得 ᦙ 1 ， ᦙ ， ᦙ h ， ᦙ 1 ； 由勾股定理，得 䁨 t h t h 1 t h t h ； 又由余弦定理，得 1 t t 1 䁞1 1ሼ ； 又 ሼ䁨 ，所以 䁨 ሼ ， 所以 䁨 1 ， 1 t h t h 1 1ሼ ， 解得 或 t 舍去 ， 所以 ᦙ 的面积为 ᦙ 1 ᦙ ᦙ 䁞1 1 1 h ሼ h ． 故答案为： ሼ h ． 18.答案：解： Ⅰ 函数 ， 所以 所以函数的最小正周期为 ． Ⅱ 令 ， 解得 ． 所以函数的单调递增区间为 t t t h 䁥 解析：本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，周期和单调区间，属于中档题． Ⅰ 利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对 䁠 进行整理化简，得到正弦型函数的形式，然 后求出 䁠 ሼ 和最小正周期； Ⅱ 令 t t t t ，解出 x 的范围，得到 䁠 的单调递增区间． 19.答案： 1 证明： 䁨ᦙ 平面 ABC， 䁠䁠䁨ᦙ ， 平面 ABC， ， 1 ， tan ， 1 ， t ， AB 是 的直径， 䁨 䁨 ， 又 䁨ᦙ 平面 ABC， 䁨ᦙ 䁨 ， 故 BC 平面 ACD， 䁨 平面 BCDE， 平面 ᦙ䁨 平面 BCDE． 解：假设点 M 存在，过点 M 作 䁨ᦙ 于 N，连结 AN，作 䁨于 F，连结 AF， 平面 ᦙ䁨 平面 BCDE， 平面 ACD， 为 MA 与平面 ACD 所成的角， 设 ，计算易得， ᦙ h ， ሼ t h ， 故 A t 䁨 t 䁨 t 1 t t ሼ t h ， sin 1ttሼt h ， 解得： t h 舍去 ， ሼ h ， 故 h 䁨 ，从而满足条件的点 M 存在，且 ᦙ h ᦙ ，且点 M 的坐标为  ሼ h ． ，  的焦点为 1 ሼ t 双曲线 Ⅰ 21.答案：解： 是最常用的方法． t t1 1 1 ，公式 ，求 本题考查的知识点是数列的递推公式及数列的求和，如果已知中已知 的表达式，进而利用错位相消法，即可求出答案． 的前 n 项和 t1 ݔ 合 我们易写出列 的通项公式， t1 ݔ 合 我们可以求出数列  ሼ. ， 是等差数列，且 合ݔ 中结论即数列 t 结合 tt 式； 的通项公 合ݔ ，即可求出数列 t t1 1 1 结合 . h t 根据已知中 t 解析： 分 .1 h th h t h h t 1 1t h 1 1t 则 ， h t t1 h 1 t t 1 h 1 t  h 1 ，即 t1 h t h 1 t t h 1 t 1 h 1 h ሼ 相减得 ， 䁥 t1 h t h t1 t t h h t h 1 h ሼ 1 而 ， 䁥 h t t1 h t1 t t h t 1 h 1 t1 ሼ t1t1 t t1 t1 t t 1t1 t 1 ． t ሼ 是等差数列，求得 合ݔ 由  t . ， t 分 .ሼ 1 t h 的通项公式为 合ݔ 所以数列 ． t h 是等比数列，公比是 3，首项为 合 t 1ݔ 所以数列 1 t . ，得 1 ，令 h ݔ t 即椭圆标准方程中 ， t t ， 将 1 代入椭圆方程 t t 1 中， 得 ሼ t t 1 1 ， 解得： ， ， 椭圆 C 的标准方程为 t 1 ； Ⅱ 由直线 l 平行于 OP，且 1 ， 设直线 l 的方程为 1 t 洠 ， 由 1 t 洠 t 1 ，消去 y 得 t 洠 t 洠 t ሼ  ； 设 11 ， ，则 1 t t 洠 ， 1 t 洠 t ሼ ， 由 l 与椭圆 C 有不同的两点，则 ᦙ  ， 即 ሼ洠 t ሼ洠 t ሼ ᦙ  ，解得 t ʹ 洠 ʹ ，且 洠  ， 又 ȁȁ 1 t 1 t t ሼ1 ሼ洠 t ሼ洠 t ሼ ሼ t 洠 ， 点 O 到直线 l 的距离为 ȁ洠ȁ 1 tt1 ȁ洠ȁ ， 的面积为 1 丨 AB 丨 ȁ洠ȁ ሼ t 洠 洠 ሼ t 洠 洠 tሼt洠 ， 当且仅当 洠 ሼ t 洠 ，即 洠 时取等号， 此时 的面积最大，且最大值为 2． 解析： Ⅰ 由双曲线的性质求出 ，得出 t t ，将 1 代入椭圆方程求得 a 和 b，即得椭圆 C 的标准方程； Ⅱ 根据题意，设直线 l 的方程为 1 t 洠 ，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直 线的距离公式，根据基本不等式的性质，即可求得 面积的最大值． 本题考查了椭圆方程的求法以及求三角形面积的最大值和直线方程的求法，韦达定理以及基本不等 式的性质应用问题，是综合性题目． 22.答案：解： Ⅰ 令 t t ， ൅ 1 t t ， ሼ䁥 ， 1 ʹ ʹ ሼ ， t ᦙ  ， ൅ ᦙ  ， 在 ሼ䁥 上单调递增， 䁠 在 ሼ䁥 上单调递增， 䁠洠 䁠 ln t t ln h ， h ， Ⅱ 由 Ⅰ 可知，函数 䁠 在 t 上单调递增， 䁠洠 䁠 ln t t ln ， 存在  t ，使得 䁠 ʹ  ， ln ʹ  1 ，  ʹ ʹ 故 a 的取值范围为  解析： Ⅰ 令 t t ，利用导数判断 的单调性，再根据符合函数判断 䁠 的单调性， 根据函数的单调性即可求出函数的最值，即可求出 a 的值， Ⅱ 由由 Ⅰ 可知，函数 䁠 在 t 上单调递增，求出函数的最小值，根据存在  t ， 使得 䁠 ʹ  ，得到 a 的取值范围． 本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用以及复合函数的单调性，考查了学生的运算能力和 转化能力，属于中档题．