江西省瑞金市四校联盟2020届高三第三次联考数学文科试题 Word版含解析

江西省瑞金市四校联盟2020届高三第三次联考数学文科试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届四校联盟高三第三次联考试卷 数学（文科）‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数则的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再计算共轭复数得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 故选：.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.已知则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 计算，再计算向量模得到答案.‎ 详解】，，则.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.是函数有且仅有一个零点的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入函数证明充分性，取得到不必要，得到答案.‎ ‎【详解】当时，，，充分性；‎ 当时，，，一个零点，故不必要.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.‎ ‎5.已知，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 计算，，，得到答案.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据对数函数单调性比较大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ ‎6.函数的部分图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数为偶函数排除，当时，，排除，得到答案.‎ ‎【详解】，，函数为偶函数，排除；‎ - 20 -‎ 当时，，故，排除.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为偶函数为解题的关键.‎ ‎7.《易经》是中国传统文化中精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.‎ ‎【详解】根据题意一共有：‎ 乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；‎ 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；‎ 离艮、离兑；艮兑，28种情况.‎ 满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎8.2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.全力抗疫成为举国上下的首要大事，而口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为(单位:十万只)，已知这组数据的平均值为4，方差为且成递增的等差数列，‎ - 20 -‎ 成等比数列，则这组数据的极差为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列等比数列性质计算得到，或，得到极差.‎ ‎【详解】，‎ 根据题意：，，故.‎ ‎，故，，故.‎ 方差为，故或，故极差为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了平均值，方差，极差，意在考查学生的计算能力和有应用能力.‎ ‎9.在棱长为4的正方体中，点分别为的中点，则过三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：连接，为中点，证明四边形为菱形，计算面积得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：连接，为中点，易知，四边形为平行四边形，故，，故，故四点共面，‎ 故交线组成的平面多边形.‎ ‎，四边形为菱形，‎ - 20 -‎ ‎，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎10.设函数是上的偶函数，且在上单调递减，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，，，故，根据单调性得到，解得答案.‎ ‎【详解】，故，，故.‎ ‎，，故，函数单调递减，故，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三角函数单调性求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎11.已知直线的方程分别为和设交于点 - 20 -‎ ‎，记点的轨迹为曲线若双曲线的渐近线与曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立方程得到轨迹方程为，根据圆心到直线的半径大于半径得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：，消去得到.‎ 的渐近线方程为，取，‎ 根据题意：，即，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎12.设函数的最大值为若对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 确定为偶函数，时，得到函数单调性，得到，故，得到，解得答案.‎ ‎【详解】，函数为偶函数，‎ 当时，，，函数单调递减，故.‎ 故，恒成立，即，‎ 故，故.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，根据导数求最值，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 第I卷（选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ～第23题为选考题，考生根据要求作答. ‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，得到切线方程.‎ 详解】，，，.‎ 故切线方程为：.‎ 故答案为：.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，且已知在该几何体中能挖出的圆柱的最大体积为则该几何体的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等面积法计算，得到，计算，得到面积.‎ ‎【详解】根据三视图知几何体为三棱柱，底面为等腰直角三角形，设其内切圆半径为，‎ 根据等面积法：，解得.‎ 设三棱柱的高，则，故.‎ 将两个三棱柱组成一个长方体，设外接圆半径为，‎ 则，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图，外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎15.已知过抛物线的焦点的直线截抛物线所得的弦长为，设点为抛物线上的动点，点过点作抛物线的准线的垂线，垂足为则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 计算，联立方程得到，根据弦长得到，，得到答案.‎ ‎【详解】焦点为，直线过焦点，故，‎ 设交点的横坐标分别为，，故，故，‎ 故，故，故.‎ ‎，当共线时等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据抛物线的弦长求参数，抛物线中最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎16.已知的三个内角的对边分别为且满足则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到，，代入化简得到，设，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】，即，‎ 即，，‎ ‎，故，，故.‎ - 20 -‎ ‎，‎ ‎，故，故，‎ 根据双勾函数性质知：函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 故，当时， ，当时，，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，函数值域，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.答案写在试题卷上无效 ‎17.已知数列的前项和为令且数列为等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算得到，，得到通项公式.‎ ‎（2），根据裂项求和计算得到证明.‎ ‎【详解】（1），故，，故，.‎ - 20 -‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了数列通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎18.癌症是迄今为止人类尚未攻克的疾病之一，目前，癌症只能尽量预防．某医学中心推出了一种抗癌症的制剂，现对20位癌症病人，进行医学试验测试药效，测试结果分为“病人死亡”和“病人存活”，现对测试结果和药物剂量（单位：）进行统计，规定病人在服用（包括）以上为“足量”，否则为“不足量”，统计结果显示，这20病人 中“病人存活”的有13位，对病人服用的药物剂量统计如下表：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 吸收量/‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ 已知“病人存活”，但服用的药物剂量不足的病人共1位．‎ ‎（1）完成下列列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“病人存活”与服用药物的剂量足量有关？‎ 服用药物足量 服用药物不足量 合计 病人存活 ‎1‎ 病人死亡 合计 ‎20‎ - 20 -‎ ‎（2）若在该样本“服用药物剂量不足”的病人中随机抽取3位，求这三人中恰有1位“病人存活”的概率．‎ 参考数据:‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，不能；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）完善列联表，计算得到答案.‎ ‎（2）设计量不足的5位病人中，死亡人员为，存活人员为，列出所有共10种情况，满足条件的有6种，得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据题意：服用的药物剂量有15人，‎ 服用药物足量 服用药物不足量 合计 病人存活 ‎12‎ ‎1‎ ‎13‎ 病人死亡 ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ 合计 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 则，‎ 故不能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“病人存活”与服用药物的剂量足量有关.‎ - 20 -‎ ‎（2）设计量不足的5位病人中，死亡人员为，存活人员为.‎ 则共有，，，，，，，，，，‎ 共10种情况，满足条件的有6种，故.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19.如图所示，在直三棱柱中，设为的中点，且．‎ ‎（1）求证:平面 ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接与交于点，连接，故，得到证明.‎ ‎（2）到平面的距离等于到平面的距离，利用等体积法计算得到距离.‎ ‎【详解】（1）连接与交于点，连接，则为中点，为的中点，‎ 故，平面，故平面 ‎（2）平面，故到平面的距离等于到平面的距离.‎ - 20 -‎ ‎，‎ 中：，，，故，‎ ‎，故，‎ 设点到平面的距离为，则，故.‎ 故点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.如图所示，已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上顶点、下顶点、右顶点和右焦点，且的面积为 - 20 -‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线，使得与椭圆交于另一点且是以为底边的等腰三角形，若存在，请求出此时直线的方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，，解得答案.‎ ‎（2）则在以为圆点，为半径的圆上，联立方程解得与点重合，故不存在.‎ ‎【详解】（1）根据题意：，，解得，.‎ 故椭圆方程为.‎ ‎（2）根据题意，则在以为圆点，为半径的圆上，即.‎ ‎，解得，即与点重合，故不存在.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内的存在性问题，意在考查学生计算能力和转化能力.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）讨论函数的极值点个数；‎ ‎（2）设函数，若对，恒成立，且有唯一的零点，求证：.‎ ‎【答案】（1）或时有2个极值点，时没有极值点；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（1）求导得到，讨论，，三种情况得到答案.‎ ‎（2）根据题意得到和相切，设切点为，得到，且，解得答案.‎ ‎【详解】（1），则，‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；‎ 当时，恒成立，故单调递增，没有极值点；‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；‎ 综上所述：或时有2个极值点，时没有极值点.‎ ‎（2），即恒成立，‎ 且有唯一的零点，故和相切，‎ 设切点为，故，且，‎ 消去得到，设，易知函数单调递增，‎ ‎，故，‎ ‎，即，，，故.‎ ‎【点睛】本题考查了函数极值点，恒成立问题，零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号 选修4–4坐标系与参数方程 ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 - 20 -‎ 的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点的直线的参数方程为(为参数)，且与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据极坐标方程公式得到答案.‎ ‎（2）将参数方程代入圆方程得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，即.‎ ‎（2）将参数方程代入圆方程得到，故，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 选修4–5不等式选讲 ‎23.已知函数 ‎（1）若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设（1）中的最小值为且正实数满足求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1），代入计算得到答案.‎ ‎（2），展开化简利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】（1），当时等号成立，故，解得.‎ ‎（2），故 ‎，‎ 当，即时等号成立，故.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ - 20 -‎ - 20 -‎