【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第十二章概率、随机变量及其分布12-5条件概率及其性质学案

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【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第十二章概率、随机变量及其分布12-5条件概率及其性质学案

‎1.条件概率及其性质 ‎(1)对于两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率叫做条件概率,用符号P(A|B)来表示,其公式为P(A|B)=(P(B)>0).‎ 在古典概型中,若用n(B)表示事件B中基本事件的个数,则P(A|B)=.‎ ‎(2)条件概率具有的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1;‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件,‎ 则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).‎ ‎2.相互独立事件 ‎(1)设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.‎ ‎(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),‎ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).‎ ‎(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.‎ ‎(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.‎ ‎3.二项分布 ‎(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有__两__种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.‎ ‎(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率 为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( × )‎ ‎(2)相互独立事件就是互斥事件.( × )‎ ‎(3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( × )‎ ‎(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p.( × )‎ ‎(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率.( √ )‎ ‎1.袋中有3红5黑8个大小、形状相同的小球,从中依次摸出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概率为________.‎ 答案  解析 第一次摸出红球,还剩2红5黑共7个小球,所以再摸到红球的概率为.‎ ‎2.(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是______.‎ 答案  解析 所求概率P=C·()1·(1-)3-1=.‎ ‎3.(2015·课标全国Ⅰ改编)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为________.‎ 答案 0.648‎ 解析 3次投篮投中2次的概率为 P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),‎ 投中3次的概率为P(k=3)=0.63,‎ 所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.‎ ‎4.(2016·镇江模拟)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an= 如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为________________.(用式子作答)‎ 答案 C×2×5‎ 解析 由S7=3知,在前7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为C×2×5.‎ ‎5.(教材改编)国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙去北京旅游的概率为,假定二人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.‎ 答案  解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A,“乙去北京旅游”为事件B,又P( )=P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)]=(1-)(1-)=,‎ ‎“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”,故所求概率为1-P( )=1-=.‎ 题型一 条件概率 例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=________.‎ ‎(2)如图所示,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.‎ 答案 (1) (2) 解析 (1)P(A)==,P(AB)==,‎ P(B|A)==.‎ ‎(2)AB表示事件“豆子落在△OEH内”,‎ P(B|A)===.‎ 引申探究 ‎1.若将本例(1)中的事件B:“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”,则结果如何?‎ 解 P(A)==,‎ P(B)==,又A⊇B,则P(AB)=P(B)=,‎ 所以P(B|A)===.‎ ‎2.在本例(2)的条件下,求P(A|B).‎ 解 由题意知,∠EOH=90°,故P(B)=,‎ 又∵P(AB)===,‎ ‎∴P(A|B)===.‎ 思维升华 条件概率的求法 ‎(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).‎ ‎(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.‎ ‎ (2016·无锡模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为________.‎ 答案  解析 方法一 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”,事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”,则P(A)=,P(AB)=×=,则所求概率为P(B|A)===.‎ 方法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡,其中有7只卡口灯泡,故第2次抽到卡口灯泡的概率为=.‎ 题型二 相互独立事件的概率 例2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:‎ T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频数(次)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎ (1)求T的概率分布;‎ ‎ (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.‎ 解 (1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 以频率估计概率得T的概率分布为 T ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的概率分布相同,‎ 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.‎ 方法一 P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.‎ 方法二 P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)‎ ‎=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,‎ 故P(A)=1-P()=0.91.‎ 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.‎ ‎(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:‎ ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;‎ ‎②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算.‎ ‎ (2016·宿迁模拟)为了分流地铁高峰的压力,某市发改委通过听众会,决定实施低峰优惠票价制度.不超过22千米的地铁票价如下表:‎ 乘坐里程x(单位:km)‎ ‎0P(X=5).‎ ‎3.已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)是下列哪个事件的概率________.‎ ‎①事件A,B同时发生;‎ ‎②事件A,B至少有一个发生;‎ ‎③事件A,B至多有一个发生;‎ ‎④事件A,B都不发生.‎ 答案 ③‎ 解析 P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,1-P(A)·P(B)是A,B不同时发生的概率,即事件A,B至多有一个发生的概率.‎ ‎4.甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为________.‎ 答案  解析 设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P( )=P()P()P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=××=.‎ 故目标被击中的概率P=1-P( )=.‎ ‎5.(2017·南通质检)设随机变量X服从二项分布X~B(5,),则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是________.‎ 答案  解析 ∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,‎ ‎∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵X服从X~B(5,),‎ ‎∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=.‎ ‎6.(2016·无锡模拟)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、‎ 丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:‎ ‎①3位病人都被治愈的概率为0.93;‎ ‎②3人中的甲被治愈的概率为0.9;‎ ‎③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1;‎ ‎④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12;‎ ‎⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案 ①②④‎ ‎7.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥1)=________.‎ 答案  解析 ∵X~B(2,p),‎ ‎∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(1-p)2=,‎ 解得p=.又Y~B(3,p),‎ ‎∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C(1-p)3=.‎ ‎8.如图所示的电路有a,b,c三个开关,每个开关开或关的概率都是,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为________.‎ 答案  解析 灯泡甲亮满足的条件是a,c两个开关都开,b开关必须断开,否则短路.设“a闭合”为事件A,“b闭合”为事件B,“c闭合”为事件C,则甲灯亮应为事件AC,且A,B,C之间彼此独立,且P(A)=P(B)=P(C)=,由独立事件概率公式知P(AC)=P(A)P()P(C)=××=.‎ ‎9.(2016·无锡模拟)高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙二人相邻的概率是________.‎ 答案  解析 设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),由于P(B|A)=,而P(A)==,‎ AB表示事件“甲与乙、丙都相邻”,‎ 故P(AB)==,‎ 于是P(B|A)==.‎ ‎10.(2016·苏州质检)把一枚硬币任意抛掷三次,事件A=“至少一次出现反面”,事件B=“恰有一次出现正面”,则P(B|A)=________.‎ 答案  解析 由题意知,P(AB)==,‎ P(A)=1-=,‎ 所以P(B|A)===.‎ ‎11.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;‎ ‎(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲,乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的概率分布.‎ 解 依题意知,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.‎ 设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件Ak(k=0,1,2,3,4).‎ 则P(Ak)=Ck4-k.‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P(A2)=C22=.‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,故 P(B)=P(A3)+P(A4)=C3×+C4‎ ‎=.‎ 所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.‎ ‎(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.‎ 由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故 P(ξ=0)=P(A2)=,‎ P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,‎ P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.‎ 所以ξ的概率分布是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎12.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的概率分布;‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.‎ 解 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”,‎ 由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,‎ 因为利润=产量×市场价格-成本.‎ 所以X所有可能的取值为 ‎500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,‎ ‎300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.‎ P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,‎ P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()‎ ‎=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,‎ P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,‎ 故X的概率分布为 X ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,‎ 由(1)知,‎ P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),‎ ‎3季的利润均不少于2 000元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;‎ ‎3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为 P(1C2C3)+P(C12C3)+P(C1C23)‎ ‎=3×0.82×(1-0.8)=0.384,‎ 所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.‎ ‎*13.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):‎ 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1‎ ‎22‎ ‎12‎ 客场1‎ ‎18‎ ‎8‎ 主场2‎ ‎15‎ ‎12‎ 客场2‎ ‎13‎ ‎12‎ 主场3‎ ‎12‎ ‎8‎ 客场3‎ ‎21‎ ‎7‎ 主场4‎ ‎23‎ ‎8‎ 客场4‎ ‎18‎ ‎15‎ 主场5‎ ‎24‎ ‎20‎ 客场5‎ ‎25‎ ‎12‎ ‎(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;‎ ‎(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,‎ 一场不超过0.6的概率.‎ 解 (1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.‎ 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.‎ ‎(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.‎ 则C=A∪B,A,B独立.‎ 根据投篮统计数据,P(A)=0.6,P(B)=0.4.‎ P(C)=P(A)+P(B)‎ ‎=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.‎ 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为0.52.‎
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