【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第十二章概率、随机变量及其分布12-5条件概率及其性质学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第十二章概率、随机变量及其分布12-5条件概率及其性质学案

‎1．条件概率及其性质 ‎(1)对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝(P(B)>0)．‎ 在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝.‎ ‎(2)条件概率具有的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，‎ 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ ‎2．相互独立事件 ‎(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，‎ P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．‎ ‎(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．‎ ‎(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．‎ ‎3．二项分布 ‎(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ ‎(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率 为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　×　)‎ ‎(2)相互独立事件就是互斥事件．(　×　)‎ ‎(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)‎ ‎(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)‎ ‎(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　√　)‎ ‎1．袋中有3红5黑8个大小、形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为________．‎ 答案　 解析　第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.‎ ‎2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是______．‎ 答案　 解析　所求概率P＝C·()1·(1－)3－1＝.‎ ‎3．(2015·课标全国Ⅰ改编)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．‎ 答案　0.648‎ 解析　3次投篮投中2次的概率为 P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，‎ 投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，‎ 所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.‎ ‎4．(2016·镇江模拟)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝ 如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为________________．(用式子作答)‎ 答案　C×2×5‎ 解析　由S7＝3知，在前7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×2×5.‎ ‎5．(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．‎ 答案　 解析　记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P( )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝，‎ ‎“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1－P( )＝1－＝.‎ 题型一　条件概率 例1　(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.‎ ‎(2)如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ P(B|A)＝＝.‎ ‎(2)AB表示事件“豆子落在△OEH内”，‎ P(B|A)＝＝＝.‎ 引申探究 ‎1．若将本例(1)中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？‎ 解　P(A)＝＝，‎ P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎2．在本例(2)的条件下，求P(A|B)．‎ 解　由题意知，∠EOH＝90°，故P(B)＝，‎ 又∵P(AB)＝＝＝，‎ ‎∴P(A|B)＝＝＝.‎ 思维升华　条件概率的求法 ‎(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．‎ ‎(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎　(2016·无锡模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为________．‎ 答案　 解析　方法一　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.‎ 题型二　相互独立事件的概率 例2　设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：‎ T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频数(次)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎ (1)求T的概率分布；‎ ‎ (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．‎ 解　(1)由统计结果可得T的频率分布为 T(分钟)‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 以频率估计概率得T的概率分布为 T ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的概率分布相同，‎ 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．‎ 方法一　P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.‎ 方法二　P()＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)‎ ‎＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，‎ 故P(A)＝1－P()＝0.91.‎ 思维升华　求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．‎ ‎(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：‎ ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ ‎　(2016·宿迁模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：‎ 乘坐里程x(单位：km)‎ ‎0P(X＝5)．‎ ‎3．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率________．‎ ‎①事件A，B同时发生；‎ ‎②事件A，B至少有一个发生；‎ ‎③事件A，B至多有一个发生；‎ ‎④事件A，B都不发生．‎ 答案　③‎ 解析　P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是A，B不同时发生的概率，即事件A，B至多有一个发生的概率．‎ ‎4．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．‎ 答案　 解析　设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P( )＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.‎ 故目标被击中的概率P＝1－P( )＝.‎ ‎5．(2017·南通质检)设随机变量X服从二项分布X～B(5，)，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是________．‎ 答案　 解析　∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，‎ ‎∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～B(5，)，‎ ‎∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝.‎ ‎6．(2016·无锡模拟)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、‎ 丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：‎ ‎①3位病人都被治愈的概率为0.93；‎ ‎②3人中的甲被治愈的概率为0.9；‎ ‎③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1；‎ ‎④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12；‎ ‎⑤3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.92×0.1.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案　①②④‎ ‎7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.‎ 答案　 解析　∵X～B(2，p)，‎ ‎∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，‎ 解得p＝.又Y～B(3，p)，‎ ‎∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.‎ ‎8．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．‎ 答案　 解析　灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路．设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝，由独立事件概率公式知P(AC)＝P(A)P()P(C)＝××＝.‎ ‎9．(2016·无锡模拟)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙二人相邻的概率是________．‎ 答案　 解析　设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝，而P(A)＝＝，‎ AB表示事件“甲与乙、丙都相邻”，‎ 故P(AB)＝＝，‎ 于是P(B|A)＝＝.‎ ‎10．(2016·苏州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝________.‎ 答案　 解析　由题意知，P(AB)＝＝，‎ P(A)＝1－＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎11．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的概率分布．‎ 解　依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.‎ 设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．‎ 则P(Ak)＝Ck4－k.‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P(A2)＝C22＝.‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3×＋C4‎ ‎＝.‎ 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.‎ ‎(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.‎ 由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故 P(ξ＝0)＝P(A2)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，‎ P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.‎ 所以ξ的概率分布是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎12.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．‎ 解　(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，‎ 由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，‎ 因为利润＝产量×市场价格－成本．‎ 所以X所有可能的取值为 ‎500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，‎ ‎300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.‎ P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，‎ P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()‎ ‎＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，‎ P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，‎ 故X的概率分布为 X ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，‎ 由(1)知，‎ P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，‎ ‎3季的利润均不少于2 000元的概率为 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；‎ ‎3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为 P(1C2C3)＋P(C12C3)＋P(C1C23)‎ ‎＝3×0.82×(1－0.8)＝0.384，‎ 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.‎ ‎*13.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：‎ 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1‎ ‎22‎ ‎12‎ 客场1‎ ‎18‎ ‎8‎ 主场2‎ ‎15‎ ‎12‎ 客场2‎ ‎13‎ ‎12‎ 主场3‎ ‎12‎ ‎8‎ 客场3‎ ‎21‎ ‎7‎ 主场4‎ ‎23‎ ‎8‎ 客场4‎ ‎18‎ ‎15‎ 主场5‎ ‎24‎ ‎20‎ 客场5‎ ‎25‎ ‎12‎ ‎(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；‎ ‎(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，‎ 一场不超过0.6的概率．‎ 解　(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.‎ 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.‎ ‎(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．‎ 则C＝A∪B，A，B独立．‎ 根据投篮统计数据，P(A)＝0.6，P(B)＝0.4.‎ P(C)＝P(A)＋P(B)‎ ‎＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.‎ 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为0.52.‎