【数学】2019届一轮复习北师大版导数及其应用学案

【数学】2019届一轮复习北师大版导数及其应用学案

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探 ‎ 考查频率 导数的概念及计算 从近三年高考情况 看，导数的概念及计算一直是高考中的热点，对本知识的考查主要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数的导数.‎ 导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容，一般以基本初等函数为载体，考查导数的相关知识及应用，题型有选择题、填空题，也有解答题中的一问，难度一般较大，常以把关题的位置出现．解题时要熟练运用导数与函数单调性、极值与最值之间的关系，理解导数工具性的作用，注重数学思想和方法的应用.‎ ‎2016课标全国III 15‎ ‎2016课标全国II 16[ 学+ + ]‎ ‎2015课标全国I 21（I）‎ ‎2015课标全国II 12 ‎ ‎★★★★★ ‎ 导数的应用 ‎2017课标全国I 21‎ ‎2017课标全国II 11、21‎ ‎2017课标全国III 11、21‎ ‎2016课标全国I、II、III 21‎ ‎2015课标全国I、II 21‎ ‎★★★★★‎ 考点1 导数的概念及计算 题组一 导数的计算 调研1 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln ，则f ′(1)＝‎ A．−e B．−1‎ C．1 D．e ‎【答案】B ‎【解析】∵f(x)＝2xf ′(1)＋ln ，∴f ′(x)＝[2xf ′(1)]′＋(ln )′＝‎2f ‎′(1)＋，∴f ′(1)＝‎2f ‎′(1)＋1，即f ′(1)＝−1.故本题选B．学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．导数计算的原则和方法 ‎（1）原则 先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．‎ ‎（2）方法 ‎ ‎①连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎②分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎③对数形式 先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎④根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎⑤三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.‎ ‎2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数在开区间(a，b)内的导数的基本步骤 ‎ ‎（1）分析函数的结构和特征；‎ ‎（2）选择恰当的求导公式和运算法则求导；‎ ‎（3）整理得结果.‎ ‎3．求较复杂函数的导数的方法 对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.‎ ‎4．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 ‎（1）关键环节 ‎ ‎①中间变量的选择应是基本函数结构；‎ ‎②正确分析出复合过程；‎ ‎③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；‎ ‎④善于把一部分表达式作为一个整体；‎ ‎⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.‎ ‎（2）方法步骤 ‎ ‎①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；‎ ‎②求每一层基本初等函数的导数；‎ ‎③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.‎ 题组二 导数的几何意义 调研2 曲线y＝在点(1，0)处的切线方程为________．‎ ‎【答案】y＝x−1‎ ‎【解析】设f(x)＝，则f ′(x)＝，所以f ′(1)＝1.所以曲线y＝在点(1，0)处的切线方程为y＝x−1.‎ 调研3 若在曲线y＝e−x上的点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎【答案】(−ln 2，2)‎ ‎【解析】设P(x0，y0)，∵，∴y′＝−e−x，∴点P处的切线斜率为 ＝−e−x0＝−2，‎ ‎∴−x0＝ln 2，∴x0＝−ln 2，∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(−ln 2，2)．学 ‎ 调研4 已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴.‎ ‎∵ex>0，∴，当且仅当，即x＝0时等号成立．‎ ‎∴y′∈[−1，0)，∴tanα∈[−1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈.‎ 调研5 已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x−ln 存在与直线x＋y−1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是 A． B． C．[−1，＋∞) D．(−∞，−1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3−＝1有正根，即2ax2＋2x−1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a<0时，需满足Δ≥0，解得−≤a<0.综上，a≥−.学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下 ‎ ‎（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f (x)过点P的切线方程 求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；‎ ‎（2）已知切线的斜率为 ，求y=f (x)的切线方程 设切点P(x0，y0)，通过方程 =f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；‎ ‎（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．‎ ‎（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由 =f ′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．‎ ‎（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.‎ ‎②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．‎ 考点2 导数的应用 题组一 利用导数研究函数的单调性 调研1 已知函数f(x)＝x2＋2ax−lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意知f ′(x)＝x＋‎2a−≥0在上恒成立，即‎2a≥−x＋在上恒成立，‎ ‎∵＝，∴‎2a≥，即a≥.学 ‎ 调研2 已知函数f(x)＝x·ln ，g(x)＝ax3−x−.‎ ‎（1）求f(x)的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）f(x)的单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵f ′(x)＝ln ＋1，由f ′(x)>0，得x>，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为.‎ ‎（2）f ′(x)＝ln ＋1，g′(x)＝3ax2−，‎ 设公切点的横坐标为x0，则与f(x)的图象相切的直线方程为 y＝(ln 0＋1)x−x0，‎ 与g(x)的图象相切的直线方程为 y＝x−2ax−，‎ ‎∴，解之得x0ln 0＝−，易求得x0＝，‎ ‎∴a＝.学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现.常见的题型及其解法如下 ‎ ‎1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 ‎（）在给定区间上恒成立．一般步骤为 ‎ ‎（1）求f ′(x)；‎ ‎（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；‎ ‎（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．‎ 注意 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．‎ ‎2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.‎ ‎3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ‎（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.‎ ‎4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.‎ 题组二 利用导数研究函数的极值与最值 调研3 已知函数f(x)＝−x3＋ax2−4在x＝2处取得极值，若m，n∈[−1，1]，则f(m)＋f ′(n)的最小值是________．‎ ‎【答案】−13‎ ‎【解析】f ′(x)＝−3x2＋2ax，根据已知得，即a＝3，所以f(x)＝−x3＋3x2−4.‎ 根据函数f(x)的单调性，可得函数f(m)在[−1，1]上的最小值为f(0)＝−4，‎ 又f ′(n)＝−3n2＋6n在[−1，1]上单调递增，所以f ′(n)的最小值为f ′(−1)＝−9.‎ 所以[f(m)＋f ′(n)]min＝f(m)min＋f ′(n)min＝−4−9＝−13. 学 ‎ 调研4 已知f(x)＝ex(x3＋mx2−2x＋2)．‎ ‎（1）假设m＝−2，求f(x)的极大值与极小值；‎ ‎（2）是否存在实数m，使f(x)在[−2，−1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）f(x)的极大值为2，极小值为−37e−3和−2e2；（2）存在，m∈(−∞，4].‎ ‎【解析】（1）当m＝−2时，f(x)＝ex(x3−2x2−2x＋2)，其定义域为(−∞，＋∞)．‎ 则f ′(x)＝ex(x3−2x2−2x＋2)＋ex(3x2−4x−2)＝xex(x2＋x−6)＝(x＋3)x(x−2)ex，‎ ‎∴当x∈(−∞，−3)或x∈(0，2)时，f ′(x)<0；当x∈(−3，0)或x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，‎ 又f ′(−3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，‎ ‎∴f(x)在(−∞，−3)上单调递减，在(−3，0)上单调递增；在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴当x＝−3或x＝2时，f(x)取得极小值；当x＝0时，f(x)取得极大值，‎ ‎∴f(x)极小值＝f(−3)＝−37e−3，f(x)极小值＝f(2)＝−2e2，f(x)极大值＝f(0)＝2.‎ ‎（2）f ′(x)＝ex(x3＋mx2−2x＋2)＋ex(3x2＋2mx−2)＝xex[x2＋(m＋3)x＋‎2m−2]．‎ ‎∵f(x)在[−2，−1]上单调递增，‎ ‎∴当x∈[−2，−1]时，f ′(x)≥0.‎ 又∵当x∈[−2，−1]时，xex<0，‎ ‎∴当x∈[−2，−1]时，x2＋(m＋3)x＋‎2m−2≤0，‎ ‎∴，解得m≤4，‎ ‎∴当m∈(−∞，4]时，f(x)在[−2，−1]上单调递增．学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．函数极值问题的常见类型及解题策略 ‎（1）函数极值的判断 先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．‎ ‎（2）求函数极值的方法 ‎ ‎①确定函数的定义域．‎ ‎②求导函数．‎ ‎③求方程的根．‎ ‎④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．‎ ‎（3）利用极值求参数的取值范围 确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.‎ ‎2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法 ‎（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．‎ ‎（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．‎ 注意 （1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.‎ 题组三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系 调研5 已知定义在R上的函数f(x)满足f(−3)＝f(5)＝1，f ′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<1的解集是 A．(−3，0)　　　　　　 B．(−3，5)‎ C．(0，5) D．(−∞，−3)∪(5，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意得，当x>0时，f ′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．又f(−3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(−3，5)，选B．学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．导数与函数变化快慢的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.‎ ‎2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.‎ 题组四 生活中的优化问题和导数与方程、不等式等的综合问题 调研6 已知f(x)＝lnx−x＋a＋1.‎ ‎（1）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）求证 在（1）的条件下，当x>1时，x2＋ax−a>xlnx＋成立．‎ ‎【答案】（1）[0，＋∞)；（2）见解析. ‎ ‎【解析】（1）原题即为存在x>0，使得lnx−x＋a＋1≥0成立，‎ ‎∴a≥−lnx＋x−1，‎ 令g(x)＝−lnx＋x−1，则g′(x)＝−＋1＝.‎ 令g′(x)＝0，解得x＝1.‎ ‎∵当01时，g′(x)>0，g(x)为增函数，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.‎ 故a的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎（2）原不等式可化为x2＋ax−xlnx−a−>0(x>1，a≥0)．‎ 令G(x)＝x2＋ax−xlnx−a−，则G(1)＝0.‎ 由（1）可知x−lnx−1>0，则G′(x)＝x＋a−lnx−1≥x−lnx−1>0，‎ ‎∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴G(x)>G(1)＝0成立，‎ ‎∴x2＋ax−xlnx−a−>0成立，即x2＋ax−a>xlnx＋成立．‎ ‎【思路分析】（1）原题即为存在x>0，使得a≥−lnx＋x−1成立，即该不等式有解，求函数g(x)＝−lnx＋x−1的单调性和最小值即可；‎ ‎（2）原不等式转化为G(x)＝x2＋ax−xlnx−a−>0，研究这个函数的单调性，求得这个函数的最值大于0即可. 学 ‎ 调研7 将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．‎ ‎（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面 半径；‎ ‎（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．‎ ‎【答案】（1）底面半径为分米，母线长为分米；（2）立方分米．‎ ‎【解析】（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，‎ 则解得 ‎ ‎（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，‎ 则解得 ‎ 则长方体的体积 ‎ ‎， ‎ 所以．令，得或（舍去）．‎ 列表 ‎ 所以，当时，．‎ ‎【思路分析】（1）设圆锥母线长为l，圆锥底面圆半径为r，则有，，从而可解得l，r.‎ ‎（2）设长方体的棱长分别为x，y， ，则有从而可得所以长方体的体积，利用导数可求得其最大值．学 ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 ‎ ‎（1）分离参数法 将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.‎ ‎（2）函数思想法 将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.‎ ‎2．生活中的优化问题 ‎（1）实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数 求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.‎ ‎（2）实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．‎ ‎3．利用导数研究函数综合问题的一般步骤 ‎ ‎（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点．‎ ‎（2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导．‎ ‎（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论．‎ ‎（4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论．‎ ‎（5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．‎ ‎1．（江西省重点中学盟校2018届高三第一次联考）函数的图象在原点处的切线方程为 A． B． ‎ C． D．不存在 ‎【答案】C ‎【解析】函数的导数为，在原点处的切线斜率为，则在原点处的切线方程为，即为，故选C．学 ‎ ‎2．（齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研）已知函数，则的值为 A． B．0 ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3．（河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试（期中））正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为 A． B． ‎ C． D．与的值有关 ‎【答案】C ‎【解析】，则，，，‎ ‎，故选C．学 ‎ ‎4．（广州市2018届高三上学期第一次调研测试）已知直线与曲线相切，则实数的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎5．（河南省林州市第一中学2018届高三12月调研考试）设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式可得，‎ 则，该函数为奇函数，选项B、C错误；‎ 又当时，，当时，，选项A错误；‎ 本题选择D选项.‎ ‎【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手 ‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象． ‎ ‎6．（广西贵港市2018届高三上学期12月联考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎7．（河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评试卷）若关于的方程有唯一的实数解，则正数 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】方法一 验证法.当时，可得函数与函数在处的切线是相同的.故选A．‎ 方法二 因为，由得.设，‎ 由题意得当且仅当函数和的图象相切时满足题意，设切点为，‎ 则，解得.选A．‎ ‎【名师点睛】本题考查方程解的情况，解题中将方程有唯一实数解的问题转化为两函数图象有唯一公共点的问题，通过合理的构造函数，经分析得到当两图象在某点处相切时满足条件，故可用导数的几何意义求解，在设出切点的前提下，构造出关于参数的方程组使得问题得以解决.‎ ‎8．（四川省成都市龙泉第二中学2018届高三高考模拟考试）已知函数的定义域为，对任意，都有成立，则不等式的解集为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎9．（安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2018届高三上学期“五校”联考）已知定义在上的函数是它的导函数，恒有成立，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎10．（四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊）已知函数 若成立，则的最小值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不妨设，‎ ‎，故，‎ 令， 则，‎ 易知在上是增函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选B．‎ ‎11．（江西省南昌市2018届高三第一轮复习训练题）若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于________．‎ ‎【答案】1‎ ‎12．（2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考）已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴题中问题等价于 ‎，即，解得，故答案为.‎ ‎13．（广东省五校（阳春一中、肇庆一中、真光中学、深圳高级中学、深圳二高）2018届高三12月联考）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；‎ ‎（2）若对任意，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，得，即，‎ 令，则，可知函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以．‎ ‎（2）由题可知函数在上单调递减，‎ 从而在上恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，，所以函数在上单调递减，则；‎ 当时，令，得，‎ ‎【思路分析】（1）由曲线在处的切线与轴垂直，可得，即，再求出的导函数可得的单调性，从而可得．‎ ‎（2）易知等价于函数 在上单调递减，即在上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可得结果.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面 ‎ ‎(1)已知切点求斜率，即求该点处的导数；‎ ‎(2)已知斜率求切点参数，即解方程；‎ ‎(3)已知切线过某点(不是切点)求切点，设出切点利用求解.‎ ‎14．（陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期第七次模拟考试）已知函数．‎ ‎（1）试讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，且，求证 ．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为，，‎ 令，，‎ 当时，在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎（2），则，‎ 由题意知，是方程的两个根，‎ 所以，①‎ ‎，②‎ ‎①②两式相加可得，③‎ ‎①②两式相减可得，④‎ 由③④两式消去可得，‎ 所以，‎ 设，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 因此只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立．‎ 设函数，由（1）可知，在上单调递增，‎ 故，‎ 即证得当时，，亦即证得，‎ 所以，即证得．‎ ‎【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了利用导数研究函数极值点，采用变量集中的方法证明不等式，对式子的变形处理能力要求较高，属于中档题.‎ ‎1．（2017新课标全国Ⅱ理 ）若是函数的极值点，则的极小值为 A． B．‎ C． D．1‎ ‎【答案】A 所以的极小值为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；‎ ‎（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ ‎2．（2017新课标全国Ⅲ理 ）已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B．‎ C． D．1‎ ‎【答案】C ‎3．（2015新课标全国I理 ）设函数=，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 A．[，1) B．[，) ‎ C．[，) D．[，1)‎ ‎【答案】D ‎4．（2015新课标全国Ⅱ理 ）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A． 　　　 B．‎ C． 　　　 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在上单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在上单调递增，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．‎ ‎【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，设法建立起目标函数，‎ 并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得简单明了，属于难题．‎ ‎5．（2016新课标全国Ⅲ理 ）已知f (x)为偶函数，当时，，则曲线y=f (x)在点(1，−3)处的切线方程是_______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．‎ ‎6．（2016新课标全国Ⅱ理 ）若直线y= +b是曲线y=ln +2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎7．（2017新课标全国Ⅰ理 ）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.‎ ‎8．（2017新课标全国III理 ）已知函数.‎ ‎（1）若，求a的值；‎ ‎（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考 看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度 ‎ ‎（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．‎ ‎（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．‎ ‎（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．‎ ‎（4）考查数形结合思想的应用．‎ 本题第一问由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；‎ 第二问由题意结合第一问的结论对不等式进行放缩，求得，再结合可知实数的最小值为.‎ ‎9．（2016新课标全国II理 ）（1）讨论函数的单调性，并证明当>0时，；‎ ‎（2）证明 当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎ 10．（2015新课标全国I理 ）已知函数f (x)=.‎ ‎（1）当a为何值时，x轴为曲线的切线；‎ ‎（2）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论h(x)零点的个数.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.‎ 因此，当时，轴是曲线的切线. ‎ ‎（2）当x∈(1，+)时，g(x)=<0，从而h(x)=min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，‎ ‎∴h(x)在(1，+)上无零点.‎ ‎①若>0，即<<0，则在(0，1)上无零点.‎ ‎②若=0，即，则在(0，1)上有唯一零点；‎ ‎③若<0，即，由于，，所以当时，在(0，1)上有两个零点；当时，在(0，1)上有一个零点. ‎ 综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图象与性质、利用图象研究分段函数的零点，试题新颖.对函数的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点的切线不同，在某点的切线该点是切点，过某点的切线该点不一定是切点，对过某点的切线问题，设切点，利用导数求切线，将已知点代入切线方程，解出切点坐标，即可求出切线方程.‎