【数学】2019届高考一轮复习北师大版理10-5几何概型学案
第5讲 几何概型
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
(2017·高考全国卷Ⅰ) 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为，故此点取自黑色部分的概率为＝，故选B.
(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设事件A表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A对应30 s
的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度．根据几何概型的概率公式可得，事件A发生的概率P(A)＝＝.
(2017·高考江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝.
答案：
(教材习题改编) 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．
解析：设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为R，
则所求事件的概率为P＝＝＝.
答案：
与长度(角度)有关的几何概型
[典例引领]
(1)(2018·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为________．
(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．
【解析】 (1)因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以，解得0
对应的平面区域为阴影部分．
由解得
即E，所以|OE|＝＝，
所以正方形OEFG的面积为，
则阴影部分的面积为－π，
所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－.
【答案】 1－
角度三 与定积分交汇命题的几何概型
在区间[－1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2－1的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图满足y≥x2－1的概率为阴影部分面积与正方形面积的比，
因为[1－(x2－1)]dx＝(2－x2)dx＝|＝，
所以P＝＝＝.
【答案】 D
角度四 与随机模拟相关的几何概型
(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设由构成的正方形的面积为S，x＋y＜1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝，故选C.
【答案】 C
与面积有关的几何概型的求法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的区域以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验的全部结果构成的平面图形，以便求解．
[通关练习]
1．已知点P，Q为圆O：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ的中点组成的区域为M，在圆O内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.PQ的中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在圆O内部任取一点落在M内的概率为＝.
2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意，得
即
表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为.
与体积有关的几何概型
[典例引领]
一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为VFAMCD＝×S四边形AMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为＝.
【答案】 D
与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
[通关练习]
1．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP
ABC2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.
10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件为
所表示的区域，B＝，
则由图可知，P(B)＝＝，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
1．(2018·长春市普通高中质量检测(二))如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.
2．(2018·成都市第二次诊断性检测)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面， 且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，
根据几何概型概率计算公式得P(A)＝＝.
3．(2018·云南省昆明三中、玉溪一中统考)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D.以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则＋＝，因为＋＋2 ＝0，所以＋＝－2，得＝－2，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝.
4．(2018·云南省第一次统一检测)在平面区域内随机取一点(a，b)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝×4×4＝8.函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a>0且x＝≤1，即，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由，解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为＝，故选B.
5．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.
因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，
故所求概率为P1＝＝.
(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，故所求概率为P2＝＝.
6．(2018·湖北省七市(州)联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.
(1)求进入决赛的人数；
(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为＝50.
由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.
(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足
，
设事件A为“甲比乙跳得远”，则x>y，作出可行域如图中阴影部分所示．
所以由几何概型得P(A)＝＝，即甲比乙跳得远的概率为.
