【数学】2019届一轮复习北师大版正余弦定理的综合应用学案

【数学】2019届一轮复习北师大版正余弦定理的综合应用学案

‎ 透析高考数 23题对对碰【 精品】 第三篇 副题8 正余弦定理的综合应用 ‎【副题考法】本副题考题形式为解答题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为中档题，分值为12分.‎ ‎【副题回扣】‎ ‎1.三角形中的三角变换 ‎ ‎（1）角的变换 因为在中， ‎ ‎，所以；；‎ ‎； - ‎ ‎（2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式 ‎(r为三角形内切圆半径，p为周长之半).‎ ‎（3）在中，熟记并会证明 成等差数列的充分必要条件是；是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列.‎ ‎2.要熟记如下知识 ‎ ‎（1）正弦定理 ‎ 分类 内容 定理 ‎(是外接圆的半径)‎ 变形公式 ‎①，，，‎ ‎②，‎ ‎③，，‎ 解决的问题 ‎①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，‎ ‎②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 ‎（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在中，.‎ ‎（3）在中，已知，和时，解的情况如下 ‎ 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎ ‎（4）余弦定理 分类 内容 ]‎ 定理 在中，有；；‎ 变形公式 ‎；；‎ 解决的问题 ‎①已知三边，求各角；‎ ‎②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 ‎【易错提醒】‎ 1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.‎ ‎2 .注意隐含条件的挖掘；‎ ‎1.牢记公式，正确求解 在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.‎ ‎2.注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.‎ ‎3.写全得分关键 在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出 的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出 则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分.‎ ‎【副题考向】‎ 考向一 已知三角形中的边角关系解三角形 ‎【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.‎ ‎ 2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.‎ ‎ 3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解.‎ ‎ 4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角 判断所求角的范围.‎ ‎ 5.注意隐含条件的挖掘；‎ ‎ 例1【河北省唐山一中 二练】在中，角的对边分别为，且．　‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）若的面积为，求的值．‎ ‎【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得，再根据正弦定理得，即（2）由的面积为，得，再根据余弦定理得，解得，因此结合正弦定理得 考向二 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 ‎【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1 要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2 根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.‎ 例3 【福建省莆田市 3月考】的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）如图，若，为外一点，，，求四边形的面积．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理将边化为角结合三角形内角和的性质，两角和的展开式得，进而得解；‎ ‎（2）由，得，由，得，进而得，由余弦定理得AC，进而求和即可.‎ ‎（2）因为，故，‎ 在中，，‎ 所以，故，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以，‎ 又，[ ]‎ 所以四边形的面积为．‎ 考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 ‎【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步 ‎ ‎①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；‎ ‎②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起 ，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； - ‎ ‎③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；‎ ‎④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．‎ ‎2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.‎ 例3【福建省宁德市 第一次质量检】如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛 海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛 海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．‎ ‎（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？‎ ‎（Ⅱ）现测得， ．已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？‎ ‎【分析】（Ⅰ）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可；‎ ‎（Ⅱ）根据条件求得，再由正弦定理得， ，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可.‎ 整理得 ，‎ 解得或（不合舍去）．‎ 所以客轮从处到岛所用的时间小时，‎ 小张到岛所用的时间至少为小时．‎ 由于，‎ 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.‎ ‎（Ⅱ）在中， ， ,‎ 所以为锐角， ， ．‎ 所以== ‎ ‎=.‎ 由正弦定理得， ,‎ 所以, ‎ 所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为 ‎ ()，‎ 当且仅当，即时， （元）.‎ 所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．‎ ‎【副题集训】‎ ‎1.【东北师大附中等三校2017届四联模】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角，若山高为千米，‎ ‎（1）船的航行速度是每小时多少千米？ - ‎ ‎（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？‎ ‎【解析】（1）在中， ‎ 在 中，由正弦定理得 ，‎ 所以，‎ 船的航行速度是每小时千米.‎ ‎（2）在中，由余弦定理得 ，‎ 在中，由正弦定理得 ,‎ 所以，山顶位于处南偏东.‎ ‎2. 【北京市海淀区 高三第一 期期末】如图，在中，点在边上，且， ， ， .‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）如图所示， ，‎ 故， ‎ 设，则， .‎ 在中，由余弦定理 ‎,‎ 即，‎ 解得， .‎ ‎（Ⅱ）在中，由，得，故 ‎，‎ 在中，由正弦定理 ‎，‎ 即，故，‎ 由，得，‎ ‎.‎ ‎3.【贵州省凯里市一中 一模】在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若点在边上，且， 的面积为，求边的长.‎ ‎【解析】（1）由及正弦定理可得 ‎，故，‎ 而，所以，即 ‎4. 【海南省 二模】已知在中， ， ， 分别为内角， ， 的对边，且 .‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若， ，求的面积.‎ ‎【解析】（1）由 及正弦定理得，‎ ‎ ，‎ 即 ，‎ 又，所以，‎ 又，所以.‎ ‎（2）由（1）知，又，易求得，‎ 在中，由正弦定理得，所以.‎ 所以的面积为 .‎ ‎5.【湖北省天门等三市 联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，有．‎ 因为，有 又，于是有，即有 ‎6.【湖北省天门等三市 联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，‎ 即有 因为，∴．又，∴．‎ 又，∴，∴‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，有．‎ 因为，有 又，于是有，即有 ‎7.【山东省淄博市 高三3月模拟】在中，角对边分别为，已知． ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【解析】（1）由已知，得，‎ 由余弦定理，得，‎ 所以，又，故；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 由正弦定理，得，所以或（舍去）‎ 从而，所以的面积为．‎ ‎8. 【福建省德化一中等三校 联考】如图,在四边形中, 平分,的面积为为锐角.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求 .‎ ‎【解析】(1)在中,.‎ 因为,所以.‎ 因为为锐角,所以.‎ 在中,由余弦定理得= =‎ 所以CD的长为.‎ ‎(2)在中,由正弦定理得,‎ 即 ,解得 ‎, 也为锐角.‎ ‎.‎ 在 中,由正弦定理得,‎ 即,①‎ 在中,由正弦定理得,‎ 即,②‎ ‎   平分, ,‎ 由①②得 ,解得,‎ 因为为锐角,所以 ‎ ‎9. 【福建省南平市 第一次质检】在中,分别为角的对边，且.‎ ‎（1）若，求及；‎ ‎（2）若在线段上，且，求的长.‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵，，，‎ 在△ABC中，由正弦定理， ‎ ‎∴， ‎ 又，所以，则C为锐角，所以， ‎ 则 ‎， ‎ 所以 ‎10. 【江西省新余市一中 四模】如果，在中， ， ， ， 是内的一点.‎ ‎（1）若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；‎ ‎（2）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值.‎ ‎【解析】(1)∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC＝2，‎ ‎∴∠PCB＝，PC＝，又∵∠ACB＝，∴∠ACP＝，‎ 在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，‎ ‎∴PA＝. ‎ ‎ (2)在△PBC中，∠BPC＝，∠PCB＝θ，‎ ‎∴∠PBC＝－θ，由正弦定理得＝＝，‎ ‎∴PB＝sinθ，PC＝ ，∴△PBC的面积S(θ)＝PB·PCsin ‎＝ sinθ＝2sinθcosθ－sin2θ＝sin2θ＋cos2θ－‎ ‎＝ －，θ∈，‎ ‎∴当θ＝时，△PBC面积的最大值为. ‎ ‎11.【山西省晋中市 1月高考适应性考】如图，在中，角， ， 的对边分别为， ， ， .‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若， 为外一点， ， ，求四边形面积的最大值.‎ ‎【解析】(1) 在中，由， ‎ ‎，‎ 又 ‎ 又 ‎ ‎12.【山东省实验中 2017届高三第一次诊，16】在△中，，，分别是角，，的对边，，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求边长的最小值．‎ ‎【解析】（I）由已知即 ‎ ‎ ‎ …………………………………………………4分 ‎△中，，故 ……………………………6分 ‎（Ⅱ）由（I）‎ 因此 ………………………………9分 由已知 ……………………………………10分 ‎ ……………………………………11分 故的最小值为1. ………………………………………………………12分 ‎13. 【河北衡水中 2017届上 期一调，17】（本小题满分12分）‎ 在中，，，分别为角，，所对的边，且．‎ ‎（1）求角的大小； - ‎ ‎（2）若的面积为，求的值．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，‎ 即，则，．‎ 又在中，．‎ 则，解得，‎ 或，‎ 当时，，则，均为钝角，与 矛盾，故舍去，故，则．‎ ‎14.【山西省吕梁市一中 一模】如图，一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以每小时的速度向东均速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市且与海岸距离为的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.‎ ‎（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？‎ ‎（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.‎ ‎【解析】（1）如图，设快艇以的速度从处出发，沿方向， 后与汽车在处相遇，在中， 为边上的高， .‎ 设，则.‎ 由余弦定理，得，所以.‎ 整理，得 ‎ [ ]‎ 当，即时， ，‎ 即快艇至少以的速度行驶才能把稿件送到司机手中.‎ ‎（2）当时，在中， ，‎ 由余弦定理，得，所以，故快艇应向垂直于的方向向北偏东方向行驶.‎ ‎15.【山东省枣庄市2017届高三上 期期末，16】（本小题满分12分）在中,角、、‎ 所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎(2) 由正弦定理，得 ‎.‎ 由，得.[ + + ]‎ 所以当，即时，.‎