【数学】2019届一轮复习北师大版导数与函数的极值学案
第15讲 导数与函数的极值、最值
考纲要求
考情分析
命题趋势
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
2017·北京卷，20
2017·江苏卷，20
2016·全国卷Ⅰ，21
2016·天津卷，20
利用导数求函数的极值、最值是高考中的热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大.
分值：5～8分
1．函数的极值
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__都小__，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，则点x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)>0__，右侧__f′(x)<0__，则点x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．
2．函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数f(x)在区间(a，b)内一定存在最值．( × )
(2)函数的极大值一定比极小值大．( × )
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( × )
(4)函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值．( √ )
2．若函数f(x)＝asin x－x在x＝处有最值，那么a＝( A )
A．2 B．1
C． D．0
解析 f′(x)＝acos x－1(x∈R)，又f(x)在x＝处有最值，故x＝是函数f(x)的极值点，所以f′＝acos－1＝0，即a＝2.故选A．
3．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为( A )
A．0 B．
C． D．
解析 ∵y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，则x＝1，而f(1)＝>0，f(0)＝0，f(4)＝>0，∴最小值为0.故选A．
4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.
5．设函数f(x)＝xex，则( D )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析 求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．
一 利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数极值问题的步骤
【例1】 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，∴曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝(x>0)可知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值．
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a 处取得极小值a－aln a，无极大值．
【例2】 设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，求a的取值范围．
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝－ax＋a－1＝＝.①若a≥0，当0
0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1－1.
故a的取值范围为(－1，＋∞)．
二 利用导数研究函数的最值
求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的基本步骤
(1)求出函数f(x)在区间(a，b)内的所有极值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)．
(2)计算函数f(x)在区间[a，b]上的两个端点值f(a)，f(b)．
(3)对所有的极值和端点值作大小比较．
(4)对比较的结果作出结论：所有这些值中最大的即是该函数在[a，b]上的最大值，所有这些值中最小的即是该函数在[a，b]上的最小值．
【例3】 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当00，得a>－.所以，当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当00；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．
2．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝__1__.
解析 f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)＝(x－m)(3x－m)．
∵f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，
∴f′(1)＝0，即(1－m)(3－m)＝0，解得m＝1或m＝3.
当m＝1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)．
当1时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，即m＝1符合题意．
当m＝3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)＝3(x－1)(x－3)．
当x<1时，f′(x)>0；
当10，得或
解得x<－2或x>－ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln 2)
－ln 2
(－ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)和(－ln 2，＋∞)，单调减区间为(－2，－ln 2)，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)，极小值为f(－ln 2)＝2＋2ln 2－(ln 2)2.
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0， ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0， ②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4，所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示.
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
单调递增
13
单调递减
单调递增
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
错因分析：对参数的分类讨论不完全．
【例1】 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
解析 (1)当a＝－4时，f(x)＝(4x2－16x＋16)，
则f′(x)＝，其中x>0.
由f′(x)>0，得02.
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a<0.
由f′(x)＝0，得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增，当x∈时，
f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上，a＝－10.
【跟踪训练1】 已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．
解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)
上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
当a>0时，由f′(x)<0，得00，得x>，
∴f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x＝处有极小值．
∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，
∴a＝1，∴f(x)≥bx－2⇒1＋－≥b，
令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－，即实数b的取值范围为.
课时达标 第15讲
[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为( D )
A． B．
C．∪ D．∪
解析 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不同的根，故Δ＝(－4c)2－12>0，从而c>或c<－.
2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( A )
A． B．1
C．0 D．不存在
解析 f′(x)＝x－＝，且x>0，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，在(－1,0]上，f′(x)≤0，则当x∈[－2,0]时函数有最大值，为f(－1)＝2.当a≤0时，若x>0，显然eax≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a>0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e2a≤2，得0f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.故选A．
6．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( A )
A．2b－ B．b－
C．0 D．b2－b3
解析 f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)．
∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，
∴－30，得x2.
由f′(x)<0，得b0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
11．(2018·福建南安诗山中学月考)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋a(a＜0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值1.
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求实数m的取值范围．
解析 方法一 (1)因为函数的图象是抛物线，a<0，所以开口向下，对称轴是直线x＝1，所以函数f(x)在[2,3]上单调递减，所以当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝2＋a＝1，所以a＝－1.
(2)因为a＝－1，所以f(x)＝－x2＋2x＋1，
所以g(x)＝f(x)－mx＝－x2＋(2－m)x＋1，
g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝，
因为g(x)在[2,4]上单调，
所以≤2或≥4，从而m≤－6或m≥－2.
所以m的取值范围是(－∞，－6]∪[－2，＋∞)．
方法二 (1)因为f′(x)＝2ax－2a＝2a(x－1)(a<0)，
所以x>1时，f′(x)<0，f(x)在[2,3]上单调递减，
所以f(x)max＝f(2)＝2＋a＝1，所以a＝－1.
(2)g(x)＝－x2＋2x＋1－mx＝－x2＋(2－m)x＋1，
g′(x)＝－2x＋(2－m)＝－2，
因为g(x)在[2,4]上单调，
所以≤2或≥4，所以m≤－6或m≥－2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[－2，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．
解析 (1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，
g(1)＝e.又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
②当0
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