【数学】2020届一轮复习苏教版函数与方程学案
§2.9 函数与方程
考情考向分析 利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度．
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
概念方法微思考
函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？
提示 不能．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
3．[P97习题T8]已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是 ．
答案 (－2,0)
解析 结合二次函数f(x)＝x2＋x＋a的图象(图略)知
故所以－20，即f(0)·f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内，即k＝0.
5．函数f(x)是[－1,1]上的增函数，且f ·f <0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内有 个实数根．
答案 1
解析 ∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
且f ·f <0，
∴f(x)＝0在上有唯一实根，
∴f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实根．
6．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为 ．(用“<”连接)
答案 x20)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知x20，
所以f(1)f(8)<0，
故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．
方法二 令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，
所以函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．
(2)因为f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(－1)f(2)<0，
故f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．
(3)因为f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1>log22－1＝0，
f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－30且a≠1)．当21，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
题型二 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f(x)＝的零点个数是 ．
答案 2
解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为 ．
答案 2
解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
(3)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内零点个数为 ．
答案 1
解析 当x∈时，因为f′(x)＝＋sin x，>0，sin x>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos 1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝－cos x>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点．
思维升华 函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点．
(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．
(3)利用函数图象的交点个数判断．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为 ．
答案 3
解析 g(x)＝f(1－x)－1
＝
＝
易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个．
(2)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为 ．
答案 2
解析 f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，
函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin 2x(x>－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．
分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，
则f(x)有两个零点．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (1)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是 ．
答案
解析 由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是 ．
答案 (0,1)
解析 画出函数f(x)＝的图象，
如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得00，所以在(2，π)内也有零点，不合题意．
(2)已知函数若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 ．
答案 (－1,0)
解析 关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，
由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．
(3)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为 ．
答案 (－∞，2－2]
解析 由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，
当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
(4)(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是 ．
答案 [－1，＋∞)
解析 令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 ．
答案 (0,3)
解析 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得00的解集是 ．
答案
解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
∴∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为.
4．下列说法错误的是 ．(填序号)
①对于不等式ax2＋bx＋c<0，当Δ＝b2－4ac<0时，不等式的解集为空集；
②所谓零点，就是函数的图象与x轴交点的坐标；
③设函数y＝f(x)在(a，b)上是连续的，若f(a)·f(b)>0，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定不存在零点．
答案 ①②③
解析 在①中，若a<0，则不等式恒成立，即不等式的解集为R；在②中，零点是指函数图象与x轴交点的横坐标，而非坐标；对于③，可能有零点在(a，b)内，故①②③均错．
5．(2019·盐城模拟)已知函数f(x)＝若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是 ．
答案
解析 当0≤x≤1时，2x2＋2mx－1＝0，
易知x＝0不是方程2x2＋2mx－1＝0的解，
故m＝－x在(0,1]上是减函数，
故m≥－1＝－；
即m≥－时，方程f(x)＝0在[0,1]上有且只有一个解，
当x>1时，令mx＋2＝0，得m＝－，故－20.当－2a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 019x＋log2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为 ．
答案 3
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 019x＋log2 019x在区间内存在一个零点，
又f(x)为增函数，
因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，
从而函数f(x)在R上的零点个数为3.
10．函数f(x)＝a∈R，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点个数为 ．
答案 1
解析 当x<0时，必存在x0＝－e－a<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.
11．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>1)在区间[－2，6]内恰有三个零点，
则实数a的取值范围是 ．
答案 (，2)
解析
根据题意得f[(x＋2)－2]＝f[(x＋2)＋2]，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)的周期为4.若方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)在区间[－2,6]内恰有三个不同的实根，则函数y＝f(x)和y＝loga(x＋2)的图象在区间[－2,6]内恰有三个不同的交点，根据图象可知，loga(6＋2)>3且loga(2＋2)<3，解得0时，f(x)是增函数，f(3)＝0，则函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点个数为 ．
答案 3
解析 画出函数y＝f(x)和y＝－lg|x＋1|的大致图象，如图所示．
∴由图象知，函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3.
16．已知函数f(x)＝若f(x)＝m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是 ．
答案 (10,12)
解析 作出函数f(x)的图象，不妨设a
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