【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数的图像与性质学案

【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数的图像与性质学案

‎【考向解读】 ‎ ‎1.三角函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．‎ ‎2.备考时应掌握y＝sin ，y＝cos ，y＝tan 的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．‎ ‎3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.‎ ‎4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.‎ ‎【命题热点突破一】　三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式 例1、(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【变式探究】【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.学 ‎ ‎【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．‎ ‎【变式探究】 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f是(　　)‎ A．奇函数且图像关于点对称 B．偶函数且图像关于点(π，0)对称 C．奇函数且图像关于直线x＝对称 D．偶函数且图像关于点对称 ‎【答案】C　‎ ‎【命题热点突破二】　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与解析式 例2、【2017课标1，理9】已知曲线C1 y=cos ，C2 y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B. 把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C. 把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D. 把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则 ‎，则由上各点的横坐标缩短到原 的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.‎ ‎【举一反三】(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A．ω＝，φ＝　　　B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ ‎【变式探究】设函数f(x)＝sin ωx＋sin，x∈R.‎ ‎(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；‎ ‎(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．‎ ‎【解析】（1）f（x）＝sin ωx＋sin＝sin ωx－cos ωx.‎ 当ω＝时，f（x）＝sin－cos＝sin，‎ 而－1≤sin≤1，所以f（x）的最大值为，此时－＝＋2 π， ∈ ，即x＝＋4 π， ∈ ，故相应的x的取值集合为.‎ ‎（2）依题意知，f＝sin＝0，即－＝ π， ∈ ，整理得ω＝8 ＋2， ∈ ，‎ 又0<ω<10，所以0<8 ＋2<10，即－< <1，‎ 又 ∈ ，所以 ＝0，所以ω＝2，‎ 所以f（x）＝sin，f（x）的最小正周期T＝＝π. 学 ‎ ‎【感悟提升】三角函数最值的求法 (1)形如y＝asin ＋bcos ＋ 的函数可转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋ (A>0，ω>0)的形式，利用有界性处理；(2)形如y＝asin2x＋bsin ＋c的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如y＝的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．‎ ‎【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【命题热点突破三】三角函数的性质 例3、【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎【变式探究】某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表 ‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ ‎【解析】（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表 ‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin（ωx＋φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f（x）＝5sin.学 ‎ ‎（2）由（1）知f（x）＝5sin，所以g（x）＝5sin.‎ 因为y＝sin 的图像的对称中心为（ π，0）， ∈ .‎ 所以令2x＋2θ－＝ π， ∈ ，解得x＝＋－θ， ∈ .‎ 由于函数y＝g（x）的图像关于点成中心对称，所以令＋－θ＝， ∈ ，解得θ＝－， ∈ .由θ>0‎ 可知，当 ＝1时，θ取得最小值.‎ ‎【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎【变式探究】函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】A　‎ ‎【命题热点突破四】　三角函数图像与性质的综合应用 例4、(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin cos (x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【解析】　(1)由sin＝，cos＝－，‎ 得f＝2－2－2××，得f＝2.‎ ‎(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin cos 得 f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得＋2 π≤2x＋≤＋2 π， ∈ ，‎ 解得＋ π≤x≤＋ π， ∈ ，‎ 所以f(x)的单调递增区间是( ∈ )．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原 的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈.‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin　　　　B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎【解析】根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．‎ 由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2 π＋( ∈ )，故φ＝2 π－( ∈ )，结合选项可知y＝2sin.学* ‎ 答案 A ‎【变式探究】已知函数f(x)＝2cos2x＋2 sin cos ＋a，当x∈时，f(x)的最小值为2.‎ ‎(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；‎ ‎ (2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原 的，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求方程g(x)＝4在区间上所有根之和．‎ ‎（2）由题意得g（x）＝2sin＋3，‎ 由g（x）＝4，得sin＝，‎ 解得4x－＝2 π＋或4x－＝2 π＋， ∈ ，‎ 即x＝＋或x＝＋， ∈ ，‎ 又∵x∈，∴x＝或，故所有根之和为＋＝.‎ ‎【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再结合题目要求，利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质解决问题．‎ ‎【命题热点突破五】三角函数图像、性质、正余弦定理、不等式等的综合 例5、 已知向量a＝(sin ，2cos )，b＝(2 cos ，－cos )，函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，若角A满足f＝1，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值．‎ ‎（2）设a，b，c分别是内角A，B，C对的边，‎ 由f＝1，得2sin－1＝1，‎ 即sin＝1，又∵A为三角形的内角，∴A＝，‎ ‎∴bc＝8，∴bc＝16，‎ ‎∴b＋c≥2 ＝8，a＝≥＝4 ，当且仅当b＝c＝4时等号成立. ‎ 故△ABC周长的最小值为8＋4 . ‎ ‎【失分分析】三角函数综合性问题最容易犯的错误是求错三角函数的解析式．解题时要注意各种限制条件的应用，如指定的角的范围、三角形内角的范围等．在使用基本不等式时注意等号成立的条件．‎ ‎【变式探究】‎ 在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l y＝2 x(x≥0)．‎ ‎(1)求cos的值；‎ ‎(2)若点P，Q分别是角α始边、终边上的动点，且|PQ|＝6，求三角形POQ面积最大时点P，Q的坐标．‎ ‎【解析】（1）由射线l的方程为y＝2 x（x≥0），‎ 可得sin α＝，cos α＝，‎ 故cos＝×－×＝.‎ ‎（2）设P（a，0），Q（b，2 b）（a>0，b>0）. ‎ 在△POQ中，∵|PQ|2＝（a－b）2＋8b2＝36，‎ ‎∴36＝a2＋9b2－2ab≥6ab－2ab＝4ab，当且仅当a＝3b，即a＝3 ，b＝时取得等号，∴ab≤9，‎ ‎∴S△POQ＝ab≤9 .‎ 故△POQ面积最大时，点P，Q的坐标分别为（3 ，0），（，2 ）. 学 ‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1、(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.‎ ‎【答案】－ ‎ ‎ ‎2. (2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A．ω＝，φ＝　　　B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ ‎ (2)∵ f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴ f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ ω＝＝，∴ f(x)＝2sin.‎ ‎∴ 2sin＝2，‎ 得φ＝2 π＋， ∈ .‎ 又|φ|＜π，∴ 取 ＝0，得φ＝.‎ 故选A. 学, , ]‎ ‎3、(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin cos (x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎ ‎ ‎4. (2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原 的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ ‎【解析】(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，所以－＝ π， ∈ ，‎ 所以ω＝6 ＋2， ∈ .‎ 又0＜ω＜3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈.‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.学 ‎ ‎5.【2017课标1，理9】已知曲线C1 y=cos ，C2 y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B. 把C1上各点的横坐标伸长到原 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C. 把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D. 把C1上各点的横坐标缩短到原 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎6.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎ ‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎4.【2016年高考四川理数】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )[ ]‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D. 学 ‎ ‎6.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）[ ]‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.‎ ‎7.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎8.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎9.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 ‎ C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．‎ ‎10.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin +cos ）（cos –sin ）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎【解析】,故最小正周期,故选B.‎ ‎11.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数 的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎12.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B. ‎ ‎13.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.‎ ‎14.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎15.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎16.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎17.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎1.【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎2.【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】学 ‎ ‎3.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到 先将图像上所有点的纵坐标伸长到原 的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）证明 ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】解法一 (1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原 的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为 ‎(2)1) ‎ ‎ （其中）‎ 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是. ‎ 解法二 (1)同解法一.‎ ‎(2)1) 同解法一.‎ ‎2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时，‎ 当时, ‎ 所以 于是 ‎ ‎ ‎4.【2015高考山东，理16】设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（II） 面积的最大值为 ‎（Ⅱ）由 得 ‎ 由题意知为锐角，所以 ‎ 由余弦定理 ‎ 可得 ‎ 即 当且仅当时等号成立.‎ 因此 ‎ 所以面积的最大值为 ‎5.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎6.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位   （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位    （D）向右平移个单位 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.‎ ‎7.【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎8. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的对称轴为,‎ 因为,‎ 所以,即对称轴()‎ 则是其中一条对称轴,故选A. 学 ‎ ‎9. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎10. 【2014辽宁高考理第9题】将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 ‎ C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，令，即的增区间为，令 =0，则可知B正确.‎