【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第三节圆的方程教案

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【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第三节圆的方程教案

第三节 圆的方程 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程;‎ ‎2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。‎ ‎2015,全国卷Ⅰ,14,5分(圆的方程)‎ ‎2015,全国卷Ⅱ,7,5分(圆的方程)‎ ‎2015,江苏卷,10,5分(圆的方程)‎ ‎2014,陕西卷,12,5分(圆的方程)‎ 以选择填空形式出现,难度不大,主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质。‎ 微知识 小题练 自|主|排|查 ‎1.圆的定义 ‎(1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。‎ ‎(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。‎ ‎2.圆的标准方程 ‎(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中(a,b)为圆心坐标,r为半径。‎ ‎3.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-‎4F>0,其中圆心为,半径r=。‎ ‎4.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种。‎ 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),‎ ‎(1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;‎ ‎(2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2;‎ ‎(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2。‎ 微点提醒 ‎1.解答圆的问题的关键 注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算。‎ ‎2.二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-‎4F>0这一条件。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1.(必修2P‎132A组T3改编)以点(3,-1)为圆心,并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是(  )‎ A.(x-3)2+(y+1)2=1‎ B.(x-3)2+(y-1)2=1‎ C.(x+3)2+(y-1)2=2‎ D.(x+3)2+(y+1)2=2‎ ‎【解析】 设圆的方程是(x-3)2+(y+1)2=r2。因为直线3x+4y=0与圆相切,所以圆的半径r==1,因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1。故选A。‎ ‎【答案】 A ‎2.(必修2P‎124A组T4改编)已知圆C经过A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为____________________。‎ ‎【解析】 因为圆心在x轴上,设圆心为(a,0),‎ 所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2。‎ 又因为A(5,2),B(-1,4)在圆上。‎ 所以解得a=1,r2=20。‎ 所以圆的方程为(x-1)2+y2=20。‎ ‎【答案】 (x-1)2+y2=20‎ 二、双基查验 ‎1.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(  )‎ A.- B.- C. D.2‎ ‎【解析】 由已知可得圆的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故该圆的圆心为(1,4),由点到直线的距离公式得d==1,解得a=-。故选A。‎ ‎【答案】 A ‎2.方程x2+y2+ax+2ay+‎2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(  )‎ A.a<-2或a> B.-<a<0‎ C.-2<a<0 D.-2<a< ‎【解析】 方程表示圆,则a2+(‎2a)2-4(‎2a2+a-1)>0,‎ ‎∴-2<a<。故选D。 ‎ ‎【答案】 D ‎3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(  )‎ A.-1<a<1 B.0<a<1‎ C.a>1或a<-1 D.a=±1‎ ‎【解析】 ∵点(1,1)在圆内,‎ ‎∴(1-a)2+(1+a)2<4,即-1<a<1。故选A。‎ ‎【答案】 A ‎4.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+‎5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________。‎ ‎【解析】 由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2。当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5。当a=2时,方程不表示圆。‎ ‎【答案】 (-2,-4) 5‎ ‎5.(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________________。‎ ‎【解析】 设圆心为(a,0)(a>0),则圆心到直线2x-y=0的距离d==,得a=2,半径r==3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9。‎ ‎【答案】 (x-2)2+y2=9‎ 微考点 大课堂 考点一 ‎ 求圆的方程 ‎【典例1】 根据下列条件,求圆的方程:‎ ‎(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;‎ ‎(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)。‎ ‎【解析】 (1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P、Q点的坐标分别代入得 又令y=0,得x2+Dx+F=0。③‎ 设x1,x2是方程③的两根,‎ 由|x1-x2|=6有D2-‎4F=36,④‎ 由①、②、④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0。‎ 故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0。‎ ‎(2)解法一:如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得=1,‎ ‎∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8。‎ 解法二:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,‎ 根据已知条件得解得 因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8。‎ ‎【答案】 (1)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0‎ ‎(2)(x-1)2+(y+4)2=8‎ 反思归纳 1.直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程。‎ ‎2.待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值。‎ ‎【变式训练】 (1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(  )‎ A.(x+1)2+(y-1)2=2‎ B.(x-1)2+(y+1)2=2‎ C.(x-1)2+(y-1)2=2‎ D.(x+1)2+(y+1)2=2‎ ‎(2)经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________________。‎ ‎【解析】 (1)设圆心坐标为(a,-a),‎ 则=,‎ 即|a|=|a-2|,解得a=1,‎ 故圆心坐标为(1,-1),半径r==,‎ 故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2。‎ ‎(2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,‎ 则可得a=4,b=5,‎ r2=10。‎ 所以圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10。‎ ‎【答案】 (1)B (2)(x-4)2+(y-5)2=10‎ 考点二 ‎ 与圆有关的最值问题……多维探究 角度一:斜率型、截距型、距离型最值问题 ‎【典例2】 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则的最大值为________,最小值为________。‎ ‎【解析】 如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆。‎ 设=k,即y=kx,‎ 当圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径时,即直线与圆相切,斜率取得最大、最小值。‎ 由=,解得k2=3,‎ ‎∴kmax=,kmin=-,‎ ‎(也可由平面几何知识,得OC=2,CP=,∠POC=60°,直线OP的倾斜角为60°,直线OP′的倾斜角为120°)‎ ‎【答案】  - ‎【母题变式】 1.在本典例条件下,求y-x的最小值和最大值。‎ ‎【解析】 设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,截距b取最小值,切于第一象限时,截距b取最大值,由点到直线的距离公式,得=,即b=-2±,‎ 故(y-x)min=-2-,(y-x)max=-2+。‎ ‎【答案】 (y-x)min=-2-,‎ ‎(y-x)max=-2+ ‎2.在本典例条件下,求x2+y2的最大值和最小值。‎ ‎【解析】 x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)。‎ 又因为圆心到原点的距离为=2,‎ 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,‎ x2+y2的最小值为(2-)2=7-4。‎ ‎【答案】 (x2+y2)max=7+4,‎ ‎(x2+y2)min=7-4 角度二:与圆有关的范围问题 ‎【典例3】 设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________。‎ ‎【解析】 如图,过点M作⊙O的切线,切点为N,连接ON。M点的纵坐标为1,MN与⊙O相切于点N。‎ 设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sinθ≥,即≥。而|ON|=1,所以|OM|≤。因为M为(x0,1),所以≤,‎ 所以x≤1,所以-1≤x0≤1,所以x0的取值范围为[-1,1]。‎ ‎【答案】 [-1,1]‎ 反思归纳 1.形如μ=的最值问题,可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题。‎ ‎2.形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可用三角代换求解。‎ ‎3.形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题。‎ ‎4.与圆相关的最值,若几何意义明显时,可充分利用几何性质,借助几何直观求解。否则可用代数法转化为函数求最值。‎ ‎【变式训练】 (2016·邯郸二模)已知圆O:x2+y2=8,点A(2,0),动点M在圆上,则∠OMA的最大值为________。‎ ‎【解析】 设|MA|=a,因为|OM|=2,|OA|=2,由余弦定理知cos∠OMA===·≥·2=,当且仅当a=2时等号成立,∴∠OMA≤,即∠OMA的最大值为。‎ ‎【答案】  考点三 ‎ 与圆有关的轨迹问题 ‎【典例4】 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点。‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程;‎ ‎(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程。‎ ‎【解析】 (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y)。‎ 因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4。‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1。‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x,y)。‎ 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|。‎ 设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,‎ 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,‎ 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4。‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0。‎ ‎【答案】 (1)(x-1)2+y2=1‎ ‎(2)x2+y2-x-y-1=0‎ 反思归纳 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:‎ ‎1.直接法:直接根据题目提供的条件列出方程。‎ ‎2.定义法:根据圆、直线等定义列方程。‎ ‎3.几何法:利用圆的几何性质列方程。‎ ‎4.代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等。‎ ‎【变式训练】 已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点。‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积。‎ ‎【解析】 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,‎ 所以圆心为C(0,4),半径为4。‎ 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y)。‎ 由题设知·=0,‎ 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,‎ 即(x-1)2+(y-3)2=2。‎ 由于点P在圆C的内部,‎ 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2。‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆。‎ 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM。‎ 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,‎ 故l的方程为y-2=-(x-2),‎ 即x+3y-8=0。‎ 又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,‎ ‎|PM|=,‎ 所以△POM的面积为。‎ ‎【答案】 (1)(x-1)2+(y-3)2=2‎ ‎(2)x+3y-8=0,△POM的面积为 微考场 新提升 ‎1.原点必位于圆x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(a>1)的(  )‎ A.内部 B.圆周上 C.外部 D.均有可能 解析 将x=0,y=0代入x2+y2-2ax-2y+(a-1)2,得(a-1)2>0,所以原点必位于圆x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(a>1)的外部。故选C。‎ 答案 C ‎2.(2016·潍坊一模)若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为(  )‎ A.(x-2)2+(y±2)2=3‎ B.(x-2)2+(y±)2=3‎ C.(x-2)2+(y±2)2=4‎ D.(x-2)2+(y±)2=4‎ 解析 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆C经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x=2上,∴a=2。又圆C与y轴相切,所以半径r=2,则(1-2)2+b2=4,b2=3,b=±,故选D。‎ 答案 D ‎3.(2017·济南模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(  )‎ A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1‎ C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1‎ 解析 设圆C1的圆心坐标C1(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点为(a,b),依题意得 解得 所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1。故选B。‎ 答案 B ‎4.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为____________。‎ 解析 设圆心为(a,0)(a>0),则半径为4-a,则(4-a)2=a2+22,解得a=,故圆的方程为2+y2=。‎ 答案 2+y2= ‎5.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-‎2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________________。‎ 解析 因为直线mx-y-‎2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-‎2m-1=0的最大距离为d==,所以半径最大时的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2。‎ 答案 (x-1)2+y2=2‎
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