高中数学第8章函数应用章末综合测评含解析苏教版必修第一册

高中数学第8章函数应用章末综合测评含解析苏教版必修第一册

章末综合测评(八)　函数应用 ‎(满分：150分　时间：120分钟)‎ 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ B　[要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2．由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2．所以函数的零点个数为2．故选B．]‎ ‎2．函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(　　)‎ A．(－2，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1,2)‎ D　[∵函数y1＝log2x在区间(0，＋∞)上为增函数，函数y2＝3x－4为增函数，‎ 所以，函数f(x)＝log2x＋3x－4在区间(0，＋∞)上为增函数，则该函数最多有一个零点，‎ 又f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，‎ 因此，函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(1,2)．故选D．]‎ ‎3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的．经过x年，剩留的物质是原来的．则x为(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ B　[先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝×＝，…，那么经过x年，则y＝．依题意得＝，解得x＝3．]‎ ‎4．对任意实数a，b，定义运算“⊙”：a⊙b＝设f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－2,1) B．[0,1]‎ C．[－2,0) D．[－2,1)‎ D　[令g(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＝其图象如图所示．‎ - 10 -‎ f(x)＝g(x)＋k的图象与x轴恰有三个交点，即y＝g(x)与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k≤2，即－2≤k<1．故选D．]‎ ‎5．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．‎ 时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 利润(千元)‎ ‎2‎ ‎3．98‎ ‎8．01‎ ‎15．99‎ 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)‎ A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x B　[画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y＝2x．]‎ ‎6．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ B　[f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4＝(x－1)(x－2)g(x)＋3x－4，则f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0．所以根据函数零点的判断方法可知，函数f(x)在区间(1,2)内存在零点，即方程f(x)＝0在区间(1,2)内存在实数根．]‎ ‎7．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)‎ A．3．50分钟 B．3．75分钟 C．4．00分钟 D．4．25分钟 B　[由图形可知，三点(3,0．7)，(4,0．8)，(5,0．5)都在函数p＝at2＋bt＋c - 10 -‎ 的图象上，‎ 所以 ，解得a＝－0．2，b＝1．5，c＝－2，‎ 所以p＝－0．2t2＋1．5t－2＝－0．22＋，因为t>0，所以当t＝＝3．75时，p取最大值，‎ 故此时的t＝3．75分钟为最佳加工时间，故选B．]‎ ‎8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：‎ 每户每月用水量 水价 不超过‎12 m3‎的部分 ‎3元/m3‎ 超过‎12 m3‎但不超过‎18 m3‎的部分 ‎6元/m3‎ 超过‎18 m3‎的部分 ‎9元/m3‎ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为(　　)‎ A．‎20 m3‎ B．‎‎18 m3‎ C．‎15 m3‎ D．‎‎14 m3‎ C　[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，‎ 则当x∈[0,12]时，y＝3x≤36元，不符合题意；‎ 当x∈(12,18]时，y＝12×3＋(x－12)·6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；‎ 当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)·9＝9x－90>72，不符合题意．‎ 综上所述：此户居民本月用水量为‎15 m3‎．故选C．]‎ 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)‎ ‎9．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点，叙述错误的是(　　)‎ A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点 B．函数f(x)必有一个零点是正数 C．当a<0时，函数f(x)有两个零点 D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点 ACD　[f(x)＝0⇔ex＝a＋，在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，‎ - 10 -‎ 可观察出A、C、D选项错误，应选ACD．]‎ ‎10．设a为实数，则直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数可以是(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎‎ C．2 D．3‎ ABC　[因为函数y＝x4＋1为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且函数的最小值为1，所以当a<1，a＝1，a>1时，直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数分别为0,1,2．故选ABC．]‎ ‎11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，点P，Q，R在f(x)的图象上，坐标分别为(－1，－A)，(1,0)，(x0,0)，△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图象向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图象，则关于g(x)的说法中正确的是(　　)‎ A．g(x)是偶函数 B．g(x)在区间[0,4]上是减函数 C．g(x)的图象关于直线x＝2对称 D．g(x)在[－1,3]上的最小值为－ ABD　[由题意知＝2，所以＝8，ω＝，作PH⊥x轴于点H(图略)，则QH＝2，又因为PQ＝QR＝4，所以A＝2，因为f(x)的图象过Q(1,0)，所以2sin＝0，因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin．易知g(x)＝f(x－5)＝2cos x，故选ABD．]‎ ‎12．已知f(x)＝，当a∈M时，总存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则集合M可以是(　　)‎ A．(－∞，0] B．(1，＋∞)‎ - 10 -‎ C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ BCD　[要使得g(x)＝f(x)－b有两个零点，‎ 即f(x)＝b有两个根，必须有y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点，‎ 由x3＝x2可得，x＝0或x＝1．‎ ‎①当a>1时，函数y＝f(x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a>1满足题意．‎ ‎②当a＝1时，由于函数y＝f(x)在定义域R上单调递增，故不符合题意．‎ ‎③当00, 所以f(2)f(3)<0，‎ 由函数零点存在定理知函数f(x)＝x＋2x－10在区间(2,3)上有零点，所以n＝2．]‎ ‎14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln 的零点时，第一次经计算f(0)<0，f>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．(本题第一空2分，第二空3分)‎ 　f　[由于f(0)<0，f>0，‎ 故f(x)在上存在零点，所以x0∈，‎ 第二次应计算0和在数轴上对应的中点x1＝＝．]‎ ‎15．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1．8]＝1，[－1．2]＝－2．x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x0]等于________．‎ ‎2　[∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2．]‎ ‎16．已知函数f(x)＝ 其中a>0，且a≠1，若函数y＝f(x)－1有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1＋x2＋x3>0，则实数a的取值范围是________．‎ 　[如图所示：当a>1时，函数y＝f－1有2个不同的零点，不满足；‎ 当0－2．‎ ax－1＝1，故x＝loga2>－2，故01，∴f＜0，f＞0，‎ ‎∴f(x)＝2 020x＋log2 020x在区间内存在零点．‎ 易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，‎ 根据奇函数的对称性可知，‎ 函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．‎ 综上可知函数在R上的零点个数为3．‎ ‎19．(本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：‎ 投资A种商品金额(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 获纯利润(万元)‎ ‎0.65‎ ‎1.39‎ ‎1.85‎ ‎2‎ ‎1.84‎ ‎1.40‎ 投资B种商品金额(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 获纯利润(万元)‎ ‎0.25‎ ‎0.49‎ ‎0.76‎ ‎1‎ ‎1.26‎ ‎1.51‎ 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．‎ ‎[解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．‎ 图(1)　　　 　图(2)‎ 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x - 10 -‎ 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，‎ 取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，‎ 所以y＝－0.15(x－4)2＋2.‎ B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示.‎ 设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，‎ 得解得 所以y＝0.25x.‎ 即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.‎ 设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，‎ 那么 所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6.‎ 当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元).‎ 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元.‎ ‎20．(本小题满分12分)某型号的电视机每台降价x成(1成为10%)，售出的数量就增加mx成，m∈R＋．‎ ‎(1)若某商场现定价为每台a元，售出量是b台，试建立降价后的营业额y与x的函数关系．问当m＝时，营业额增加1．25%，每台降价多少元？‎ ‎(2)为使营业额增加，当x＝x0(00，即x0－x>0，‎ 解得m>(00，a≠1)且f(0)＝0．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；‎ ‎(3)当x∈(0,1)时，若f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由f(0)＝0得1－＝0，即a＋2＝4，解得a＝2．‎ ‎(2)由(1)可知f(x)＝1－＝，函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点⇔方程2x－1＋k＝0有解，即k＝1－2x有解，‎ ‎∵1－2x∈(－∞，1)，∴k∈(－∞，1)．‎ ‎(3)∵f(x)＝，由f(x)>m·2x－2得m(2x)2＋(m－3)2x－1<0，‎ 令t＝2x，∵x∈(0,1)，∴t∈(1,2)，‎ 即f(x)>m·2x－2⇔mt2＋(m－3)t－1<0对于t∈(1,2)恒成立，‎ 设g(t)＝mt2＋(m－3)t－1，‎ ‎①当m<0时，m－3<0，∴g(t)＝mt2＋(m－3)t－1<0在(1,2)上恒成立．‎ ‎∴m<0符合题意；‎ ‎②当m＝0时，g(t)＝－3t－1<0在(1,2)上恒成立，‎ ‎∴m＝0符合题意；‎ ‎③当m>0时，只需⇒⇒m≤，‎ ‎∴00．‎ ‎(1)若a＝2，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≤2x－3对任意的实数x∈(－1,0)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)若函数f(x)有4个不同的零点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2－|2x－3|－1＝ ‎ 当x<时，f(x)＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，‎ - 10 -‎ 所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在上单调递增．‎ 当x≥时，f＝x2－2x＋2＝2＋1，‎ 所以f在上单调递增．‎ 因为函数f(x)的图象在R上不间断，‎ 所以f(x)的单调减区间是(－∞，－1)，单调增区间是(－1，＋∞)．‎ ‎(2)x2－|ax－3|－1≤2x－3对任意x∈(－1,0)恒成立．‎ 因为x∈(－1,0)，a>0，所以ax－3<0，‎ 故不等式可化为x2＋ax－3－1≤2x－3，即a≥－x＋＋2，‎ 所以问题转化为不等式a≥－x＋＋2对任意x∈(－1,0)恒成立．‎ 又y＝－x＋＋2在(－1,0)上单调递减，‎ 所以y＝－x＋＋2<－(－1)＋＋2＝2, 所以a≥2．‎ ‎(3)f(x)＝x2－|ax－3|－1＝ 其中a>0．‎ 显然，当x<时，f(x)＝x2＋ax－4至多有2个不同的零点，且当x≥时，‎ f(x)＝x2－ax＋2至多有2个不同的零点，‎ 又f(x)有4个不同的零点，‎ 所以f(x)在和上都各有2个不同的零点，‎ 所以 且 ‎ 即 ‎ 又a>0，解得2

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