2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷(理科)(4月份)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷(理科)(4月份)

‎2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷(理科)(4月份)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎ ‎ ‎1. 设集合A=‎{x∈N|−1≤x≤3}‎,B=‎{y|y=x‎3‎, x∈R}‎,则A∩B=( ) ‎ A.‎{0, 1, 2, 3}‎ B.‎{1, 2, 3}‎ C.‎[1, 3]‎ D.‎‎{−1, 0, 3}‎ ‎ ‎ ‎2. 若复数z=‎4−i,则z⋅z‎¯‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎15‎ B.‎16‎ C.‎17‎ D.‎‎18‎ ‎ ‎ ‎3. 总体由编号为‎01‎,‎02‎,…,‎49‎,‎50‎的‎50‎个个体组成,利用下面的随机数表选取‎6‎个个体,选取方法是从随机数表第‎6‎行的第‎9‎列和第‎10‎列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第‎4‎个个体的编号为( ) 附:第‎6‎行至第‎9‎行的随机数表 ‎2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620‎ ‎7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125‎ ‎3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732‎ ‎2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950‎ ‎ A.‎3‎ B.‎19‎ C.‎38‎ D.‎‎20‎ ‎ ‎ ‎4. 程序框图如图所示,若输出的y=‎0‎,那么输入的x为( ) ‎ A.‎−3‎或‎0‎ B.‎−3‎或‎−5‎ C.‎−5‎或‎0‎ D.‎−5‎或‎−3‎或‎0‎ ‎ ‎ ‎5. ‎1‎‎2‎‎2‎‎−1‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎‎−1‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎−1‎+⋯+‎‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎的值为( ) ‎ A.n+1‎‎2(n+2)‎ B.‎3‎‎4‎‎−‎n+1‎‎2(n+2)‎ C.‎3‎‎4‎‎−‎1‎‎2‎(‎1‎n+1‎+‎1‎n+2‎)‎ D.‎3‎‎2‎‎−‎1‎n+1‎+‎‎1‎n+2‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 双曲线x‎2‎‎4‎‎−y‎2‎=1‎的离心率等于( ) ‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎5‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎7. 函数y=‎sinx+cosx‎|x|‎在区间‎[−2π, 2π]‎的图象大致是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题: ①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α; ②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB; ③若l⊄α,A∈l,则A≠α; ④若A,B,C∈α,A,B,C∈β,则α与β重合. 其中,正确的有( ) ‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.‎4‎个 ‎ ‎ ‎9. ‎(1+2x‎2‎)(x−‎‎1‎x‎)‎‎6‎的展开式中,含x‎2‎的项的系数是( ) ‎ A.‎−40‎ B.‎−25‎ C.‎25‎ D.‎‎55‎ ‎ ‎ ‎10. 设函数f(x)‎=alnx+bx‎2‎(a>0, b>0)‎,若函数f(x)‎的图象在x=‎1‎处的切线与直线x+y−2e=‎0‎垂直,则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为( ) ‎ A.‎1‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3−2‎‎2‎ D.‎‎3+2‎‎2‎ ‎ ‎ ‎11. 下列叙述中正确的是( ) ①集合A=‎{(x, y)|x+y=5}‎,B=‎{(x, y)|(x−1‎)‎‎2‎+y‎2‎=9}‎,则A∩B=‎⌀‎; ②若函数f(x)=‎‎4−xax‎2‎+x−3‎的定义域为R,则实数a<−‎‎1‎‎12‎; ③函数f(x)=‎‎9−‎x‎2‎‎|x−4|−4‎是偶函数; ④函数f(x)‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎=x−xsin‎2‎x,x∈(−2π, 2π)‎有‎5‎个零点. ‎ A.①③ B.②④ C.②③④ D.①②④‎ ‎ ‎ ‎12. 已知函数f(x)‎=sin(ωx+π‎6‎)+‎1‎‎2‎(ω>0)‎,点P,Q,R是直线y=m(m>0)‎与函数f(x)‎的图象自左至右的某三个相邻交点,且‎2|PQ|‎=‎|QR|=‎‎2π‎3‎,则ω+m=( ) ‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎2+‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎5+‎‎3‎‎2‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎ ‎ ‎ 已知向量a‎→‎‎=(−1, −2)‎,b‎→‎‎=(−3, m)‎,其中m∈R.若a‎→‎,b‎→‎共线,则‎|b‎→‎|‎=________. ‎ ‎ ‎ ‎ 在数列‎{an}‎中,a‎1‎=‎1‎,an+1‎=‎2+‎an,Sn为‎{an}‎前n项和,若Sn=‎36‎,则n=________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎9‎=1(a>0)‎的右焦点为F,点M在C上,点N为线段MF的中点,点O为坐标原点,若‎|MF|‎=‎2|ON|‎=‎4‎,则C的离心率为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 在正四棱柱ABCD−‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AB=BC=‎2‎,AA‎1‎=‎3‎,点E在侧棱B‎1‎B上,且BE=‎1‎.设三棱锥D‎1‎‎−DEC‎1‎的体积为V‎1‎,四棱锥E−ABCD的体积为V‎2‎,则V‎1‎V‎2‎的值为________‎3‎‎2‎ . ‎ 三、解答题(共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分.‎ ‎ ‎ ‎ 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图).已知上学所需时间的范围是‎[0, 100]‎,样本数据分组为‎[0, 20)‎,‎[20, 40)‎,‎[40, 60)‎,‎[60, 80)‎,‎[80, 100]‎. ‎(‎Ⅰ‎)‎求直方图中x的值; ‎(‎Ⅱ‎)‎如果上学所需时间在‎[60, 100]‎的学生可申请在学校住宿,请估计该校‎800‎名新生中有多少名学生可以申请住宿. ‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且‎2ccosB=‎2a+b. ‎ ‎(1)求角C;‎ ‎ ‎ ‎(2)若‎△ABC的面积为S=‎3‎‎2‎c,求ab的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ 如图‎1‎,在‎△MBC中,MA是BC边上的高,MA=‎3‎,AC=‎4‎.如图‎2‎,将‎△MBC沿MA进行翻折,使得二面角B−MA−C为‎90‎‎∘‎,再过点B作BD // AC,连接AD,CD,MD,且AD=‎2‎‎3‎,‎∠CAD=‎30‎‎∘‎. ‎ ‎(1)求证:CD⊥‎平面MAD;‎ ‎ ‎ ‎(2)在线段MD上取一点E使ME‎→‎MD‎→‎‎=‎‎1‎‎3‎,求直线AE与平面MBD所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎=lnx−a(x+1)‎,a∈R在(‎1, f(1)‎)处的切线与x轴平行. ‎ ‎(1)求f(x)‎的单调区间;‎ ‎ ‎ ‎(2)若存在x‎0‎‎>1‎,当x∈(1, x‎0‎)‎时,恒有f(x)−x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x−1)‎成立,求k的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ 过点P(0, 2)‎的直线与抛物线C:‎x‎2‎=‎4y相交于A,B两点. ‎ ‎(1)若AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎,且点A在第一象限,求直线AB的方程;‎ ‎ ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎(2)若A,B在直线y=‎−2‎上的射影分别为A‎1‎,B‎1‎,线段A‎1‎B‎1‎的中点为Q,求证:BQ // PA‎1‎.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎ ‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα‎ ‎(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π‎6‎)=‎‎3‎. ‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)求直线l与曲线C交点的极坐标‎(ρ>0, 0≤θ<2π)‎.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎=‎|2x−2|+|x+3|‎. ‎ ‎(1)求不等式f(x)≥2x+5‎的解集;‎ ‎ ‎ ‎(2)若f(x)‎的最小值为k,且实数a,b,c满足a(b+c)‎=k,求证:‎8a‎2‎+b‎2‎+c‎2‎≥16‎.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 参考答案与试题解析 ‎2020年广西来宾市高考数学质量诊断性试卷(理科)(4月份)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 交集及其运算 ‎【解析】‎ 可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ A=‎{0, 1, 2, 3}‎,B=R, ∴ A∩B=‎{0, 1, 2, 3}‎.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 复数的运算 ‎【解析】‎ 由已知求得z‎¯‎,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ z=‎4−i, ∴ z⋅z‎¯‎=(4−i)(4+i)=16−(−1)=17‎.‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 简单随机抽样 ‎【解析】‎ 根据用用随机数表法进行简单随机抽样的方法,得出结论.‎ ‎【解答】‎ 从随机数表第‎6‎行的第‎9‎列和第‎10‎列数字开始从左到右依次选取两个数字,位于‎01‎至‎50‎中间,含端点, 则这四个数为:‎41‎、‎48‎、‎28‎,‎19‎,‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 程序框图 ‎【解析】‎ 根据程序框图知该程序运行后输出分段函数y,利用分类讨论法求出对应的x值.‎ ‎【解答】‎ 根据程序框图知,该程序运行后是输出y=x+3,x<0‎‎0,x=0‎x+5,x>0‎ ‎, 当x<0‎时,令y=x+3‎=‎0‎,解得x=‎−3‎; 当x=‎0‎时,y=‎0‎,满足题意; 当x>0‎时,令y=x+5‎=‎0‎,解得x=‎−5‎,不满足题意; 综上,若输出的y=‎0‎,那么输入的x为‎−3‎或‎0‎.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 数列的求和 ‎【解析】‎ 由‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎‎=‎1‎n(n+2)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎n−‎1‎n+2‎)‎,运用裂项相消求和,化简整理即可得到所求和.‎ ‎【解答】‎ ‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎‎=‎1‎n(n+2)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎n−‎1‎n+2‎)‎‎, 则‎1‎‎2‎‎2‎‎−1‎‎+‎1‎‎3‎‎2‎‎−1‎+‎1‎‎4‎‎2‎‎−1‎+⋯+‎‎1‎‎(n+1‎)‎‎2‎−1‎ ‎=‎1‎‎2‎(1−‎1‎‎3‎+‎1‎‎2‎−‎1‎‎4‎+‎1‎‎3‎−‎1‎‎5‎+⋯+‎1‎n−1‎−‎1‎n+1‎+‎1‎n−‎1‎n+2‎)‎ ‎=‎1‎‎2‎(1+‎1‎‎2‎−‎1‎n+1‎−‎1‎n+2‎)‎ ‎=‎3‎‎4‎−‎1‎‎2‎(‎1‎n+1‎+‎1‎n+2‎)‎.‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 双曲线的离心率 ‎【解析】‎ 由双曲线x‎2‎‎4‎‎−y‎2‎=1‎可得a‎2‎=‎4‎,b‎2‎=‎1‎,可得a=‎2‎,c=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎,利用离心率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】‎ 由双曲线x‎2‎‎4‎‎−y‎2‎=1‎可得a‎2‎=‎4‎,b‎2‎=‎1‎, ∴ a=‎2‎,c=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎‎5‎. ∴ 双曲线的离心率e=ca=‎‎5‎‎2‎.‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ C 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【考点】‎ 函数的图象与图象的变换 ‎【解析】‎ 求出函数f(x)‎的零点,由此即可得解.‎ ‎【解答】‎ f(x)=sinx+cosx‎|x|‎=‎‎2‎sin(x+π‎4‎)‎‎|x|‎‎,x∈[−2π, 2π]‎, 令f(x)‎=‎0‎,解得x=‎‎3π‎4‎或x=−‎‎5π‎4‎, 由图观察可知,只有选项C符合题意,‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 平面的基本性质及推论 命题的真假判断与应用 ‎【解析】‎ 由平面的基本性质的公理‎1‎可判断①;由公理‎2‎判断②;由线面的位置关系可判断③;由平面基本性质的公理‎3‎可判断④.‎ ‎【解答】‎ α‎,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点, ①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α,由平面的基本性质的公理‎1‎,可得①正确; ②α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB, 由平面的基本性质的公理‎2‎,可得②正确; ③若l⊄α,A∈l,则A∈α或A∉α,可得③不正确; ④若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合, 由平面的基本性质的公理‎3‎,可得④正确. 其中正确的个数为‎3‎,‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 二项式定理及相关概念 ‎【解析】‎ 根据二项式展开式的通项公式求出‎(x−‎1‎x)‎‎2‎展开式中的常数项和含x‎2‎项,再求结果即可.‎ ‎【解答】‎ 二项式‎(x−‎1‎x)‎‎6‎的展开式中,通项公式为 Tr+1‎‎=C‎6‎r⋅x‎6−r⋅‎(−‎1‎x)‎r=C‎6‎r⋅(−1‎)‎r⋅‎x‎6−2r, 令‎6−2r=‎0‎,解得r=‎3‎,此时为C‎6‎‎3‎‎⋅(−1‎‎)‎‎3‎=‎−20‎; 令‎6−2r=‎2‎,解得r=‎2‎,此时C‎6‎‎2‎‎⋅(−1‎)‎‎2‎⋅‎x‎2‎=‎15‎x‎2‎; 所以展开式中含x‎2‎的项的系数是‎1×15+2×(−20)‎=‎−25‎.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】‎ 求得f(x)‎的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件,可得a,b的关系式,再由基本不等式可得所求最小值.‎ ‎【解答】‎ 函数f(x)‎=alnx+bx‎2‎的导数为f′(x)=ax+2bx, 可得函数f(x)‎的图象在x=‎1‎处的切线斜率为a+2b, 由切线与直线x+y−2e=‎0‎垂直,可得a+2b=‎1‎,‎(a>0, b>0)‎, 则‎1‎a‎+‎1‎b=(a+2b)(‎1‎a+‎1‎b)‎=‎1+2+ab+‎2ba≥3+2ab‎⋅‎‎2ba=3+2‎‎2‎, 当且仅当ab‎=‎‎2ba即a=‎2‎b=‎2‎−1‎时,取得等号, 则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为‎3+2‎‎2‎,‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 命题的真假判断与应用 ‎【解析】‎ ‎①直接利用直线与圆的位置关系的应用求出结果. ②利用二次函数的性质的应用求出结果. ③利用函数的定义域求出函数的奇偶性. ④利用函数的零点和方程的根求出结果.‎ ‎【解答】‎ ‎(3)当a<0‎时,‎△‎=‎1+12a<0‎,解得a<−‎1‎‎12‎(1)‎则实数a<−‎‎1‎‎12‎,故②正确. ③函数f(x)=‎‎9−‎x‎2‎‎|x−4|−4‎满足‎9−x‎2‎≥0‎,解得:‎−3≤x≤3‎,且x≠0‎, 所以f(x)=‎9−‎x‎2‎‎|x−4|−4‎=‎‎9−‎x‎2‎‎−x是奇函数;故③错误. ④函数f(x)‎=x−xsin‎2‎x,x∈(−2π, 2π)‎,当x=0,±π‎2‎,±‎‎3π‎2‎,函数f(x)‎=‎0‎,即函数有‎5‎个零点.故④正确. 故选:B.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 正弦函数的图象 ‎【解析】‎ 根据‎2|PQ|‎=‎|QR|=‎‎2π‎3‎,得到周期T,然后计算ω,利用P,Q的对称性,求出P点的横坐标,代入求解即可.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【解答】‎ ‎∵ ‎2|PQ|‎=‎|QR|=‎‎2π‎3‎, ∴ ‎|PQ|=‎π‎3‎,‎|QR|=‎‎2π‎3‎, 则T=‎||PQ+|QR|=π‎3‎+‎2π‎3‎=π, 即‎2πω‎=π,即ω=‎2‎, 即f(x)‎=sin(2x+π‎6‎)+‎‎1‎‎2‎, ∵ ‎|PQ|=‎π‎3‎, ∴ x‎2‎‎−x‎1‎=‎π‎3‎, ‎2x‎1‎+π‎6‎+2x‎2‎+π‎6‎=π, 得x‎1‎=‎0‎,此时m=sin(2x‎1‎+π‎6‎)+‎1‎‎2‎=sinπ‎6‎+‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎=1‎. 即ω+m=‎1+2‎=‎3‎,‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎5‎ ‎【考点】‎ 平面向量共线(平行)的坐标表示 ‎【解析】‎ 根据平面向量的共线定理列方程求出m的值,再计算b‎→‎的模长.‎ ‎【解答】‎ 向量a‎→‎‎=(−1, −2)‎,b‎→‎‎=(−3, m)‎, 若a‎→‎,b‎→‎共线,则‎−1×m−(−2)×(−3)‎=‎0‎, 解得m=‎−6‎, 所以b‎→‎‎=(−3, −6)‎, 所以‎|b‎→‎|=‎(−3)‎‎2‎‎+(−6)‎‎2‎=3‎‎5‎.‎ ‎【答案】‎ ‎6‎ ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 ‎【解析】‎ 推导出数列‎{an}‎是首项为‎1‎,公差为‎2‎的等差数列,由此能求出项数n.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 在数列‎{an}‎中,a‎1‎=‎1‎,an+1‎=‎2+‎an, ∴ 数列‎{an}‎是首项为‎1‎,公差为‎2‎的等差数列, Sn为‎{an}‎前n项和, ∴ Sn‎=n+n(n−1)‎‎2‎×2=‎n‎2‎, ∵ Sn=‎36‎,∴ n‎2‎=‎36‎, 解得n=‎6‎.(舍负),‎ ‎【答案】‎ ‎7‎‎4‎ ‎【考点】‎ 椭圆的离心率 ‎【解析】‎ 由题意画出图形,由已知结合椭圆定义求得a,进一步求得c,则椭圆离心率可求.‎ ‎【解答】‎ 如图, 设椭圆C的左焦点为F′‎,由椭圆定义得‎|MF|+|MF′|‎=‎2a, 即‎4+|MF′|‎=‎2a,① ∵ O为F′F的中点,N为线段MF的中点, ∴ ‎|MF′|‎=‎2|ON|‎=‎4‎,代入①, 可得‎2a=‎8‎,即a=‎4‎. ∴ c=‎16−9‎=‎‎7‎, ∴ C的离心率为‎7‎‎4‎.‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎2‎‎. ‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【考点】‎ 棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎【解析】‎ 先利用三棱锥与四棱锥的体积公式,转化求解即可;‎ ‎【解答】‎ 由题意可知几何体的直观图如图, 三棱锥D‎1‎‎−DEC‎1‎的体积为V‎1‎, 四棱锥E−ABCD的体积为V‎2‎,则V‎1‎V‎2‎‎=‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×2×3×2‎‎1‎‎3‎‎×2×2×1‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 三、解答题(共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)由直方图可得到‎20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20‎=‎1‎. 所以x=‎0.0125‎. (2)由直方图可知,新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的频率为‎0.003×2×20‎=‎0.12‎. 所以估计全校新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的概率为‎0.12‎. 因为‎800×0.12‎=‎96‎. 所以‎800‎名新生中估计有‎96‎名学生可以申请住宿.‎ ‎【考点】‎ 频率分布直方图 ‎【解析】‎ ‎(I)由题意,可由直方图中各个小矩形的面积和为‎1‎求出x值. ‎(II)‎再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于‎1‎小时组人数在样本中的频率,再乘以样本容量即可得到此组的人数即可.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)由直方图可得到‎20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20‎=‎1‎. 所以x=‎0.0125‎. (2)由直方图可知,新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的频率为‎0.003×2×20‎=‎0.12‎. 所以估计全校新生上学所需时间在‎[60, 100]‎的概率为‎0.12‎. 因为‎800×0.12‎=‎96‎. 所以‎800‎名新生中估计有‎96‎名学生可以申请住宿.‎ ‎【答案】‎ 由正弦定理可知:asinA‎=bsinB=csinC=2R,a=‎2RsinA,b=‎2RsinB,c=‎2RsinC, 由‎2ccosB=‎2a+b,则‎2sinCcosB=‎2sin(B+C)+sinB, ∴ ‎2sinBcosC+sinB=‎0‎, 由‎00‎,解得:‎01‎, 故f(x)‎在‎(0, 1)‎递增,在‎(1, +∞)‎递减;‎ 不等式f(x)−x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x−1)‎ 可化为lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎>k(x−1)‎, 令g(x)‎=lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎−k(x−1)‎,‎(x>1)‎, g′(x)=‎‎−x‎2‎‎+(1−k)x+1‎x, ∵ x>1‎,令h(x)‎=‎−x‎2‎+(1−k)x+1‎, h(x)‎的对称轴是x=‎‎1−k‎2‎, ①当‎1−k‎2‎‎≤1‎时,即k≥−1‎, 易知h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎上递减, ∴ h(x)0‎, ∴ 必存在x‎0‎使得x∈(1, x‎0‎)‎时,g′(x)>0‎, ∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增, ∴ g(x)>g(1)‎=‎0‎恒成立,适合题意. ②当‎1−k‎2‎‎>1‎时,即k<−1‎, 易知必存在x‎0‎使得h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增, ∴ h(x)>h(1)‎=‎1−k>0‎, ∴ g′(x)>0‎,∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增, ∴ g(x)>g(1)‎=‎0‎恒成立,适合题意. 综上,k的取值范围是‎(−∞, 1)‎.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 ‎【解析】‎ ‎(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)问题转化为可化为lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎>k(x−1)‎,令g(x)‎=lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎−k(x−1)‎,‎(x>1)‎,通过讨论k的范围,求出函数的单调区间,从而确定k的范围即可.‎ ‎【解答】‎ 由已知可得f(x)‎的定义域为‎(0, +∞)‎, ∵ f′(x)=‎1‎x−a,∴ f′(1)‎=‎1−a=‎0‎,解得:a=‎1‎, ∴ f′(x)=‎‎1−xx, 令f′(x)>0‎,解得:‎01‎, 故f(x)‎在‎(0, 1)‎递增,在‎(1, +∞)‎递减;‎ 不等式f(x)−x‎2‎‎2‎+2x+‎1‎‎2‎>k(x−1)‎ 可化为lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎>k(x−1)‎, 令g(x)‎=lnx−x‎2‎‎2‎+x−‎1‎‎2‎−k(x−1)‎,‎(x>1)‎, g′(x)=‎‎−x‎2‎‎+(1−k)x+1‎x, ∵ x>1‎,令h(x)‎=‎−x‎2‎+(1−k)x+1‎, h(x)‎的对称轴是x=‎‎1−k‎2‎, ①当‎1−k‎2‎‎≤1‎时,即k≥−1‎, 易知h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎上递减, ∴ h(x)0‎, ∴ 必存在x‎0‎使得x∈(1, x‎0‎)‎时,g′(x)>0‎, ∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增, ∴ g(x)>g(1)‎=‎0‎恒成立,适合题意. ②当‎1−k‎2‎‎>1‎时,即k<−1‎, 易知必存在x‎0‎使得h(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增, ∴ h(x)>h(1)‎=‎1−k>0‎, ∴ g′(x)>0‎,∴ g(x)‎在‎(1, x‎0‎)‎递增, ∴ g(x)>g(1)‎=‎0‎恒成立,适合题意. 综上,k的取值范围是‎(−∞, 1)‎.‎ ‎【答案】‎ 由题意,设过点P(0, 2)‎的直线l的斜率为k,则l:y=kx+2‎. 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎. ∵ AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎, ∴ 根据定比分点的知识,有 x‎1‎‎+2‎x‎2‎‎3‎‎=0‎,y‎1‎‎+2‎y‎2‎‎3‎‎=2‎, ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎=‎0‎. 联立y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎, 消去y,整理得x‎2‎‎−4kx−8‎=‎0‎. 解得x‎1‎=‎2(k+k‎2‎‎+2‎)‎,x‎2‎=‎2(k−k‎2‎‎+2‎)‎, ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎=‎2(k+k‎2‎‎+2‎)+4(k−k‎2‎‎+2‎)‎=‎0‎, 整理,得‎3k=k‎2‎‎+2‎>0‎, 解得k=‎‎1‎‎2‎. ∴ 直线AB的方程为y=‎1‎‎2‎x+2‎.‎ 证明:根据(1),联立直线l与抛物线方程,得 y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎, 整理,得x‎2‎‎−4kx−8‎=‎0‎. 则x‎1‎‎+‎x‎2‎=‎4k,x‎1‎‎⋅‎x‎2‎=‎−8‎. ∵ A‎1‎‎(x‎1‎, −2)‎,B‎1‎‎(x‎2‎, −2)‎.∴ Q(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎, −2)‎. ∴ BQ‎→‎‎=(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎, −2−y‎2‎)‎,PA‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎, −4)‎. ∵ ‎(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎)⋅(−4)−x‎1‎⋅(−2−y‎2‎)‎ =‎4⋅x‎2‎‎−‎x‎1‎‎2‎+x‎1‎⋅(y‎2‎+2)‎=‎2x‎2‎−2x‎1‎+x‎1‎y‎2‎+2‎x‎1‎=‎2x‎2‎+‎x‎1‎y‎2‎ =‎2x‎2‎+x‎1‎⋅x‎2‎‎2‎‎4‎=2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅x‎1‎⋅‎x‎2‎ =‎2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅(−8)‎=‎0‎. ∴ BQ // PA‎1‎.‎ ‎【考点】‎ 抛物线的性质 ‎【解析】‎ 本题第(1)题由题意,设过点P(0, 2)‎的直线l的斜率为k,则l:y=kx+2‎.然后由AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎,根据定比分点的知识,可得x‎1‎‎+2‎x‎2‎‎3‎‎=2‎,y‎1‎‎+2‎y‎2‎‎3‎‎=0‎.将y‎1‎=kx‎1‎+2‎,y‎2‎=kx‎2‎+2‎代入最终可得到k的值,则即可求出直线AB的方程;第(2)题先联立直线l与抛物线方程,整理得到一元二次方程,根据韦达定理有x‎1‎‎+‎x‎2‎=‎4k,x‎1‎‎⋅‎x‎2‎=‎−8‎.再根据题意写出∴ BQ‎→‎‎=(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎, −2−y‎2‎)‎,PA‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎, −4)‎.再根据平行向量的坐标公式x‎1‎y‎2‎‎−‎x‎2‎y‎1‎=‎‎0‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 进行代入计算即可证明BQ // PA‎1‎.‎ ‎【解答】‎ 由题意,设过点P(0, 2)‎的直线l的斜率为k,则l:y=kx+2‎. 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎. ∵ AP‎→‎‎=2‎PB‎→‎, ∴ 根据定比分点的知识,有 x‎1‎‎+2‎x‎2‎‎3‎‎=0‎,y‎1‎‎+2‎y‎2‎‎3‎‎=2‎, ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎=‎0‎. 联立y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎, 消去y,整理得x‎2‎‎−4kx−8‎=‎0‎. 解得x‎1‎=‎2(k+k‎2‎‎+2‎)‎,x‎2‎=‎2(k−k‎2‎‎+2‎)‎, ∴ x‎1‎‎+2‎x‎2‎=‎2(k+k‎2‎‎+2‎)+4(k−k‎2‎‎+2‎)‎=‎0‎, 整理,得‎3k=k‎2‎‎+2‎>0‎, 解得k=‎‎1‎‎2‎. ∴ 直线AB的方程为y=‎1‎‎2‎x+2‎.‎ 证明:根据(1),联立直线l与抛物线方程,得 y=kx+2‎x‎2‎‎=4y‎ ‎, 整理,得x‎2‎‎−4kx−8‎=‎0‎. 则x‎1‎‎+‎x‎2‎=‎4k,x‎1‎‎⋅‎x‎2‎=‎−8‎. ∵ A‎1‎‎(x‎1‎, −2)‎,B‎1‎‎(x‎2‎, −2)‎.∴ Q(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎, −2)‎. ∴ BQ‎→‎‎=(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎, −2−y‎2‎)‎,PA‎1‎‎→‎‎=(x‎1‎, −4)‎. ∵ ‎(x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎−x‎2‎)⋅(−4)−x‎1‎⋅(−2−y‎2‎)‎ =‎4⋅x‎2‎‎−‎x‎1‎‎2‎+x‎1‎⋅(y‎2‎+2)‎=‎2x‎2‎−2x‎1‎+x‎1‎y‎2‎+2‎x‎1‎=‎2x‎2‎+‎x‎1‎y‎2‎ =‎2x‎2‎+x‎1‎⋅x‎2‎‎2‎‎4‎=2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅x‎1‎⋅‎x‎2‎ =‎2x‎2‎+x‎2‎‎4‎⋅(−8)‎=‎0‎. ∴ BQ // PA‎1‎.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎【答案】‎ 曲线C的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα‎ ‎(α为参数),转换为普通方程为‎(x−2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=‎4‎. 直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π‎6‎)=‎‎3‎.根据x=ρcosθy=ρsinθ‎ ‎转换为‎3‎‎2‎ρcosθ−‎1‎‎2‎ρsinθ=‎‎3‎,整理得‎3‎x−y−2‎3‎=0‎.‎ 根据(1)整理得‎(x−2)‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎‎3‎x−y−2‎3‎=0‎‎ ‎,解得x=3‎y=‎‎3‎‎ ‎或x=1‎y=−‎‎3‎‎ ‎,转换为极坐标为‎(2‎3‎,π‎6‎)‎或‎(2, ‎4π‎3‎)‎.‎ ‎【考点】‎ 圆的极坐标方程 参数方程与普通方程的互化 ‎【解析】‎ ‎(1)直接利用转换关系,把参数方程转换为普通方程,进一步转换为极坐标方程. (2)利用直线和圆的位置关系的应用求出交点的坐标,最后转换为极坐标.‎ ‎【解答】‎ 曲线C的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα‎ ‎(α为参数),转换为普通方程为‎(x−2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=‎4‎. 直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π‎6‎)=‎‎3‎.根据x=ρcosθy=ρsinθ‎ ‎转换为‎3‎‎2‎ρcosθ−‎1‎‎2‎ρsinθ=‎‎3‎,整理得‎3‎x−y−2‎3‎=0‎.‎ 根据(1)整理得‎(x−2)‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎‎3‎x−y−2‎3‎=0‎‎ ‎,解得x=3‎y=‎‎3‎‎ ‎或x=1‎y=−‎‎3‎‎ ‎,转换为极坐标为‎(2‎3‎,π‎6‎)‎或‎(2, ‎4π‎3‎)‎.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎【答案】‎ f(x)‎‎=‎|2x−2|+|x+3|=‎3x+1,‎x>1‎‎−x+5,‎‎−3≤x≤1‎‎−3x−1,‎x<−3‎ ‎, ∵ f(x)≥2x+5‎,∴ ‎3x+1≥2x+5‎x>1‎‎ ‎或‎−x+5≥2x+5‎‎−3≤x≤1‎‎ ‎或‎−3x−1≥2x+5‎x<−3‎‎ ‎, ∴ x⩾‎4‎或‎−3‎⩽x⩽‎0‎或x<−3‎, ∴ x⩽‎0‎或x⩾‎4‎, ∴ 不等式的解集为‎{x|x≤0或x≥4}‎.‎ 证明:由 (1)知,f(x‎)‎min=k=‎4‎, ∴ a(b+c)‎=k=‎4‎,∴ ab+ac=‎4‎, ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎=‎(a‎2‎+b‎2‎)+(a‎2‎+c‎2‎)‎⩾‎2ab+2ac=‎8‎, 当且仅当 a=b=c=±‎‎2‎ 时取等号, ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎⩾‎8‎.‎ ‎【考点】‎ 绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 ‎【解析】‎ ‎(1)将f(x)‎写为分段函数的形式,然后根据f(x)≥2x+5‎,利用零点分段法解不等式即可; (2)先根据(1)得到f(x)‎的最小值k,然后利用重要不等式得到‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎⩾‎2ab+2ac,进一步证明‎8a‎2‎+b‎2‎+c‎2‎≥16‎成立.‎ ‎【解答】‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 f(x)‎‎=‎|2x−2|+|x+3|=‎3x+1,x>1‎‎−x+5,−3≤x≤1‎‎−3x−1,x<−3‎ ‎, ∵ f(x)≥2x+5‎,∴ ‎3x+1≥2x+5‎x>1‎‎ ‎或‎−x+5≥2x+5‎‎−3≤x≤1‎‎ ‎或‎−3x−1≥2x+5‎x<−3‎‎ ‎, ∴ x⩾‎4‎或‎−3‎⩽x⩽‎0‎或x<−3‎, ∴ x⩽‎0‎或x⩾‎4‎, ∴ 不等式的解集为‎{x|x≤0或x≥4}‎.‎ 证明:由 (1)知,f(x‎)‎min=k=‎4‎, ∴ a(b+c)‎=k=‎4‎,∴ ab+ac=‎4‎, ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎=‎(a‎2‎+b‎2‎)+(a‎2‎+c‎2‎)‎⩾‎2ab+2ac=‎8‎, 当且仅当 a=b=c=±‎‎2‎ 时取等号, ∴ ‎2a‎2‎+b‎2‎+‎c‎2‎⩾‎8‎.‎ 第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页
查看更多

相关文章

您可能关注的文档