【数学】2020一轮复习北师大版（理）41　直线、平面垂直的判定与性质作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）41　直线、平面垂直的判定与性质作业

课时规范练41　直线、平面垂直的判定与性质 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018天津河西区质检三,5)设m是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　)‎ A.若m∥α,m∥β,则α∥β B.若m∥α,m⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,m∥α,则m⊥β D.若α⊥β,m⊥α,则m∥β ‎2.(2018重庆八中八模,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段BC1上任意一点,则下列结论正确的是(　　)‎ A.AD1⊥DM B.AC1⊥DM C.AM⊥B1C D.A1M⊥B1C ‎3.(2018福建罗源一中模拟,12)设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上两点,且AB=2,EF=1,给出下列四个命题:①三棱锥D1-B1EF的体积为定值;②异面直线D1B1与EF所成的角为45°;③D1B1⊥平面B1EF;④直线D1B1与AC1不垂直.其中正确的命题为(　　)‎ A.①② B.②③ C.①②④ D.①④‎ ‎4.(2018全国1,文10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　)‎ A.8 B.6‎2‎ C.8‎2‎ D.8‎‎3‎ ‎5.(2018吉林四平一模,14)ABCD是正方形,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PAD,平面ABCD这五个平面中,互相垂直的平面有　　　　　对. ‎ ‎6.‎ 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.‎ ‎(1)求证:AE⊥DA1;‎ ‎(2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG.‎ ‎7.‎ 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=‎2‎,点E在AD上,且AE=2ED.‎ ‎(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;‎ ‎(2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的‎4‎‎3‎,求点E到平面PBC的距离.‎ 综合提升组 ‎8.(2018云南昆明检测,10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则(　　)‎ A.MN∥C1D1 B.MN⊥BC1‎ C.MN⊥平面ACD1 D.MN⊥平面ACC1‎ ‎9.(2018吉林梅河口二模,16)在四面体ABCD中,DA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE⊥平面BCD,则DE=　　　　　. ‎ ‎10.已知正四棱锥P-ABCD内接于半径为‎5‎‎4‎的球O中(且球心O在该棱锥内部),底面ABCD的边长为‎2‎,求点A到平面PBC的距离.‎ ‎11.‎ 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.‎ ‎(1)求四棱锥F-ADEC的体积;‎ ‎(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.‎ ‎12.‎ 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.‎ ‎(1)求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE.‎ ‎(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.‎ 创新应用组 ‎13.‎ 如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.‎ ‎(1)证明:AE∥平面BDF;‎ ‎(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.‎ 参考答案 课时规范练41　直线、平面垂直的判定与性质 ‎1.B　在A中,m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,m∥α,m⊥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故B正确;在C中,α⊥β,m∥α,则m与β相交,平行或m⫋β,故C错误;在D中,α⊥β,m⊥α,则m∥β或m⫋β,故D错误,故选B.‎ ‎2.C　由题得B1C⊥BC1,B1C⊥AB,‎ 因为AB,BC1⫋平面ABM,且AB∩BC1=B,‎ 所以B1C⊥平面ABM,所以AM⊥B1C.故选C.‎ ‎3.A　由题意得,如图所示,‎ ‎①中,三棱锥的体积为VD‎1‎‎-B‎1‎EF=VB‎1‎‎-D‎1‎EF=‎1‎‎3‎×S‎△D‎1‎EF·B1C1=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×EF×2×2=‎2‎‎3‎,所以体积为定值;②中,在正方体中,EF∥C1D1,所以异面直线D1B1与EF所成的角就是直线D1B1与C1D1所成的角,即∠B1D1C1=45°,所以这是正确的;③中,由②可知,直线D1B1与EF不垂直,所以D1B1⊥面B1EF不成立,所以是错误的;④B1D1⊥平面AA1C1C,又AC1⫋平面AA1C1C,可知D1B1与AC1垂直,所以不正确.故选A.‎ ‎4.C　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,连接BC1,则∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30°,所以在Rt△ABC1中,BC1=ABtan∠AC‎1‎B=2‎3‎,又BC=2,‎ 所以在Rt△BCC1中,CC1=‎(2‎3‎‎)‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎=2‎2‎,‎ 所以该长方体体积V=BC×CC1×AB=8‎2‎.‎ ‎5.5　因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD.又因为AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB,同理可得平面PBC⊥平面PAB,平面PAD⊥平面PCD,故互相垂直的平面有5对.故填5.‎ ‎6.(1)证明 连接AD1,BC1(图略).‎ 由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,‎ ‎∴DA1⊥平面ABC1D1.‎ ‎∵AE⫋平面ABC1D1,∴AE⊥DA1.‎ ‎(2)解 所求点G即为点A1,证明如下:‎ 由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,‎ 可得DF⊥平面AHE.‎ ‎∵AE⫋平面AHE,∴DF⊥AE.‎ 又DF∩A1D=D,‎ ‎∴AE⊥平面DFA1,‎ 即AE⊥平面DFG.‎ ‎7.(1)证明 ∵AB⊥AC,AB=AC,‎ ‎∴∠ACB=45°.‎ ‎∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,‎ ‎∴∠ACD=45°,∴AD=CD,‎ ‎∴BC=‎2‎AC=2AD.‎ ‎∵AE=2ED,CF=2FB,‎ ‎∴AE=BF=‎2‎‎3‎AD,‎ ‎∴四边形ABFE是平行四边形,‎ ‎∴AB∥EF.‎ 又AB⊥AC,∴AC⊥EF.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.‎ ‎∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.‎ ‎∵EF⫋平面PEF,‎ ‎∴平面PEF⊥平面PAC.‎ ‎(2)解 ∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,‎ ‎∴PB=PC,‎ 取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.‎ 设PA=x,连接PG,则PG=x‎2‎‎+1‎,‎ ‎∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的‎4‎‎3‎倍,‎ ‎∴‎1‎‎2‎×2×PG=‎4‎‎3‎×‎1‎‎2‎×(1+2)×1,即PG=2,求得x=‎3‎,‎ ‎∵AD∥BC,AD⊈平面PBC,BC⫋平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,‎ ‎∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC,‎ ‎∴点E到平面PBC的距离为‎1‎‎2‎PA=‎3‎‎2‎.‎ ‎8.D　对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点,所以点N∈平面CDD1C1,点M∉平面CDD1C1,所以直线MN是平面CDD1C1的交线,‎ 又因为直线C1D1在平面CDD1C1内,故直线MN与直线C1D1不可能平行,故选项A错;对于选项B,正方体中易知NB≠NC1,因为点M是BC1的中点,所以直线MN与直线BC1不垂直.故选项B不对;对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1.因为N是CD1的中点,所以MC=MD1.这与MC≠MD1矛盾.故假设不成立.所以选项C不对;对于选项D,分别取B1C1,C1D1的中点P、Q,连接PM、QN、PQ.因为点M是BC1的中点,所以PM∥CC1且PM=‎1‎‎2‎CC1.同理QN∥CC1且QN=‎1‎‎2‎CC1.所以PM ‎∥QN且PM=QN,所以四边形PQNM为平行四边形.所以PQ∥MN.在正方体中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC.因为AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1,CC1⊂平面ACC1,所以PQ⊥平面ACC1.因为PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1.故选D.‎ ‎9.‎13‎‎5‎　过A作AH⊥DE,因为平面ADE⊥平面BCD,且平面ADE⊥平面BCD=DE,‎ ‎∴AH⊥平面BCD,∴AH⊥BC,又AD⊥BC,‎ ‎∴BC⊥平面ADE,BC⊥AE,‎ ‎∵AE=‎3×4‎‎5‎,AD=1,∴DE=‎13‎‎5‎.‎ ‎10.解 如图所示,连接AC与BD交于O',显然球心O在正棱锥P-ABCD的高PO'上,‎ 因为球O的半径为‎5‎‎4‎,所以OD=OP=‎5‎‎4‎,‎ 又因为底面ABCD的边长为‎2‎,‎ 所以BD=‎2+2‎=2,O'D=‎1‎‎2‎BD=1,‎ 在△OO'D中,由勾股定理得OO'=OD‎2‎-O'‎D‎2‎=‎(‎5‎‎4‎)‎ ‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎=‎3‎‎4‎,‎ 所以O'P=OP+OO'=‎5‎‎4‎+‎3‎‎4‎=2,‎ 设点A到平面PBC的距离为h,则由VA-PBC=VP-ABC,可得:‎ ‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×‎2‎×‎(‎5‎‎)‎‎2‎-(‎2‎‎2‎)‎‎ ‎‎2‎×h=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×(‎2‎)2×2,解得h=‎4‎‎3‎.‎ ‎11.(1)解 ∵D,E分别是AB,BC边的中点,‎ ‎∴DE