数形结合思想在高考中的应用

数形结合思想在高考中的应用

数形结合思想在高考中的应用 ‎【摘要】本文对数形结合思想的概念，类型，在高考中的地位及应用做了介绍.并通过 具体题目来具体做了解析.‎ ‎【关键词】数形结合 高考题 数学思想 ‎ 引言 数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果. ‎ 一．数形结合思想的概念诠释 数形结合思想，其本质上就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化[1].也就是从数学符号所表示的几何意义出发，把数字和其图形相结合，通过数与形的互相转化来解决数学问题的一种重要的数学思想方法.也有人说过“数形结合”就是把数量关系和空间形式结合起来进行考察的思想方法.通过数和形间的对应和转化来对数学问题加以解决，它包含了以形助数以数解形两个方面.利用它可使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，它兼有数的严谨性与形的直观性二者之长，是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学思想方法.‎ 数形结合方法是化归这一思想的具体表达形式，同时它又是一种常用的数学解题方法，是培养高中生问题解决能力的强有力工具.为了更准确的理解数形结合这一思想，我们很有必要对它进行界定和研究.‎ 二．数形结合思想的类型 王然恩[2]对数形结合思想教学的分类如下：由数思形和由形思数.‎ 一方面是借助形的生动性和直观性来阐释数之间的关系，即以形为手段，以数为目的，比如应用函数图象可以直观说明函数的性质；另一方面借助于数的精确性和严密性来阐释形的直观性，即以数为手段，形为目的，比如用曲线方程来精确地阐释曲线的几何性质.巧妙运用数形结合思想方法解题往往使抽象的问题直观化，复杂的问题简单化，从而达到优化解题途径这一目的.结合数的严谨性和形的直观性两方面来考虑问题，拓展了解题思路，从而起到事半功倍的效果.据此数形结合可分为三种情况：一是由形思数，二是由数思形，三是数形互化.‎ 三．数形结合在高考中的地位 纵观近几年的高考试题很明显数形结合的思想在考试中占有着重举足轻重的地位.无论是从总分上看数学高考题分,而运用数形结合思想解决题型的分数就占了一半甚至上可能更多还是从题量上看数形结合题型贯穿了整张试卷中的“选择题”、“填空题”、“简答题”.从高考题的知识点分析,可以发现它们都存在着一定的共性,例如函数与图像之间的相互对应关系,曲线的方程和图像之间的对应关系问题,直线与圆之间的问题等都是必考点.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，我国伟大数学家华罗庚的这句优美诗句充分地体现了 “数形结合思想”在数学研究中的重要性.在近年来我省数学高考自主命题中，在解几何、向量、不等式、函数、立体几何等几个方面也进行了大量的数形结合能力的考查.‎ 四. 数形结合的两种形式的分析 ‎1. “以形助数” [3]‎ ‎（06 年福建省高考理科第 10 题) 已知双曲线的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A.(1,2) B(2,1) D.‎ 答案: C.在本题的解答中,用几何法可使题目变得简单.‎ ‎2． “以数解形” ‎ 数形结合不仅仅是强调将数转化成形来研究，有时候在一些几何条件的应用转化考查方面也是很灵活的.‎ 例如在09年福建省高考理科第19题中 ( 左下图 ) ，“点 M 是以 SB为直径的圆与线TB 的交点，试问: 是否存在，使得 O，M，S 三点共线”，实质是在考查圆的性质，将其转为 OS⊥BT 即可.再如08年福建省高考理科第2 题中(右下图 ) ，只要将条件:“”转化OAOB>0即可.‎ 五．数形结合在高考中的应用 ‎1.在集合问题中的应用 在集合运算中我们通常借助数轴、集合图或韦恩图来处理多个集合之间的交、并、补集等运算.从而简化问题使得集合之间的运算操作更为简单明了.如下题 ‎（1）（2010辽宁理数）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，‎ 且A∩B={3},（B∩A）={9},则A=（ ）‎ A {1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D. {3,9}‎ 解析：根据题目所提供的条件，用Venn图（如右图）.由图可知A={3,9}‎ ‎【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的 运算，但通过直接运算不易得出结果，利用用数形结合思想，以形代数，把抽象化直观，轻松的解决.‎ ‎(2)已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B.‎ 解析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来,由图我们不难得出A∩B=[0,3].‎ ‎2.在函数问题中的应用 借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合体现了数形结合的特征与方法. ‎ ‎（1）（2009年海南）设 (0),则的最大值（ ）‎ A .4 B. ‎5 C. 6 D. 7‎ 解析：构造函数y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x，并画出函数图象（如右图），观察图象知，‎ ① 当0≤x≤2时，函数f（x）＝2x上存在最小值 ② 当2≤x≤4时，函数f（x）＝x＋2上存在最小值，‎ ③ 当x＞4时，函数f（x）＝10－x上存在最小值，‎ 综上所述，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C..‎ ‎【点评】借助函数图象，不仅很好地理解题意，而轻而易举地得出了的最大值，这是“以形助数”，否则，需要用解不等式组的方式求得的分段表 达式，并求出每段上的最大值.从中选出最大值，那将是很繁琐的，环节很多， 出错率高.‎ ‎（2）：三角函数 有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法. ‎ ‎（2010江苏卷）定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为___________.‎ 解析:如图,由题意得:，即 得 结合图象分析得:.‎ P P1‎ P2‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题通过代数方法是无法解决,可利用数形结合思想, 以形助数,画出三角函数的图象，观察图象,发现.‎ ‎3.在求方程根问题中的应用 在处理该类问题时，可将方程的根问题看作两个函数图象的交点问题.‎ ‎（1）（2002年江西）方程的实数根的个数 ‎ 解析：构造两个函数和，并在同个一坐标系里画出函数图象.从图（下图）中的到3个交点，也就是说此方程有3个实数根.‎ ‎【点评】此方程是一个超越方程，用代数方法求解该方程是很困难的用数形结合，方程的解就是函数图象的交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数,突出了对转化思想和数形结合思想的考查.‎ ‎4.在线性规划问题中的应用 线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.‎ ‎（1）（2010上海文数）满足线性约束条件的目标函数的最大值是（ ）‎ A 1. B. . C. 2. D.3 .‎ 解析：根据线性约束条件作出平面区域（ 如上图）把目标函数 转化为直线，将最值问题转化为截距问题，‎ 根据图象可知，当直线过点B(1,1)时，z有最大值，最大值为2‎ ‎【点评】本题如果通过代数方法,由于满足不等式组的解有无数多个,根本无法确定最值,利用数形结合思想.以形助数, 使问题化难为易、化繁为简.线性规划是借助平面区域表示直线，不等式等代数表达式，将目标函数的最值问题转化为直线的截距，斜率和两点间距离等问题，最终借助图形的性质解决问题.‎ ‎4.在几何问题中的应用 解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中. 立体几何问题：用向量的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，就是将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算.‎ ‎（1）（2010湖北理数）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解析：曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.‎ ‎【点评】对于直线与圆锥曲线的相交及相关问题，可借助图形来解决问题，是常用的方法，可处理一些位置关系的问题等.‎ ‎（2）（2010辽宁理数）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：CM⊥SN；‎ ‎（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.‎ 证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为 x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如下图.‎ 则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.‎ ‎（Ⅰ）,‎ 因为，‎ 所以CM⊥SN ‎ ‎（Ⅱ）,‎ 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，‎ 则 ‎ 因为.所以SN与片面CMN所成角为45°. ‎ ‎【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，体现了数形结合思想,目的是将空间几何元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，以数辅形,有直观性，可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低立体几何对空间想象能力要求的难度，但计算必须慎之又慎.‎ 结束语 从以上的内容及分析，数形结合思想是中学数学中的重要思想之一，而且是一种常用的数学方法.其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图象的认识数形的转化，使问题化难为易，化抽象为具体，易于从整体上定性地分析问题.‎ 参考文献 ‎[1] 王林全.高中新课程必修课教与学 数学[M].北京：北京大学出版社,2006.‎ ‎[2] 王然恩.初中数学思想方法及其教学研究[D]：[硕士学位论文]．河北师范大学，2005. ‎ ‎[3] 林清龙.赏析 “数形结合思想”在高考中的运用[J]. 教育论坛.(298):208.‎ 英文摘要 The application of the combination of number theory in the college entrance examination ‎【Abstract】This paper introduces the concept, type, position and application of the Combination of number theory in the college entrance examination. And through specific topics to do the analysis.‎ ‎【Key words】 Combination of number theory the college entrance examination Mathematics thought