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文档介绍
2017年度高考数学快速命中考点20
2014高考数学快速命中考点20 一、选择题 1.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(1,) D.(1,] 【解析】 因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2, ∴c2-a2≤3a2,则c2≤4a2,1<e≤2. 【答案】 B 2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( ) A. B.2 C.4 D.8 【解析】 设C:-=1. ∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4得A(-4,),B(-4,-), ∴|AB|=2=4, ∴a=2,∴2a=4. ∴C的实轴长为4. 【答案】 C 3.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 【解析】 设P(-c,y0)代入椭圆方程求得y0,从而求得kOP, 由kOP=kAB及e=可得离心率e. 由题意设P(-c,y0),将P(-c,y0)代入+=1,得+=1,则y=b2=b2·=. ∴y0=或y0=-(舍去), ∴P,∴kOP=-. ∵A(a,0),B(0,b),∴kAB==-. 又∵AB∥OP,∴kAB=kOP, ∴-=-,∴b=c. ∴e====.故选C. 【答案】 C 4.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2,线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2等于( ) A.- B.-2 C. D.2 【解析】 设直线l的方程为y=k1(x+2),代入x2+2y2=2, 得(1+2k)x2+8kx+8k-2=0, 所以x1+x2=-, 而y1+y2=k1(x1+x2+4)=, 所以OP的斜率k2==-,所以k1k2=-. 【答案】 A 5.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( ) A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y 【解析】 ∵双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2, ∴==2,∴b=a, ∴双曲线的渐近线方程为x±y=0, ∴抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点(0,)到双曲线的渐近线的距离为=2, ∴p=8.∴所求的抛物线方程为x2=16y. 【答案】 D 二、填空题 6.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______. 【解析】 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,即4c2=a2-c2,a2=5c2,所以e2=,所以e=. 【答案】 7.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于________. 【解析】 设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x0,y0). 解方程组 化简得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0且Δ=(2k2-4)2-4k4>0, ∴x1+x2=, y1+y2=k(x1+x2+2)=且k2<1. ∴x0=,y0=. 由=2得:2+2=12. 解得k=±,满足k2<1即Δ>0,∴k=±. 【答案】 ± 8.设F1是椭圆+y2=1的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则·的最大值为________. 【解析】 设P(x0,y0),依题意可得:F1(-,0), 则·=x+y+x0=x+1-+x0 =+x0+1=2. 又-2≤x0≤2,所以当x0=2时, ∴·取得最大值4+2. 【答案】 4+2 三、解答题 9.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1). (1)求抛物线C的方程; (2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值. 图5-3-3 【解】 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1. 由消去y,整理得x2-4kx-4=0, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4. 由 解得点M的横坐标xM===. 同理,点N的横坐标xN=. 所以|MN|=|xM-xN|= =8=. 令4k-3=t,t≠0,则k=. 当t>0时,|MN|=2 >2. 当t<0时,|MN|=2 ≥. 综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是. 10. 如图5-3-4,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D. 图5-3-4 (1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程. 【解】 (1)由题意得 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1. 又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=, 所以|AB|=2=2. 又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0. 由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 故x0=-,所以|PD|=. 设△ABD的面积为S,则S=|AB|·|PD|=, 所以S=≤=,当且仅当k=±时取等号. 所以所求直线l1的方程为y=±x-1. 11.如图5-3-5,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程是x=2. 图5-3-5 (1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P满足:=+2,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-,问:是否存在定点F,使得|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值?若存在,求F的坐标;若不存在,说明理由. 【解】 (1)由e==,=2, 解得a=2,c=,b2=a2-c2=2, 故椭圆的标准方程为+=1. (2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由=+2,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即x=x1+2x2,y=y1+2y2. 因为点M,N在椭圆x2+2y2=4上, 所以x+2y=4,x+2y=4, 故x2+2y2=(x+4x+4x1x2)+2(y+4y+4y1y2) =(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2). 设kOM,kON分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知 kOM·kON==-,因此x1x2+2y1y2=0, 所以x2+2y2=20. 所以P点是椭圆+=1上的点,该椭圆的右焦点为F(,0),离心率e=,直线l:x=2是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点F(,0),使得|PF|与点P到直线l的距离之比为定值. 查看更多