【数学】2020届一轮复习人教A版不等式的性质的解题技巧(理)学案

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【数学】2020届一轮复习人教A版不等式的性质的解题技巧(理)学案

专题32 不等式的性质的解题技巧 一.【学习目标】‎ ‎1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.‎ ‎2.了解不等式(组)的实际背景.‎ ‎3.掌握不等式的性质及应用.‎ 二.【知识要点】‎ ‎1.不等式的定义 用不等号“>,≥,<,≤,≠”将两个数学表达式连接起来,所得的式子叫做不等式.‎ ‎2.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0⇔a >b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a b⇔b < a;‎ ‎(2)传递性:a>b,b>c⇒a >c;‎ ‎(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;‎ ‎(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac < bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;‎ ‎(5)倒数法则:a>b,ab>0⇒;‎ ‎(6)乘方性质:a>b>0⇒ (n≥2,n∈N*);‎ ‎(7)开方性质:a>b>0⇒ (n≥2,n∈N*);‎ ‎(8)有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则 ‎①真分数的性质:<;‎ >(b-m>0);‎ ‎②假分数的性质:>;‎ <(b-m>0).‎ ‎4.基本不等式 ‎(1)a2+b2≥2ab;变式:≥ab;当且仅当a=b时等号成立;‎ ‎(2)如果a≥0,b≥0,则≥;变式:ab≤,当且仅当a=b时,等号成立,其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.‎ ‎5.(1)若a>0,b>0,且a+b=P(定值),则由ab≤=可知,当a=b时,ab有最大值;‎ ‎(2)若a>0,b>0且ab=S(定值),则由a+b≥2=2可知,当a=b时,a+b有最小值2.‎ 三.典例分析 ‎ ‎(一)由已知条件判断不等式 例1.已知条件甲:,条件乙:且,则甲是乙的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件,属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意:首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ 练习1.已知,有下列命题:‎ ‎①若,则;②若,则;‎ ‎③若,则; ④若,则;‎ 其中真命题的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①取,则,但,故①错;‎ ‎②因,所以,因此;即②正确;‎ ‎③因,所以,故③正确;‎ ‎④因,由,得 ‎,所以,故④正确.‎ 练习2.有下列四个命题:‎ ‎①已知-1<a<b<0,则0.3a>a2>ab;‎ ‎②若正实数a、b满足a+b=1,则ab有最大值;‎ ‎③若正实数a、b满足a+b=1,则有最大值;‎ ‎④∀x,y∈(0,+∞),x3+y3>x2y+xy2.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】①已知﹣1<a<b<0,则0.3a>1,1>a2>ab>0,即有0.3a>a2>ab正确;‎ ‎②若正实数a、b满足a+b=1,则ab≤()2,有最大值正确;‎ ‎③若正实数a、b满足a+b=1,则,‎ 有最大值正确; ‎ 练习3.设,给出下列三个结论:①;②;③.其中所有的正确结论的序号是 ( )‎ A.①③ B.①② C.②③ D.①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】逐一分析所给的不等式:‎ 由于,故,结合可得,说法①正确;‎ 由于,故幂函数在区间上单调递减,结合可得,说法②正确;‎ 由于,故,‎ 对数函数单调递减,故,说法③错误.‎ 综上可得:所有的正确结论的序号是①②.‎ 本题选择B选项.‎ 练习4.已知函数在区间内有唯一零点,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意在区间内有唯一实数解 令 ‎ ‎,解得, ∴函数在区间[1,e]上单调递增, ‎ 则,则的取值范围为.‎ 故选A.‎ ‎(三)作差法比较大小 例3.已知,,,则与的大小关系为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,‎ 所以,故选D.‎ 练习1.设,,,,则的大小关系是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为, 所以 ‎ 可得 因为,所以递减,‎ 所以 ‎ 可得,故选D.‎ 练习2.设且,则与的大小关系为(  )‎ A. B. C.与值有关,大小不定 D.以上都不正确 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,‎ ‎, ‎ 当时, ,;‎ 当时,;‎ 当时,,,‎ 综上可得,故选A.‎ 练习3.若则下列式子:(1),(2),‎ ‎(3),(4).其中恒成立的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】A ‎【解析】(1) =,当a=1,b=-2.时不等式不成立;‎ ‎(2) =当a=1,b=-1时,不等式不成立;‎ ‎(3)恒成立.选项正确.‎ ‎(4),故不正确.‎ 故答案为:A.‎ ‎(四)作商法比较大小 ‎15.设<<<1,则(  )‎ A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa ‎【答案】C ‎【解析】∵<<<1,‎ ‎∴0<a<b<1.∴=aa-b>1.∴ab<aa.‎ ‎∵=,,0<<1,a>0,∴<1.‎ ‎∴aa<ba.∴ab<aa<ba.‎ 故答案为:C ‎【点睛】(1)本题主要考查比较法和指数函数的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是:作差→变形(配方、因式分解、通分等)→与零比→下结论;比商的一般步骤是:作商→变形(配方、因式分解、通分等)→与1比→下结论.如果两个数都是正数,一般用比商,其它一般用比差.‎ 练习1.若a>0,b>0,则p=与q=ab·ba的大小关系是(  ) ‎ A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q ‎【答案】A ‎【解析】,‎ 若则,;‎ 若则,∴‎ 若则,∴p≥q,故选:A 练习2.设, , ,则三个数从大到小的排列顺序为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得.‎ ‎∵,∴.‎ 又,∴.‎ ‎∴.选B.‎ ‎(五)利用不等式性质证明不等式 例5.已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”.‎ ‎(1)若是“一阶比增函数”,求实数a的取值范围。‎ ‎(2)若是“一阶比增函数”,求证:对任意,,总有;‎ ‎(3)若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:关于x的不等式有解.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)由题意得在是增函数.‎ 由一次函数性质知:当时,在()上是增函数,‎ ‎(2) 是“一阶比增函数”,即在上是增函数,又 ,有,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎(3)设,其中,因为是“一阶比增函数”,所以当时,.取,满足,记,由(II)知,‎ 同理,‎ 所以一定存在,使得,‎ 所以一定有解.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的应用以及新定义问题,属于难题. 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.‎ 练习1.已知数列满足=且= .‎ ‎(1)证明:1;‎ ‎(2)设数列的前n项和为,证明.‎ ‎【答案】(1)见解析; (2)见解析.‎ ‎【解析】(1)由题意得,,即,,‎ 由可得,‎ 由,得,故.‎ ‎(2)由题意得,所以①,‎ 由和得,,‎ 所以,因此②,‎ 由①②得,所以 练习2.选修4-5:不等式选讲 已知为任意实数.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求函数的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)1‎ ‎【解析】(1) ‎ ‎,‎ 因为,‎ 所以.‎ ‎(2) .‎ 即.‎ 点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因;对于需求最值的情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项来放缩求解.‎ ‎(六)利用不等式求范围 例6.已知函数f(x)=x2-ax,h(x)=-3x+2,其中a>1.设不等式f (1)+f(-1)≥2|x|的解集为A.‎ ‎(Ⅰ)求集合A;‎ ‎(Ⅱ)若对任意x1∈A,存在x2∈A,满足2f(x1)=h(x2),求a的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)A=[-1,1] (Ⅱ)(1,]‎ ‎【解析】(Ⅰ)f(1)+f(-1)≥2|x|可化为|x|≤1,解得-1≤x≤1,‎ ‎∴A=[-1,1]‎ 练习1.已知,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 解得 所以,‎ 因为,所以;‎ 因为,所以。‎ 两式相加得,故的取值范围是.‎ 练习2.设不等式的解集为.‎ ‎(Ⅰ)求集合;‎ ‎(Ⅱ)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)令,‎ 由得,‎ 解得.‎ ‎∴. ‎ ‎(Ⅱ)由不等式,的,‎ 令,‎ 要使,‎ 则,‎ 整理得,‎ ‎∴, ‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围.‎ 点睛:(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值.‎ ‎(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.‎ 练习3.已知函数的定义域为,其中为常数;‎ ‎(1)若,且是奇函数,求的值;学_科网 ‎(2)若, ,函数的最小值是,求的最大值;‎ ‎(3)若,在上存在个点,满足, ,‎ ‎,使得,‎ 求实数的取值范围;‎ ‎【答案】(1) (2) (3) ‎ ‎【解析】(1)因为函数为奇函数,根据奇函数定义可得可得对任意恒成立,变形可得对任意恒成立,可求;(2)将函数的解析式讨论去掉绝对值号,‎ ‎。两段函数的对称轴都为,因为。讨论 与-1的大小,可得两段二次函数在区间上的单调性,求得最小值。得最小值,求两段的取值范围,取较大的为最大值。(3)由(2)可知在上单调递增,在上单调递减,所以,由绝对值不等式可得,所以,整理得,解得为所求.‎ 试题解析:解:(1)∵是奇函数,∴对任意恒成立,‎ ‎∴,即对任意恒成立,∴;‎ ‎(2)‎ ‎,‎ ‎∵,∴,∴, ‎ ‎(3)∵,且在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴‎ 而 要使满足条件的点存在,必须且只需,即,解得为所求.‎ ‎【点睛】1、函数为奇函数,求解析式中字母的值:方法一,奇函数定义;方法二,定义域中特殊的自变量 , ;方法三,如定义域中含有0,则。2、解析式含绝对值的函数,求最值时,应讨论去掉绝对值号,转化为分段函数求最值。3、二次函数求最值,当对称轴不确定时,应讨论与定义域端点的大小,判断函数的单调性求最值。 ‎
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