等差数列及其前n项和知识点总结经典高考题解析

等差数列及其前n项和知识点总结经典高考题解析

等差数列及其前n项和 ‎【考纲说明】‎ ‎1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.‎ ‎2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3、体会等差数列与一次函数的关系.‎ ‎4、本部分在高考中占5-10分左右.‎ ‎【趣味链接】‎ ‎　 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。‎ ‎【知识梳理】‎ 一、等差数列的相关概念 ‎1、等差数列的概念 ‎ 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。‎ ‎2、等差中项 ‎ 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或 推广：‎ ‎3、等差数列通项公式 ‎ 若等差数列的首项是，公差是，则．‎ ‎ 推广：，从而。‎ ‎4、等差数列的前项和公式 ‎ 等差数列的前项和的公式：①；②．‎ ‎5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系 ‎( 数列的前n项的和为).‎ 二、等差数列的性质 ‎ 1、等差数列与函数的关系 ‎ 当公差时，‎ ‎ (1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为；‎ ‎ (2)前和是关于的二次函数且常数项为0。‎ ‎ 2、等差数列的增减性 ‎ 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，‎ ‎ 若公差，则为常数列。‎ ‎ 3、通项的关系 ‎ 当时,则有，‎ ‎ 特别地，当时，则有.‎ 注：‎ ‎ 4、常见的等差数列 ‎ （1）若、为等差数列，则都为等差数列。‎ ‎ （2）若{}是等差数列，则，…也成等差数列。‎ ‎ （3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。‎ ‎ 5、前n项和的性质 ‎ 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.‎ ‎①当项数为偶数时，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当项数为奇数时，则 ‎ ‎ ‎（其中是项数为的等差数列的中间项）‎ ‎6、求的最值（或求中正负分界项）‎ ‎（1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.‎ ‎（2）①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和 ‎ 即当，由可得达到最大值时的值.‎ ‎②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.‎ ‎ 即当，由可得达到最小值时的值.‎ 三、等差数列的判定与证明 ‎1、等差数列的判定方法：‎ ‎（1）定义法：若或(常数)是等差数列；‎ ‎（2）等差中项：数列是等差数列；‎ ‎（3）数列是等差数列（其中是常数）；‎ ‎（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.‎ ‎2、等差数列的证明方法：‎ 定义法：若或(常数)是等差数列．‎ ‎【经典例题】‎ ‎【例1】（2006全国）设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13等于（ ）‎ A.120 B‎.105 C.90 D.75‎ ‎【解析】B ‎【例2】(2008重庆)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ）‎ ‎ A.4 B‎.5 ‎ C.6 D.7‎ ‎【解析】C ‎【例3】（2006全国Ⅰ）设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】D ‎【例4】（2012四川）设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）‎ ‎ A.0 B‎.7 C.14 D.21‎ ‎【解析】D ‎【例5】（2009湖南）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )‎ ‎ A．13 B．‎35 C．49 D． 63 ‎ ‎【解析】C ‎【例6】（2009全国Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= . ‎ ‎【解析】24‎ ‎【例7】（2009辽宁理）等差数列的前项和为，且则 .‎ ‎【解析】‎ ‎【例8】（2011福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.‎ ‎ （I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.‎ ‎【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d 由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，an=1+（n-1）×（-2）=3-2n； （II）由（I）可知an=3-2n，所以Sn=n[1+(3−2n)]2=2n-n2， 进而由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又k∈N+，故k=7为所求．‎ ‎【例9】（2010山东）已知等差数列满足：，，的前项和为.‎ ‎ （Ⅰ）求及；‎ ‎ （Ⅱ）令（），求数列的前项和为.‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【例10】（2010浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数{an}的前n项和Sn，满足S2S6＋15＝0.‎ ‎（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1;‎ ‎（Ⅱ）求d的取值范围.‎ ‎【解析】因为SS+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8. 故d的取值范围为d≤-2 或d≥2.‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、（2011江西卷）设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则 ‎=（ ）‎ A.18 B‎.20 ‎ C.22 D.24‎ ‎2、（2006重庆）在等差数列中，若a4+a6=12，Sn是数列的前n项和，则S9的值为（ ）‎ A.48 B‎.54 ‎ C.60 D.66‎ ‎3、（2009福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则（ ）‎ A．1 B．‎-1 ‎ C．2 D．‎ ‎4、（2011上海）设数列的首项，则_____________. ‎ ‎5、(2008海南)已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = __________.‎ ‎6、（2012北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______.‎ ‎7、（2012浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎8、（2012北京理）已知是等差数列，，；也是等差数列，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和的公式；‎ ‎（2）数列与是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由.‎ ‎9、（2006北京）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.‎ ‎(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.‎ ‎【课后作业】‎ ‎1、(2007安徽)等差数列的前项和为，若（ ）‎ ‎ A．12 B．‎10 ‎ C.8 D．6‎ ‎2、(2008广东)记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公 ‎ 差d=（ ）‎ ‎ A．7 B. ‎6 ‎‎ C. 3 D. 2‎ ‎3、（2009全国）等差数列中，已知，，，则n为（ ）‎ A．48 B．‎49 C.50 D．51‎ ‎4、（2007四川）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）‎ A．9 B．‎10 C.11 D．12 ‎ ‎5、（2008福建）设Sn是等差数列的前n项和，若（ ）‎ A．1 B．－‎1 C．2 D．‎ ‎6、（2010北京）已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )‎ A．α1＋α101＞0　 B．α2＋α100＜‎0　‎‎ ‎C．α3＋α99＝0　 D．α51＝51 ‎ ‎7、（2010全国II理）如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则( )‎ ‎ A． B． C.++ D．=‎ ‎8、（2012北京理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）‎ ‎ A．13项 B．12项 C.11项 D．10项 ‎9、（2007全国Ⅱ）已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= . ‎ ‎10、（2006山东）设为等差数列的前n项和，＝14，，则＝　　　　.‎ ‎11、（2011全国Ⅰ）等差数列{}的前n项和记为Sn.已知 ‎（Ⅰ）求通项； （Ⅱ）若Sn=242，求n.‎ ‎12、(2008宁夏理)已知数列是一个等差数列，且，.‎ ‎（1）求的通项；（2）求前n项和的最大值.‎ ‎13、（2010全国）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求. ‎ ‎【参考答案】‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、B 2、B 3、A 4、153 5、15 6、 ，‎ ‎7、（1）由Sn=，得：当n=1时，；‎ 当n2时，，n∈N﹡.‎ 由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.‎ ‎（2）由（1）知，n∈N﹡‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，n∈N﹡.‎ ‎8、解：（1）设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2 由a3=a1+2d1得 ‎ 所以，‎ 所以a2=10, a1+a2+a3=30‎ 依题意，得解得，‎ 所以bn=3+3(n-1)=3n ‎（2）设an=bm,则8n-6=3m, 既①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需 ‎ m+2=8k,,所以m=8k-2 ，②‎ ‎ ②代入①得，n=3k, ,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切都成立。‎ 所以，数列与有无数个相同的项。‎ 令24k-6<100,得又，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。‎ ‎9.解：（Ⅰ）由S14=98得‎2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,‎ 故解得d=－2,a1=20.‎ 因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…‎ ‎（Ⅱ）由 得 即 由①+②得－7d＜11。即d＞－.‎ 由①+③得13d≤－1 即d≤－于是－＜d≤－‎ 又d∈Z, 故d=－1将④代入①②得10＜a1≤12.‎ ‎ 又a1∈Z,故a1=11或a1=12.‎ 所以，所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…‎ ‎【课后作业】‎ ‎1、C 2、C 3、C 4、B 5、A 6、C 7、B 8、A 9、 10、 54 ‎ ‎11、解：（Ⅰ）由得方程组 ‎ ……4分 解得 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由得方程 ‎ ……10分 解得 ‎ ‎12、解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，得，‎ 解出，．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）．‎ 所以时，取到最大值．‎ ‎13、解：设等差数列的公差为，则 ‎ ‎ ∵ ，，‎ ‎ ∴ 即 ‎ ‎ 解得 ，. ∴ ，‎ ‎ ∵ ，∴ 数列是等差数列，其首项为，公差为，‎ ‎ ∴ . ‎