北京市中关村中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

北京市中关村中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

中关村中学2020-2021高二上学期期中 第一部分 ‎（选择题共52分）‎ 一． 选择题共13小题，每小题4分，共52分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。‎ ‎1.已知全集，集合,，则=（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数在复平面上对应的点是，则（ ）‎ ‎ A.是实数 B.是纯虚数 C.是实数 D.是纯虚数 ‎3.已知向量，,且，那么等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D.5‎ ‎4.，，,则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列函数中，在定义域内满足的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在下列四个命题中，正确的是（ ）‎ ‎ A.平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率 ‎ B.右四条直线中斜率最大的直线是 ‎ C.直线的斜率是2 ‎ ‎ D.经过和的直线的斜率是1，则 ‎7.如图在长方体中，设,，则等于（ ）‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.‎ ‎8.如图，在三菱锥中，两两垂直，且,点是中的中点，若直线与底线所成角为45度，则三菱锥的体积为（ ）‎ ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎9.已知复数的共轭复数，是虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在空间中，已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“直线与平面相交”是“”的（ ）‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点在侧面内，若，则△的面积的最小值为（ ）‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎12.设空间直角坐标系中有四个点，其坐标分别为 ‎，下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A.存在唯一的一个不过点的平面，使得点和点到平面的距离相等.‎ ‎ B.存在唯一的一个过点的平面，使得.‎ ‎ C.存在唯一的一个不过的平面，使得.‎ ‎ D.存在唯一的一个过点的平面使得直线与的夹角正弦值为.‎ ‎13.如图，在矩形中，，点在边上，且=1.如图，△沿直线向上折起成△.记二面角的平面角为，当时，以下三个结论中正确的序号是（ ）‎ ‎ ①存在某个位置，使；‎ ‎ ②存在某个位置，使；‎ ‎ ③任意两个位置，直线和直线所成的角都不相等.‎ ‎ A.①③ B.①② C.① D.②③‎ 二、填空题 ‎14.直线的倾斜角是_________，在轴上的截距为_________.‎ ‎15.已知直线经过点，且直线的方向向量为，则直线的斜率为_________.直线的方程为_________.‎ ‎16.已知向量，，，且，则=_________，=_________.‎ ‎17.已知平面的一个法向量是，且平面经过点，若点时平面上任意一点，则点的左边一定满足的方程是_________.‎ ‎18.函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则下列函数的结论：‎ ‎ ①一条对称轴方程为②点时对称中心 ‎ ③在区间上为单调增函数④函数在区间上的最小值为 其中所有正确的结论为______.（写出正确结论的序号）‎ ‎19.已知 ‎（1）________;‎ ‎（2）若实数，则在区间上的最大值的取值范围是_______.‎ 三．解答题共5小题，共68分 ‎20.（本小题13分）在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.‎ 三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎21（本小题13分）已知函数.‎ （1） 求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的单调递增区间 ‎22（本小题共14分）‎ 如图，在直三棱柱中,，，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线和所成角的大小； ‎ ‎（3）求直线和平面所成角的大小.‎ ‎23（本小题共14分）‎ 如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，，，，是的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离； ‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.‎ ‎24（本小题共14分）‎ 已知，，给定个整点，其中，，.‎ ‎（1）当时，从上面的个整点中任取两个不同的整点，，求的所有可能值；‎ ‎（2）从上面个整点中任取个不同的整点，.‎ ‎（ⅰ）证明：存在互不相同的四个整点，，，.满足，，；‎ ‎（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点，，，.满足，.‎