2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7

2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7

‎7.1.2　‎弧度制 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义．‎ ‎2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)‎ ‎3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象的核心素养．‎ 在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫做什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？‎ ‎1．弧度制的概念 ‎(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．‎ ‎(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．‎ 思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？‎ ‎[提示]　“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．‎ ‎2．角度制与弧度制的换算 ‎(1)角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 ‎360°＝2π rad ‎2π rad＝360°‎ ‎180°＝π rad π rad＝180°‎ ‎1°＝rad≈0．017 45 rad ‎1 rad＝度≈57．30°‎ ‎(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 角度 ‎0°‎ ‎1°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ 弧度 ‎0‎ - 8 -‎ 角度 ‎120°‎ ‎135°‎ ‎150°‎ ‎180°‎ ‎270°‎ ‎360°‎ 弧度 π ‎2π ‎(3)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．‎ 思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？‎ ‎[提示]　利用1°＝rad≈0．017 45 rad和1 rad＝°≈57．30°进行弧度与角度的换算．‎ ‎3．扇形的弧长公式及面积公式 ‎(1)弧度制下的弧长公式：‎ 如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r．特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|．‎ ‎(2)扇形面积公式：‎ 在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr．‎ ‎4．引入弧度制的意义 角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． (　　)‎ ‎(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． (　　)‎ ‎(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．将下列弧度与角度互化．‎ - 8 -‎ ‎(1)－＝　　　　；‎ ‎(2)2 rad≈　　　　；‎ ‎(3)72°＝　　　　；‎ ‎(4)－300°＝　　　　．‎ ‎(1)－40°　(2)114．6°　(3) rad　(4)－ rad ‎[(1)－ rad＝－×180°＝－40°．‎ ‎(2)2 rad＝2×≈114．6°．‎ ‎(3)72°＝72× rad＝ rad．‎ ‎(4)－300°＝－300× rad＝－ rad．]‎ ‎3．(一题两空)半径为1，圆心角为的扇形的弧长为　　　　 ，面积为　　　　．‎ 　　[∵α＝，r＝1，∴弧长l＝α·r＝，‎ 面积＝lr＝××1＝．]‎ 角度制与弧度制的互化 ‎【例1】　把下列弧度化成角度或角度化成弧度：‎ ‎(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′．‎ ‎[思路点拨]　利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．‎ ‎[解]　(1)－450°＝－450× rad＝－ rad．‎ ‎(2) rad＝×＝18°．‎ ‎(3)－ rad＝－×＝－240°．‎ ‎(4)112°30′＝112．5°＝112．5× rad＝ rad．‎ 角度制与弧度制换算的要点 - 8 -‎ 提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．‎ ‎1．将下列角度与弧度进行互化．‎ ‎(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－．‎ ‎[解]　(1)20°＝ rad＝ rad．‎ ‎(2)－15°＝－ rad＝－ rad．‎ ‎(3) rad＝×＝105°．‎ ‎(4)－ rad＝－×＝－396°．‎ 用弧度制表示角的集合 ‎【例2】　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．‎ ‎[思路点拨]　先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．‎ ‎[解]　用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，‎ ‎(1)．‎ ‎(2)．‎ ‎(3)．‎ 表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°(k∈Z)”中，α必须是用角度制表示的角.‎ - 8 -‎ 提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.‎ ‎2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．‎ ‎(1)　　　　(2)‎ ‎[解]　(1)由题图(1)，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以阴影部分内的角的集合为 ．‎ ‎(2)由题图(2)，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．‎ 不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，‎ 则M1＝，M2＝．‎ 所以阴影部分内的角的集合为 M1∪M2＝．‎ 扇形的弧长及面积问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？‎ ‎[提示]　公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．‎ ‎2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．‎ ‎[提示]　已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝lr；又如已知S，α，可利用S＝|α|r2，求r，进而求l＝|α|r．‎ ‎【例3】　一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？‎ - 8 -‎ ‎[思路点拨]　 ‎ ‎[解]　设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，‎ 依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝．‎ 由l＝20－2r>0及r>0得02π rad(舍去)．‎ 当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝ rad．‎ 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.‎ - 8 -‎ 提醒：(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.‎ (2)看清角的度量制，选用相应的公式.‎ (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.‎ ‎3．地球赤道的半径约是6 ‎370 km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是　　　　km(精确到0．‎01 km)．‎ ‎1.85　[因为1′＝＝×，所以l＝α·R＝××6 370≈1.85(km)．]‎ ‎1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．‎ ‎2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式 ‎(1)π＝180°；(2)1°＝ rad　(3)1 rad＝．‎ ‎3．本节课要重点掌握以下规律方法 ‎(1)弧度制的概念辨析；‎ ‎(2)角度与弧度的换算；‎ ‎(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用．‎ ‎4．本节课的易错点 表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．‎ ‎1．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)‎ A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－600°‎ C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15°‎ ABD　[对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－ - 8 -‎ ‎×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°．故ABD正确．]‎ ‎2．若扇形的周长为‎4 cm，面积为‎1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是　　　　．‎ ‎2　[设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm．‎ 由题意得解得 所以α＝＝2．‎ 因此扇形的圆心角的弧度数是2．]‎ ‎3．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为　　　　 ．‎ 　[若角α的终边落在x轴的上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z．]‎ ‎4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－．‎ ‎(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；‎ ‎(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．‎ ‎[解]　(1)∵180°＝π rad，‎ ‎∴α1＝－570°＝－570×＝－ ‎＝－2×2π＋，‎ α2＝750°＝750×＝＝2×2π＋．‎ ‎∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．‎ ‎(2)β1＝＝×＝108°，‎ 设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，‎ 则由－720°≤θ＜0°，‎ 即－720°≤108°＋k·360°＜0°，‎ 得k＝－2，或k＝－1．‎ 故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°．‎ β2＝－＝－60°，‎ 设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，‎ 则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，得k＝－1，或k＝0．‎ 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°．‎ - 8 -‎