高考数学复习三角恒等变换

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高考数学复习三角恒等变换

三角恒等变换 ‎【学法导航】高考资源网 ‎1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择,要认真分析所给式子的整体结构,分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础,是恰当寻找解题思维起点的关键所在高考资源网 ‎(1)化简,要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求出值来;‎ ‎(2)求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围高考资源网 ‎(3)证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行变换使其左右相等 ‎2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路,从而清晰地“看出”它们之间的联系,它们的变化形式.如, 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式;三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。‎ ‎3.三角函数恒等变形的基本策。高考资源网 ‎①常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。‎ ‎②项的分拆与角的配凑。如分拆项:;‎ 配凑角(常用角变换):、、‎ ‎、、等.‎ ‎③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次高考资源网 ‎④化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。高考资源网 ‎⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。高考资源网 ‎4. 三角恒等变换过程与方法,实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换,‎ 即(1)找差异:角、名、形的差别;(2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之间可以用哪个公式联系起来;(3)变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式,如升、降幂公式, cosα= cosβcos(α-β)- sinβsin(α-β) ,1= sin2α+cos2α,==tan(450+300)等。高考资源网 ‎【专题综合】高考资源网 例1. (05天津)已知,求及.‎ 解:解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得高考资源网 ‎,即 ①‎ 由题设条件,应用二倍角余弦公式得高考资源网 ‎ ‎ 故 ②‎ 由①和②式得,高考资源网 因此,,由两角和的正切公式高考资源网 高考资源网 解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得,‎ 解得  ,即高考资源网 由可得高考资源网 由于,且,故a在第二象限于是,‎ 从而 以下同解法一高考资源网 小结:1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系(均含)进行转换得到.高考资源网 ‎2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形.‎ 例2. 已知为锐角的三个内角,两向量,,若与是共线向量. 高考资源网 ‎ (1)求的大小;‎ ‎ (2)求函数取最大值时,的大小.‎ 解:(1)高考资源网 ‎, 高考资源网 ‎ ‎(2)‎ 高考资源网 ‎.高考资源网 小结:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意高考资源网 例3. 设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.‎ ‎(1)求α的取值范围; (2)求tan(α+β)的值. 高考资源网 解: (1)∵sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+), ‎ ‎∴方程化为sin(x+)=-.高考资源网 ‎∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解, 高考资源网 ‎∴sin(x+)≠sin= . 高考资源网 又sin(x+)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), 高考资源网 ‎∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2且a≠-. 高考资源网 ‎∴ a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2). 高考资源网 ‎ (2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα+cosα+a=0 ①. 高考资源网 sinβ+cosβ+a=0 ②. ‎ ‎①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0. 高考资源网 ‎∴ 2sincos-2sin高考资源网 sin=0, 又sin≠0, 高考资源网 ‎∴tan=.‎ ‎∴tan(α+β)==.高考资源网 小结:要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记(0, 2π)这一条件.‎ 例4.中,已知内角,边.设内角,面积为.‎ ‎(1)若,求边的长;高考资源网 ‎(2)求的最大值. 高考资源网 解:(1)由正弦定理得: ‎ ‎(2)的内角和 , ‎ ‎ 高考资源网 ‎ ‎= ‎ ‎ 高考资源网 ‎ ‎ ,‎ 当即时,取得最大值.高考资源网 小结:本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形(正、余弦定理等)综合,考查学生灵活运用知识的能力高考资源网 例5.已知函数在区间上单调递减,试求实数的取值范围.‎ 解:已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式.‎ 任取,且,则不等式恒成立,即恒成立.化简得 由可知:,所以高考资源网 上式恒成立的条件为:.高考资源网 由于高考资源网 高考资源网 且当时,,所以 ,高考资源网 从而 ,高考资源网 有 ,高考资源网 故 的取值范围为.高考资源网 ‎【专题突破】高考资源网 一、选择题高考资源网 ‎1.若,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.=( ) ‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎3.函数是( )‎ A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数高考资源网 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 ‎4.求值( )A. B. C. D.‎ ‎5.已知,,则( )高考资源网 A. B. C. D.‎ ‎6.函数的最小正周期是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在△ABC中,,则△ABC为( )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定高考资源网 ‎8.设,,,则大小关系( )‎ A. B. 高考资源网 C. D.‎ ‎9.函数是( )‎ A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数高考资源网 ‎10.已知,则的值为( )‎ A. B. C. D.高考资源网 ‎11、已知,,且,,则的值是 ( )‎ ‎ A、 B、 C、 D.高考资源网 ‎12、已知不等式对于任意的恒成立,则实数的取值范围是 ( )高考资源网 A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题 ‎13、已知,,则 ‎ ‎14、函数的最小值是 ‎ ‎15、函数图像的对称中心是(写出通式) ‎ ‎16、关于函数,下列命题:‎ ‎①、若存在,有时,成立;高考资源网 ‎②、在区间上是单调递增;‎ ‎③、函数的图像关于点成中心对称图像;‎ ‎④、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合.其中正确的命题序号 (注:把你认为正确的序号都填上)‎ 三、解答题 ‎17.求证:‎ ‎18. 求值:高考资源网 ‎19.已知函数.‎ ‎ (1)若,,求的值;www.ks5u.com ‎ (2)求函数在上最大值和最小值.‎ ‎20. 已知 图像上相邻的两个对称轴的距离是高考资源网 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求函数上的最大值和最小值.‎ ‎21. 设向量,,,若,‎ 求:(1)的值; (2)的值.高考资源网 ‎22. 设函数学 ‎(1)求函数的最小正周期;高考资源网 ‎(2)若,是否存在实数m,使函数的值域恰为?若存在,请求高考资源网 ‎ 出m的取值;若不存在,请说明理由.高考资源网 专题突破参考答案 一、选择题 ‎1.C 2. C 3.C 4.C ‎ ‎5.D ,‎ ‎6.D 高考资源网 ‎7.C 为钝角 ‎8.D ,,‎ ‎9.C ,为奇函数,高考资源网 ‎10.B ‎ ‎ 高考资源网 ‎11.D ‎12.A高考资源网 二、填空题 ‎13、 14、高考资源网 ‎15、 16、①③‎ 三、解答题 ‎17. 解:证明:左边=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=右边,原题得证.‎ ‎18.解:解:原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 高考资源网 ‎19. 解:(1)‎ 由题意知: ,即.高考资源网 ‎∵,即 , 高考资源网 ‎∴,.‎ ‎(2)∵ , 即 ,高考资源网 ‎∴,.高考资源网 ‎20. 解:……(2分)‎ 高考资源网 高考资源网 ‎(1)因为函数的图象上相邻的两个对称轴间的距离是 所以函数的最小正周期T=,则 ‎(2)高考资源网 ‎,高考资源网 则当时,取得最小值-1;高考资源网 当取得最大值 ‎ ‎21. 解:(1)依题意,‎ ‎ ,又.‎ ‎(2)由于,则 ‎ 结合,可得高考资源网 则 .‎ ‎22. 解: (1)‎ ‎ 高考资源网 ‎∴ 函数的最小正周期 ‎(2)假设存在实数m符合题意, ,‎ ‎∴ 高考资源网 ‎∴ 高考资源网 又∵,解得 ‎ ‎∴存在实数,使函数的值域恰为 高考资源网 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com
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