2011中考数学真题解析72三角形内角和直角三角形两锐角互余含答案

2011中考数学真题解析72三角形内角和直角三角形两锐角互余含答案

‎(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 三角形内角和，直角三角形两锐角互余 一、选择题 ‎1. （2011江苏苏州，2，3分）△ABC的内角和为（　　）‎ A、180° B、360° C、540° D、720°‎ 考点：三角形内角和定理．‎ 分析：根据三角形的内角和定理直接得出答案．‎ 解答：解：三角形的内角和定理直接得出：△ABC的内角和为180°． 故选A．‎ 点评：此题主要考查了三角形的内角和定理，此题比较简单注意正确记忆三角形内角和定理．‎ ‎2. （2011•台湾7，4分）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（　　）‎ ‎ A、36 B、72 C、108 D、144‎ 考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．‎ 解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，‎ ‎∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，‎ ‎∵2（∠A+∠C）=3∠B，‎ ‎∴∠B=72°，‎ ‎∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．‎ ‎3. （2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）‎ ‎ A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6 C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°‎ 考点：三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。‎ 分析：根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，即可得出答案．‎ 解答：解：∵四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角， ‎ ‎∵∠1＝∠AOB，‎ ‎∵∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，‎ ‎∴∠1＋∠4＋∠6＝180°．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．‎ ‎4. （2011新疆建设兵团，3，5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．‎ 则∠C等于（　　）‎ ‎ A、40° B、65° C、75° D、115°‎ ‎ 考点：平行线的性质．‎ ‎ 分析：由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．‎ ‎ 解答：解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．‎ ‎∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C＝∠B＝65°．‎ 故选B．‎ ‎ 点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．‎ ‎5. （2010重庆，4，4分）如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于( )‎ A B D C ‎4题图 A．60° B．50° C． 45° D． 40°‎ 考点：平行线的性质 分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．‎ 解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．‎ ‎6.（2011•河池）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，∠A=30°，∠COD=105°．则∠D的大小是（　　）‎ ‎ A、30° B、45° C、65° D、75°‎ 考点：平行线的性质；三角形内角和定理。‎ 分析：首先根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠A=30°，然后由△COD的内角和为180°，求出∠D的大小．‎ 解答：解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C=∠A=30°．‎ 在△COD中，∵∠C+∠COD+∠D=180°，‎ ‎∴∠D=180°﹣30°﹣105°=45°．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，属于基础题型，比较简单．‎ ‎7. （2011，台湾省，20,5分）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（　　）‎ ‎ A、37 B、57 C、77 D、97‎ 考点：三角形内角和定理。‎ 专题：推理填空题。‎ 分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答；‎ 解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，‎ ‎∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，‎ 又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：‎ ‎①∠C＞90°，‎ ‎∴∠B＜153°﹣90°=63°，‎ ‎∴选项A、B合理；‎ ‎②∠B＞90°，‎ ‎∴选项D合理，‎ ‎∴∠B不可能为77°．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．‎ ‎8. （2011年山东省东营市，5，3分）一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）‎ A、75 B、60° C、65° D、55°‎ 考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．‎ 分析：因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．‎ 解答： 解：如图，∵∠1=45°，∠2=60°， ∴∠α=180°-45°-60°=75°． 故选A．‎ 点评：本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．‎ ‎9. （2011山东菏泽，3，4分）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 考点：三角形的外角性质；平行线的性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．‎ 解答：‎ 解：如图，根据两直线平行，内错角相等，∴∠1=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠α=∠1+30°=75°．故选D．‎ 点评：本题利用了两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．‎ ‎10. （2011四川遂宁，7，4分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积是（　　）‎ ‎ A、10 B、20 C、6+4 D、12+8 考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。‎ 专题：计算题。‎ 分析：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，证平行四边形AEFD和Rt△AEB≌Rt△DFC，推出AD=EF=3，AE=DF，BE=CF，求出∠BAE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE、CF，根据勾股定理求出AE，即可求出答案．‎ 解答：解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，‎ ‎∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎∴AD=EF=3，AE=DF，‎ ‎∵∠B=60°，∠AEB=90°，‎ ‎∴∠BAE=30°，‎ ‎∴BE=AB=2，‎ ‎∵∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，AB=CD，‎ ‎∴Rt△AEB≌Rt△DFC，‎ ‎∴BE=CF=2， BC=2+2+3=7，‎ 由勾股定理得：AE==2，‎ ‎∴梯形的面积=×（AD+BC）×AE=×（3+7）×2=10，故选A．‎ 点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出AE和BC的长是解此题的关键．‎ ‎11. （2011湖南怀化,2,3分）如图所示，∠A ‎，∠1，∠2的大小关系是（　　）‎ ‎ A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A ‎ C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1‎ 考点：三角形的外角性质。‎ 专题：探究型。‎ 分析：先根据∠1是△ACD的外角，故∠1＞∠A，再根据∠2是△CDE的外角，故∠2＞∠1，进而可得出结论．‎ 解答：解：∵∠1是△ACD的外角，‎ ‎∴∠1＞∠A；‎ ‎∵∠2是△CDE的外角，‎ ‎∴∠2＞∠1，‎ ‎∴∠2＞∠1＞∠A．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．‎ ‎12. （2011浙江宁波，8，3）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为（　　）‎ ‎ ‎ ‎ A、57° B、60° C、63° D、123°‎ 考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：根据三角形内角和为180°，以及对顶角相等，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠EAB的度数．‎ 解答：解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C+∠E，‎ ‎∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠A＝57°，‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了三角形内角和为180°，对顶角相等，以及两直线平行同旁内角互补，难度适中．‎ ‎13. （2011浙江义乌，8，3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于（　　）‎ ‎ A．60° B．25° C．35° D．45°‎ 考点：三角形内角和定理；平行线的性质。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：由已知可以推出∠A的同旁内角的度数为120°，根据三角形内角和定理得∠E＝35°‎ 解答：解：设AE和CD相交与O点 ‎∵AB∥CD，∠A＝60°‎ ‎∴∠AOD＝120°‎ ‎∴∠COE＝120°‎ ‎∵∠C＝25°‎ ‎∴∠E＝35°‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查平行线的性质、三角新股内角和定理，关键看出∠A的同旁内角的对顶角是三角形的一个内角 ‎14. （2011年四川省绵阳市，5，3分）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　）‎ A、75° B、95° C、105° D、120°‎ 考点：三角形的外角性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：求出∠ACO的度数，根据三角形的外角性质得到∠AOB=∠A+∠ACO，代入即可．‎ 解答：解：∠ACO=45°-30°=15°， ∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°． 故选C．‎ 点评：本题主要考查对三角形的外角性质的理解和掌握，能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．‎ 二、填空题 ‎1. （2011•江苏徐州，13，3）若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于　 　．‎ 考点：直角三角形的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：直角三角形．两个锐角互为余角，故一个锐角是20°，则它的另一个锐角的大小是90°﹣20°=70°．‎ 解答：解：∵一个直角三角形的一个锐角是20°，‎ ‎∴它的另一个锐角的大小为90°﹣20°=70°．‎ 故答案为：70°．‎ 点评：此题考查的是直角三角形的性质，两锐角互余．‎ ‎2. 如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，那么∠A= ‎ ‎54°．‎ 考点：平行线的性质；三角形内角和定理．‎ 专题：几何图形问题；数形结合．‎ 分析：由∠ACB=90°，∠ECD=36°，求得∠ACE的度数，又由CE∥AB，即可求得∠A的度数．‎ 解答：解：∵∠ECD=36°，∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-36°=54°， ∵CE∥AB， ∴∠A=∠ACE=54°． 故答案为：54°．‎ 点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．‎ ‎3. （2011四川广安，12，3分）如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _________‎ 考点：平行线，垂线 专题：平行线与相交线 分析：因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．‎ 解答：32°‎ 点评：结合已知条件分析图形，由图形之间的位置关系可得数量关系，如由平行线得到相等的角，由垂直得到直角三角形，从而利用直角三角形的两个锐角互余的性质求解．‎ ‎4. （2011新疆乌鲁木齐，12，4）如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B＝30°，∠D＝60°．则∠BOD＝　90　度．‎ 考点：平行线的性质；三角形内角和定理。‎ 分析：由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数，又由∠B＝30°，根据三角形的内角和等于180°，即可求得∠BOD的度数．‎ 解答：解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝60°，∵∠B＝30°，‎ ‎∴∠BOD＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－60°＝90°．‎ 故答案为：90．‎ 点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．注意两直线平行，内错角相等．‎ ‎5. （2011重庆市，13，4分）如图，在△ABC中，∠A=80°,点D是BC延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B= .‎ 考点：三角形的外角性质．‎ 分析：根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可得出∠B的度数．‎ 答案：解：∵∠ACD=∠A+∠B，∠A=80°，∠ACD=150°， ∴∠B=70°． 故答案为：70°．‎ 点评：本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的内角和，难度适中．‎ ‎6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 50°．‎ 考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．‎ 分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．‎ 解答：解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA，PM=PF， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA， ∴∠FAP=∠PAC=50°． 故答案为：50°．‎ 点评：此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．‎ ‎7. （2011浙江舟山，14，4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝　 　度．‎ 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠BCD根据三角形的外角性质即可求出答案．‎ 解答：解：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠ACB，‎ ‎∵∠A＝40°，‎ ‎∴∠B＝∠ACB＝（180°－∠A）＝70°，‎ ‎∴∠BCD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°，‎ 故答案为：110．‎ 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能求出∠B的度数是解此题的关键．‎ ‎8. （2011浙江嘉兴，14，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD=　110　度．‎ 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．‎ 解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=70°，‎ ‎∴∠BCD=∠A+∠B=40°+70°=110°，故答案为：110．‎ 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能求出∠B的度数是解此题的关键．‎ ‎9. （2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 .‎ 考点：平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，根据平行线的性质得到∠HCB=∠B=60°，根据三角形的内角和定理求出∠FEB=∠CEH=30°，根据勾股定理求出BF、CH、EF、EH的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．‎ 解答：解：∵平行四边形ABCD，‎ ‎∴AB=CD=3，AD=BC=4，‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴EH⊥DC，∠BFE=90°，‎ ‎∵∠ABC=60°，‎ ‎∴∠HCB=∠B=60°，‎ ‎∴∠FEB=∠CEH=180°﹣∠B﹣∠BFE=30°，‎ ‎∵E为BC的中点，‎ ‎∴BE=CE=2，‎ ‎∴CH=BF=1，‎ 由勾股定理得：EF=EH= ‎∴⊿DFH面积=FH×DH=4,所以△DEF的面积是2．‎ 点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎10.（2010河南，8，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为　72°　．‎ 考点：等腰三角形的性质 分析：由AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，根据三角形内角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度．‎ 解答：解：∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°﹣36°）÷2=72°，∠DCB=36°．‎ ‎∴∠BDC=72°．故答案为：72°．‎ 点评：本题考查了等腰三角形的性质，本题根据三角形内角和等于180度，在△CDB中从而求得∠BDC的角度．‎ ‎11. （2010福建泉州，12，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=　100°　．‎ 考点等腰三角形的性质；三角形内角和定理 分析由AB=AC，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，再利用三角形的内角和为180°即可求出∠A．‎ 解答解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°．故答案为：100°．‎ 点评本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等；也考查了三角形的内角和定理．‎ 三、解答题 ‎1. （2011•湘西州）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．‎ ‎（1）求∠BAC的度数．‎ ‎（2）若AC=2，求AD的长．‎ 考点：勾股定理。‎ 分析：（1）根据三角形内角和定理，即可推出∠BAC的度数；‎ ‎（2）由题意可知AD=DC，根据勾股定理，即可推出AD的长度．‎ 解答：解：（1）∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°；‎ ‎（2）∵AD⊥BC，‎ ‎∴△ADC是直角三角形，‎ ‎∵∠C=45°，‎ ‎∴∠DAC=45°，‎ ‎∴AD=DC，‎ ‎∵AC=2，‎ ‎∴AD=．‎ 点评：本题主要考察勾股定理、三角形内角和定理，关键在于推出AD=DC ‎2. （2011，四川乐山，18,9分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．‎ 考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．‎ 解答：解：∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴∠DAE=∠B，‎ ‎∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，‎ ‎∴∠DAE=（90°﹣∠B）=∠B，‎ ‎∴3∠B=90°，‎ ‎∴∠B=30°．‎ 答：若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．‎ 点评：此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单，适合学生的训练．‎ ‎3. （2011浙江绍兴，23，12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．‎ 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．‎ 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：‎ ‎（1）特殊情况•探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．‎ ‎（2）特例启发，解答題目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：‎ 如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）‎ ‎（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质。‎ 专题：计算题；证明题；分类讨论。‎ 分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；‎ ‎（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；‎ ‎（3）分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出CD=3，二是在BC上求出CD=1，即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：（1）故答案为：=．‎ ‎（2）故答案为：=．‎ 证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，‎ ‎∴AE=AF=EF，‎ ‎∴AB﹣AE=AC﹣AF，‎ 即BE=CF，‎ ‎∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，‎ ‎∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，‎ ‎∵ED=EC，‎ ‎∴∠EDB=∠ECB，‎ ‎∴∠BED=∠FCE，‎ ‎∴△DBE≌△EFC，‎ ‎∴DB=EF，‎ ‎∴AE=BD．‎ ‎（3）答：CD的长是1或3．‎ 点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．‎ ‎4. （2011•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．‎ 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：‎ ‎∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ‎∴ ‎∴ 又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A ‎∴ ‎∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）‎ ‎= 探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．‎ 探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）‎ 结论：　∠BOC=90°﹣∠A　．‎ 考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理。‎ 专题：常规题型。‎ 分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；‎ ‎（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．‎ 解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，‎ 理由如下：‎ ‎∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，‎ ‎∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，‎ 又∵∠ACD是△ABC的一外角，‎ ‎∴∠ACD=∠A+∠ABC，‎ ‎∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，‎ ‎∵∠2是△BOC的一外角，‎ ‎∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；‎ ‎（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），‎ ‎∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，‎ ‎=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），‎ ‎=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），‎ 结论∠BOC=90°﹣∠A．‎ 点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．‎ ‎ ‎