高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
明目标、知重点
1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
2．会求某闭区间上函数的最值．
1．函数 f(x)在闭区间 a，b]上的最值
函数 f(x)在闭区间 a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在 a，b]上一定能够取得
最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
2．求函数 y＝f(x)在 a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
3．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间 I 上只有一
个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值．
4．极值与最值的意义：
(1)最值是在区间 a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；
(2)极值是在区间 a，b]上的某一个数值 x0 附近相比较最大(小)的值．
情境导学]
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们
往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？
这就是本节我们要研究的问题．
探究点一 求函数的最值
思考 1 如图，观察区间 a，b]上函数 y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数 y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数 y＝f(x)的极大值．
思考 2 观察思考 1 的函数 y＝f(x)，你能找出函数 f(x)在区间 a，b]上的最大值、最小值吗？
若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
答 函数 y＝f(x)在区间 a，b]上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3)．若区间改为(a，b)，则
f(x)有最小值 f(x3)，无最大值．
小结 一般地，如果在区间 a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有
最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．
思考 3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点
附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，
最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最
值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．
小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：
1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．
2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．
3．比较大小，确定结论．
例 1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈－2,3]；
(2)f(x)＝1
2
x＋sin x，x∈0,2π]．
解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，
令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)，单调递减区间为(－ 2， 2)．
因为 f(－2)＝8，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
f(－ 2)＝8 2；
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
(2)f′(x)＝1
2
＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈0,2π]，
解得 x＝2
3
π或 x＝4
3
π.
计算得 f(0)＝0，f(2π)＝π，f(2
3
π)＝π
3
＋ 3
2
，
f(4
3
π)＝2
3
π－ 3
2
.
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化
的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间 a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．
跟踪训练 1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝1
3
x3－4x＋4，x∈0,3]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈2,5]．
解 (1)∵f(x)＝1
3
x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4.
令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2.
∵f(2)＝－4
3
，f(0)＝4，f(3)＝1，
∴函数 f(x)在 0,3]上的最大值为 4，最小值为－4
3
.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间 2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
即函数 f(x)在区间 2,5]上单调递减，
∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2；
x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)．
(1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)求 f(x)在区间 0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为 f′(1)＝3－2a＝3，
所以 a＝0.又当 a＝0 时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0.
(2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2a
3
.
当2a
3
≤0，即 a≤0 时，f(x)在 0,2]上单调递增，
从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当2a
3
≥2，即 a≥3 时，f(x)在 0,2]上单调递减，
从而 f(x)max＝f(0)＝0.
当 0<2a
3
<2，即 0
2.
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值
的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练 2 在本例中，区间 0,2]改为－1,0]结果如何？
解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2
3
a，
①当 2
3
a≥0，即 a≥0 时，f(x)在－1,0]上单调递增，从而 f(x)max＝f(0)＝0；
②当 2
3
a≤－1，即 a≤－3
2
时，f(x)在－1,0]上单调递减，
从而 f(x)max＝f(－1)＝－1－a；
③当－1<2
3
a<0，即－3
2
0 恒成立，只要 f(x)的最小值大于 0 即可．
如 f(x)<0 恒成立，只要 f(x)的最大值小于 0 即可．
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先
分离参数．
例 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
(1)若对任意的 x∈0,3]，都有 f(x)0；当 x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当 x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c.
又 f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
∵对任意的 x∈0,3]，有 f(x)9.
∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知 f(x)1.
故实数 m 的取值范围是(1，＋∞)
1．函数 y＝f(x)在 a，b]上( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在 a，b]上的最大值一定大于极小值．
2．函数 f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以 f(x)在(－1,1)
上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选 D.
3．函数 y＝x－sin x，x∈
π
2
，π
的最大值是( )
A．π－1 B.π
2
－1 C．π D．π＋1
答案 C
解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈
π
2
，π
时，y′>0，则函数在区间
π
2
，π
上为增函数，
所以 y 的最大值为 ymax＝π－sin π＝π，故选 C.
4．函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间－4,4]上的最大值为 10，则其最小值为________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由 f′(x)＝0 得 x＝3 或 x＝－1.
又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
呈重点、现规律]
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只
有一个极值，这个极值就是最值．
2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
一、基础过关
1．函数 f(x)＝－x2＋4x＋7，在 x∈3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当 x∈3,5]时，f′(x)<0，
故 f(x)在 3,5]上单调递减，
故 f(x)的最大值和最小值分别是 f(3)，f(5)．
2．函数 y＝xe－x，x∈0,4]的最大值是( )
A．0 B.1
e
C.4
e4 D.2
e2
答案 B
解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，
令 y′＝0，∴x＝1，
∴f(0)＝0，f(4)＝4
e4，f(1)＝e－1＝1
e
，∴f(1)为最大值，故选 B.
3．函数 y＝ln x
x
的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D.10
3
答案 A
解析 令 y′＝ln x′x－ln x·x′
x2 ＝1－ln x
x2 ＝0.
解得 x＝e.当 x>e 时，y′<0；当 x0.
y 极大值＝f(e)＝1
e
，在定义域内只有一个极值，
所以 ymax＝1
e
.
4．函数 y＝ 4x
x2＋1
在定义域内( )
A．有最大值 2，无最小值
B．无最大值，有最小值－2
C．有最大值 2，最小值－2
D．无最值
答案 C
解析 令 y′＝4x2＋1－4x·2x
x2＋12 ＝－4x2＋4
x2＋12 ＝0，
得 x＝±1.
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 ＋ 0 －
y 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
由上表可知 x＝－1 时，y 取极小值也是最小值－2；x＝1 时，y 取极大值也是最大值 2.
5．已知函数 y＝－x2－2x＋3 在区间 a,2]上的最大值为15
4
，则 a 等于( )
A．－3
2
B.1
2
C．－1
2
D.1
2
或－3
2
答案 C
解析 当 a≤－1 时，最大值为 4，不符合题意，当－10)．
y′＝2t－1
t
＝2t2－1
t
＝
2t＋ 2
2 t－ 2
2
t
.
当 0 2
2
时，y′>0，可知 y 在此区间内单调递增．
故当 t＝ 2
2
时，|MN|有最小值．
9．已知函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，则 a 的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln 2－2]
解析 函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，即方程 ex－2x＋a＝0 有实根，即函数 g(x)＝2x－ex，y
＝a 有交点，而 g′(x)＝2－ex，易知函数 g(x)＝2x－ex 在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，
＋∞)上单调递减，因而 g(x)＝2x－ex 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数 g(x)＝2x
－ex，y＝a 有交点，只需 a≤2ln 2－2 即可．
10．已知函数 f(x)＝2x3－6x2＋a 在－2,2]上有最小值－37，求 a 的值及 f(x)在－2,2]上的最
大值．
解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2，
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0
f(x) －40＋a 单调递增 极大值 a 单调递减 －8＋a
∴当 x＝－2 时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得 a＝3.
当 x＝0 时，f(x)的最大值为 3.
11．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，试求 a，b 的值；
(2)在(1)的条件下，当 x∈－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求 c 的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，
∴－1,3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根．
∴
－1＋3＝2
3
a
－1×3＝b
3
，∴
a＝3
b＝－9
.
(2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表：
x
(－∞，－
1)
－1
(－
1,3)
3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x)
单调递增
极大值 c＋5
单调
递减 极小值 c
－27
单调递增
而 f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当 x∈－2,6]时，f(x)的最大值为 c＋54，
要使 f(x)<2|c|恒成立，只要 c＋54<2|c|即可，
当 c≥0 时，c＋54<2c，∴c>54；
当 c<0 时，c＋54<－2c，∴c<－18.
∴参数 c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
12．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求 f(x)的单调递减区间；
(2)若 f(x)在区间－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．
解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令 f′(x)＜0，解得 x＜－1 或 x＞3，
∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)＞f(－2)．
于是有 22＋a＝20，∴a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∵在(－1,3)上 f′(x)＞0，
∴f(x)在－1,2]上单调递增．
又由于 f(x)在－2，－1]上单调递减，
∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即 f(x)最小值为－7.
三、探究与拓展
13．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点
P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x＋2.
(1)求 a，b，c，d 的值；
(2)若 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围．
解 (1)因为曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，
所以 b＝d＝2；
因为 f′(x)＝2x＋a，故 f′(0)＝a＝4；g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故 g′(0)＝2＋c＝4，故 c＝2.
从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)令 F(x)＝kg(x)－f(x)＝kex(2x＋2)－x2－4x－2，
则 F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)，
由题设可得 F(0)≥0，故 k≥1，
令 F′(x)＝0 得 x1＝－ln k，x2＝－2，
①若 1≤k0，
即 F(x)在－2，＋∞)上最小值为 F(x1)＝2x1＋2－x2
1－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时 f(x)≤kg(x)
恒成立；
②若 k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)≥0 在－2，＋∞)上恒成立，
故 F(x)在－2，＋∞)上单调递增，
因为 F(x)min＝F(－2)＝0，所以 f(x)≤kg(x)恒成立；
③若 k>e2，则 F(x)min＝F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，
从而当 x∈－2，＋∞)时，
f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述 k 的取值范围为 1，e2]．
