高中数学第一章1-4生活中的优化问题举例练习新人教B版选修2-2
湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.4 生活中的优化问题举
例练习 新人教 B 版选修 2-2
班级___________ 姓名___________学号___________
1．如果圆柱截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )．
A.
l
6 3π B.
l
3 3π C.
l
4 3π D.1
4
l
4 3π
2．若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )．
A．2πr2 B．πr2 C．4πr D.1
2
πr2
3．有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形，将剩余部
分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则 x＝________.
4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
________．
5．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的
桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的
桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其
他因素，记余下工程的费用为 y 万元．
(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；
(2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
6．如图所示，在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折
起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是
多少？
1．如果圆柱截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )．
A.
l
6 3π B.
l
3 3π
C.
l
4 3π D.1
4
l
4 3π
解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r＋2h＝l，
∴h＝l－4r
2
，
V＝πr2h＝l
2
πr2－2πr3 0
0，
∴r＝l
6
是其唯一的极值点．
∴当 r＝l
6
时，V 取得最大值，最大值为
l
6 3π.
答案 A
2．若一球的半径为 r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )．
A．2πr2 B．πr2
C．4πr D.1
2
πr2
解析 设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，则由组合体的知识得 h2＋(2x)2＝(2r)2，又
圆柱的侧面积 S＝2πxh，
∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，
令(S2)′＝0 得 x＝ 2
2
r(x＝0 舍去)，
∴Smax＝2πr2，故选 A.
答案 A
3．某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，
若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)＝
－ x3
900
＋400x，0≤x≤390，
90 090，x>390，
则当总利润最大
时，每年生产产品的单位数是
( )．
A．150 B．200 C．250 D．300
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
－ x3
900
＋300x－20 000，0≤x≤390，
70 090－100x，x>390，
令 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D.
答案 D
4．有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形，将剩余部
分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则 x＝________.
解析 可列出 V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出 x 的最大值．
答案 5－ 7
3
5．如图所示，某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙
壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为
________．
解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为 x 米，则长为512
x
米，
因此新墙壁总长度 L＝2x＋512
x
(x>0)，则 L′＝2－512
x2 .
令 L′＝0，得 x＝±16.
∵x>0，∴x＝16.
当 x＝16 时，Lmin＝64，此时堆料场的长为512
16
＝32(米)．
答案 32；16
6．如图所示，已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y＝4－x2 在 x 轴上
方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．
解 设矩形边长 AD＝2x，则|AB|＝y＝4－x2，则矩形面积为 S＝2x(4－x2)(00；当 x> 2
3
时，S′<0，
所以当 x＝ 2
3
时，S 取得最大值，此时，S 最大值＝32 3
9
.
即矩形的边长分别为4 3
3
，8
3
时，矩形的面积最大．
综合提高 限时 25 分钟
7．设底为正三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为
( )．
A.
3
V B.
3
2V
C.
3
4V D．2
3
V
解析 设底面边长为 x，侧棱长为 l，则 V＝1
2
x2·sin 60°·l，∴l＝ 4V
3x2
，
∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x2·sin 60°＋3·x·l＝ 3
2
x2＋4 3V
x
，
S′表＝ 3x－4 3V
x2 .令 S′表＝0，∴x3＝4V，即 x＝
3
4V.又当 x∈ 0，
3
4V 时，S′表<0；
当 x∈
3
4V，V ，S′表>0，
∴当 x＝
3
4V时，表面积最小．
答案 C
8．把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积
之和的最小值是( )．
A.3
2
3 cm2 B．4 cm2
C．3 2 cm2 D．2 3 cm2
解析 设一个正三角形的边长为 x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个
正三角形的面积之和为 S＝ 3
4
x2＋ 3
4
(4－x)2＝ 3
2
[(x－2)2＋4]≥2 3(cm2)，故选 D.
答案 D
9．在半径为 r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．
解析 如图，设∠OBC＝θ，则 0<θ<π
2
，
OD＝rsin θ，BD＝rcos θ.
∴S△ABC＝rcos θ(r＋rsin θ)＝r2cos θ＋r2sin θcos θ.
令 S′＝－r2sin θ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.
∴cos 2θ＝sin θ.
∴1－2sin2θ＝sin θ，解之 sin θ＝1
2
，0<θ<π
2
.
∴θ＝π
6
，即当θ＝π
6
时，△ABC 的面积最大，即高为 OA＋OD＝r＋r
2
＝3r
2
时面积最大．
答案 3r
2
10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
________．
解析 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 L，则 V＝πR2L＝27π，∴L＝27
R2 ，要使用料最
省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·27
R
，
∴S′(R)＝2πR－54π
R2 ＝0，∴R＝3，则当 R＝3 时，S 表最小．
答案 3
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的
桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的
桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其
他因素，记余下工程的费用为 y 万元．
(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；
(2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
解 (1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m，即 n＝lim
x
－1.
所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x
＝256
lim
x
－1
＋lim
x
(2＋ x)x＝256lim
x
＋m x＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－256lim
x2 ＋1
2
mx－1
2
＝lim
2x2 (x3
2
－512)．
令 f′(x)＝0，得 x3
2
＝512，所以 x＝64.
当 00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64 处取
得最小值．
此时 n＝lim
x
－1＝640
64
－1＝9.
故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
12．(创新拓展)如图所示，在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把
它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？
最大容积是多少？
解 设箱子的底边长为 x cm，则箱子高 h＝60－x
2
cm.
箱子容积 V＝V(x)＝x2h＝60x2－x3
2
(0
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