中考数学专题复习模拟演练解直角三角形及其应用

中考数学专题复习模拟演练解直角三角形及其应用

中考专题复习模拟演练:解直角三角形及其应用 一、选择题 ‎1.轮船在B处测得小岛A在其北偏东32°方向，从小岛A观测B处的方向为(    ) ‎ A. 北偏东32°                         B. 南偏西32°                         C. 南偏东32°                         D. 南偏西58°‎ ‎【答案】B ‎ ‎2.直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（　　） ‎ A. 150o                               B. 135o                               C. 120o                               D. 120o或135o​‎ ‎【答案】B ‎ ‎3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） ‎ A.                  B.                  C.                  D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎4.已知在△ABC中，AB=14，BC=13，tanB= ，则sinA的值为（   ） ‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎5.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1： （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（   ） ‎ A. 5 米                                B. 10米                                C. 15米                                D. 10 米 ‎【答案】A ‎ ‎6.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ；正确的是（   ）‎ A. 4个                                       B. 3个                                       C. 2个                                       D. 1个 ‎【答案】B ‎ ‎7.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（   ） ‎ A. 20海里                           B. 40海里                           C. 20 海里                           D. 40 海里 ‎【答案】C ‎ ‎8.在离地面高度为5米处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°的角，则拉线的长是（ ） ‎ A. 米                                B. 米                                C. 米                                D. 10米 ‎【答案】A ‎ ‎9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（   ） ‎ A.                                       B.                                       C.                                       D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎10.如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，则tan∠ACB的值等于（   ）‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎11.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（   ） ‎ A. 5m                                       B. 6m                                       C. 7m                                       D. 8m ‎【答案】A ‎ ‎12.如图，△ABC内接于⊙O，∠A的度数为60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE= ；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是（   ）‎ A. ①②                                     B. ①③                                     C. ③④                                     D. ②④‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ‎ ‎13.如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是　________ ．（请写成1：m的形式） ‎ ‎【答案】1：　 ‎ ‎14.△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是________． ‎ ‎【答案】21 或15 ‎ ‎15. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________． ‎ ‎【答案】4 ‎ ‎16.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tan∠ADC =________． ‎ ‎【答案】‎ ‎17.在△ABC中，AB=12， AC=13，cos∠B=， 则BC边长为________ ． ‎ ‎【答案】7或17 ‎ ‎18.（2019•东营）一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为________米． ‎ ‎【答案】‎ ‎19.如图，把两块相同的含30°角的三角尺如图放置，若 cm，则三角尺的最长边长为________． ‎ ‎【答案】12cm ‎ 三、解答题 ‎ ‎20.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， ） ‎ ‎【答案】解：由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°， ∵BC=CD， ∴△BCD是等边三角形． 过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示： 由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°， ∵△BCD是等边三角形， ∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km， ∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°， ∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m， ∴AB= = ≈7m， ∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m． 答：从A地跑到D地的路程约为47m． ‎ ‎21.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距30米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．求旗杆MN的高度．（参考数据： ， ，结果保留整数） ‎ ‎【答案】解：过A作AE⊥MN，垂足为E，过C作CF⊥MN，垂足为F 设ME=x，Rt△AME中，∠MAE=45°， ∴AE=ME=x，Rt△MCF中，MF=x+0.2， CE= = （x+0.2）， ∵BD=AE+CF， ‎ ‎∴x+ （x+0.2）=30 ∴x≈11.0，即AE=11.0， ∴MN=11.0+1.7=12.7≈13． ‎ ‎22.如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知AC＝15，cos A＝. (1)求线段CD的长； (2)求sin ∠DBE的值． ‎ ‎【答案】解：(1)∵AC＝15， cos A＝， ∴＝ ∴AB＝25， ∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点， ∴CD＝； (2)AD＝BD＝CD＝，设DE＝x，EB＝y，则： 解得：x＝， ∴sin ∠DBE＝＝. ‎ ‎23. 如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm． ‎ ‎（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm） ‎ ‎（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm） （参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器） ‎ ‎【答案】（1）解：作OC⊥AB于点C，如右图2所示， 由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°， ∴∠BOC=9° ∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm， 即所作圆的半径约为3.13cm； （2）解：作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示， ∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等， ∴折断的部分为BE， ∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°， ∴∠OAB=81°，∠OAD=72°， ‎ ‎∴∠BAD=9°， ∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm， 即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm． ‎ ‎24.如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒． ‎ ‎（1）当t＝  时，则OP＝________，S△ABP＝________； ‎ ‎（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值； ‎ ‎（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3． ‎ ‎【答案】（1）1； （2）解：①∵∠A＜∠BOC＝60°，∴∠A不可能是直角 ②当∠ABP＝90°时 ∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30° ∴OP＝2OB，即2t＝2 ∴t＝1 ③当∠APB＝90°时 作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90° ∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝ t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是锐角三角形） ‎ ‎∴AP2＝(2＋t)2＋3t2 ， BP2＝(1－t)2＋3t2 ∵AP2＋BP2＝AB2 ， ∴(2＋t)2＋3t2＋(1－t)2＋3t2＝9 即4t2＋t－2＝0，解得t1 解得t1＝ ，t2＝ （舍去） 综上，当△ABP是直角三角形时，t＝1或 （3）解：连接PQ，设AP与OQ相交于点E ∵AQ∥BP，∴∠QAP＝∠APB ∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B ∴∠QAP＝∠B 又∵∠QOP＝∠B，∴∠QAP＝∠QOP ∵∠QEA＝∠PEO，∴△QEA∽△PEO ∴ 又∵∠PEQ＝∠OEA，∴△PEQ∽△OEA ∴∠APQ＝∠AOQ ∵∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO ∴∠AOQ＝∠BPO， ∴∠APQ＝∠BPO ∴△APQ∽△BPO， ∴ ∴AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3 ‎