中考数学专题特训第十五讲：二次函数的应用(含详细参考答案)

中考数学专题特训第十五讲：二次函数的应用(含详细参考答案)

中考数学专题复习第十五讲 二次函数的应用 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 二次函数与一元二次方程：‎ ‎ 二次函数y= ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式 决定 抛物线x轴有 个交点 ＜＝b2-4ac>0＝＞一元二次方程有 实数根 抛物线x轴有 个交点 ＜＝b2-4ac=0＝＞一元二次方程有 实数根 抛物线x轴有 个交点 ＜＝b2-4ac<0＝＞一元二次方程有 实数根 ‎【提醒：若抛物线与x轴有两交点为A（x1,0）B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】‎ 二、二次函数解析式的确定：‎ ‎1、设顶点式，即：设 ‎ 当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式 ‎2、设一般式，即：设 ‎ ‎ 知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式 ‎【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 以y轴为对称轴，可设 顶点在x轴上，可设 抛物线过原点 等】‎ 三、二次函数的应用 ‎ 1、实际问题中解决最值问题：‎ 步骤：1、分析数量关系 建立模型 ‎ 2、设自变量 建立函数关系 ‎ 3、确定自变量的取值范围 ‎ 4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值 ‎2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题 ‎ 一般步骤：1、求一些特殊点的坐标 ‎ 2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式 ‎ 3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题 ‎ 【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围 ‎ 2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：二次函数的最值 例1 （2012•呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（　　）‎ A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为 ‎ C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为 思路分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．‎ 解：∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），‎ ‎∴N点的坐标为（-a，b），‎ 又∵点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 故二次函数y=-abx2+（a+b）x为y=x2+3x，‎ ‎∴二次项系数为＜0，故函数有最大值，最大值为y=，‎ 故选：B．‎ 点评：本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．‎ 对应训练 ‎1．（2012•兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（　　）‎ A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定 ‎1．A 解：∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值，‎ ‎∴抛物线开口方向向上，即a＞0；‎ 又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，‎ ‎∴a＞b．‎ 故选A．‎ ‎ 考点二：确定二次函数关系式 例2 （2012•珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．‎ ‎（1）求二次函数与一次函数的解析式；‎ ‎（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．‎ A B C O x y 思路分析：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；‎ ‎（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．‎ 解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，‎ ‎（1-2）2+m=0，‎ ‎1+m=0，‎ m=-1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．‎ 当x=0时，y=4-1=3，‎ 故C点坐标为（0，3），‎ 由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），‎ 令y=3，有（x-2）2-1=3，‎ 解得x=4或x=0．‎ 则B点坐标为（4，3）．‎ 设一次函数解析式为y=kx+b，‎ 将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，‎ ‎，‎ 解得，则一次函数解析式为y=x-1； （2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），‎ ‎∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．‎ 点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键．‎ 对应训练 ‎2．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）写出顶点坐标及对称轴；‎ ‎（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．‎ ‎2．分析：（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程组求b、c的值即可；‎ ‎（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；‎ ‎（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标．‎ 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得 ‎，‎ 解得 ，‎ 所以解析式为y=x2-2x。 （2）∵y=x2-2x=（x-1）2-1，‎ ‎∴顶点为（1，-1），‎ 对称轴为：直线x=1 。‎ ‎（3）设点B的坐标为（a，b），则 ‎×2|b|=3，‎ 解得b=3或b=-3，‎ ‎∵顶点纵坐标为-1，-3＜-1 （或x2-2x=-3中，x无解）‎ ‎∴b=3，‎ ‎∴x2-2x=3，‎ 解得x1=3，x2=-1‎ 所以点B的坐标为（3，3）或（-1，3）。‎ 点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴．‎ 考点三：二次函数与x轴的交点问题 例3 （2012•天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：‎ ‎①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．‎ 其中，正确结论的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ 思路分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．‎ 解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，‎ ‎∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，‎ 解得：m＞ ，故选项②正确；‎ ‎∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=5，x1x2=6-m，‎ 而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；‎ 二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），‎ 令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，‎ 解得：x=2或3，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．‎ 综上所述，正确的结论有2个：②③．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．‎ 对应训练 ‎3．（2012•株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（　　）‎ A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2‎ ‎3．A 解：抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，‎ ‎∴=-1，解得b=-3，‎ ‎∴B（-3，0）．‎ 故选A．‎ ‎ 考点四：二次函数的实际应用 例4 （2012•绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．‎ 思路分析：根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．‎ 解：令函数式y=-（x-4）2+3中，y=0，‎ ‎0=-（x-4）2+3，‎ 解得x1=10，x2=-2（舍去），‎ 即铅球推出的距离是10m．‎ 故答案为：10．‎ 点评：本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．‎ 例5 （2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 输送的污水量y1（吨）‎ ‎12000‎ ‎6000‎ ‎4000‎ ‎3000‎ ‎2400‎ ‎2000‎ ‎7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．‎ ‎（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；‎ ‎（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．‎ ‎（参考数据： ≈15.2，≈20.5， ≈28.4）‎ 思路分析：（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；‎ ‎（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；‎ ‎（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可．‎ 解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：‎ y1=，将（1，12000）代入得：‎ k=1×12000=12000，‎ 故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；‎ 根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，‎ 代入y2=ax2+c(a≠0)得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；‎ ‎（2）当1≤x≤6，且x取整数时：‎ W=y1•z1+（12000-y1）•z2=+（12000-）•（x-x2），‎ ‎=-1000x2+10000x-3000，‎ ‎∵a=-1000＜0，x==5，1≤x≤6，‎ ‎∴当x=5时，W最大=22000（元），‎ 当7≤x≤12时，且x取整数时，‎ W=2×（12000-y2）+1.5y2=2×（12000-x2-10000）+1.5（x2+10000），‎ ‎=-x2+1900，‎ ‎∵a=-＜0，x==0，‎ 当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=7时，W最大=18975.5（元），‎ ‎∵22000＞18975.5，‎ ‎∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；‎ ‎（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，‎ 设t=a%，整理得：10t2+17t-13=0，‎ 解得：t=，‎ ‎∵≈28.4，‎ ‎∴t1≈0.57，t2≈-2.27（舍去），‎ ‎∴a≈57，‎ 答：a的值是57．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．‎ 对应训练 ‎4．（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．‎ ‎4．600‎ 解：∵-1.5＜0，‎ ‎∴函数有最大值．‎ ‎∴s最大值=，‎ 即飞机着陆后滑行600米才能停止．‎ 故答案为：600．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．‎ ‎5．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c与x轴交于点A（1-，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．‎ ‎（1）求原抛物线的解析式；‎ ‎（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：≈2.236，‎ ‎≈2.449，结果可保留根号）‎ ‎5．考点：二次函数的应用．分析：（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；‎ ‎（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比．‎ 解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，‎ ‎∴P点坐标为（1，-3）； ‎ ‎∵抛物线y=a（x-1）2+c过点A（1-，0），顶点是P（1，-3），‎ ‎∴；‎ 解得；‎ 则抛物线的解析式为y=（x-1）2-3，‎ 即y=x2-2x-2．‎ ‎（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，‎ ‎∴C、D两点纵坐标为3； ‎ 由（x-1）2-3=3，‎ 解得：x1=1-，x2=1+，‎ ‎∴C、D两点的坐标分别为（1-，3），（1+，3）‎ ‎∴CD=2。‎ ‎∴“W”图案的高与宽（CD）的比==（或约等于0.6124）．‎ 点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，D两点坐标是解题关键．‎ 考点五：二次函数综合性题目 例6 （2012•自贡）如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；‎ ‎（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．‎ 思路分析：（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式；‎ ‎（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．‎ 解：（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1，‎ 依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（-1，0），C点坐标不变，‎ 因此，抛物线经过A1（3，0），B1（-1，0），C（0，-3）三点，‎ 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：‎ ‎ 9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3 ，‎ 解得a=1，b=-2，c=-3，‎ 故抛物线的解析式为：y=x2-2x-3． ‎ ‎（2）抛物线的对称轴为：x= =1，‎ 如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．‎ 此时，|PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C．‎ 设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：‎ ‎|P′A-P′C|=|P′B1-P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边），‎ 故|P′A-P′C|＜|PA1-PC|，即|PA1-PC|最大．‎ 设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎，解得k=b=-3，‎ 故直线B1C的解析式为：y=-3x-3．‎ 令x=1，得y=-6，‎ 故P（1，-6）．‎ ‎（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况．‎ ‎①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，‎ 由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，‎ 则D（1，r），F（1+r，r）．‎ ‎∵点F（1+r，r）在抛物线y=x2-2x-3上，‎ ‎∴r=（1+r）2-2（1+r）-3，化简得：r2-r-4=0‎ 解得r1=，r2=（舍去），‎ ‎∴此圆的半径为；‎ ‎②当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为．‎ 综上所述，此圆的半径为或．‎ 点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；第（3）问中，首先注意圆有2个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径．‎ 对应训练 ‎6．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；‎ ‎（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎6．分析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．‎ ‎（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；‎ ‎（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．‎ 解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），‎ 又∵函数的顶点坐标为（3，），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 故函数解析式为：，‎ 由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；‎ ‎（2）∵S△POA=2S△AOB，‎ ‎∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为，‎ 代入函数解析式得：=，‎ 解得：x1=3+3，x2=3-3，‎ 即满足条件的点P有两个，其坐标为：P1（3+3，），P2（3-3，）．‎ ‎（3）存在．‎ 过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP=，‎ 故可得∠BOA=30°，‎ 设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1F⊥x轴，‎ ‎∵△OAB∽△OQ1A，‎ ‎∴∠Q1OA=30°，‎ 故可得OF= 3 Q1F，即x=（），‎ 解得：x=9或x=0（舍去），‎ 经检验得此时OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．‎ 即可得Q1坐标为（9，3 ），‎ 根据函数的对称性可得Q2坐标为（-3，3）．‎ ‎∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（9，3）或（-3，3）．‎ 点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）‎ A．-3 B．3 C．-6 D．9‎ ‎1．考点：抛物线与x轴的交点．专题：探究型．‎ 分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．‎ 解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，‎ ‎∴a＞0，=-3，即b2=12a，‎ ‎∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，‎ ‎∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，‎ ‎∴m的最大值为3．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．‎ ‎2．（2012•滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎2．A 分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．‎ 解：抛物线解析式y=-3x2-x+4，‎ 令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），‎ 令y=0，得到-3x2-x+4=0，即3x2+x-4=0，‎ 分解因式得：（3x+4）（x-1）=0，‎ 解得：x1=，x2=1，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点分别为（，0），（1，0），‎ 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．‎ 故选A 点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．‎ ‎3．（2012•济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ‎ 秒．‎ ‎3．36‎ 思路分析：10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．解答：解：如图，设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，‎ ‎∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，‎ ‎∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒．‎ ‎∴从O到D需要10+8=18秒．‎ ‎∴从O到C需要2×18=36秒．‎ 故答案是：36．‎ 点评：本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．‎ ‎4．（2012•菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：‎ 销售单价x（元/件）‎ ‎…‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎…‎ 每天销售量（y件）‎ ‎…‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎…‎ ‎（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）‎ ‎（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？‎ ‎4．分析：（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；‎ ‎（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；‎ ‎（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．‎ 解：（1）画图如图：‎ 由图可猜想y与x是一次函数关系，‎ 设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，‎ ‎∴，‎ 解得： ，‎ ‎∴函数关系式是y=-10x+700．‎ ‎（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：‎ W=（x-10）（-10x+700），‎ ‎=-10x2+800x-7000，‎ ‎=-10（（x-40）2+9000，‎ ‎∴当x=40时，W有最大值9000．‎ ‎（3）对于函数W=-10（x-40）2+9000，‎ 当x≤35时，W的值随着x值的增大而增大，‎ 故销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容．‎ ‎5．（2012•青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：‎ ‎（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；‎ ‎（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；‎ ‎（3）若许愿瓶的进货成本不超过900‎ 元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．‎ ‎5．分析：（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；‎ ‎（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；‎ ‎（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．‎ 解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，‎ 图象过点（10，300），（12，240），‎ ‎ ，‎ 解得，‎ ‎∴y=-30x+600，‎ 当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，‎ 即点（14，180），（16，120）均在函数y=-30x+600图象上．‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600； （2）w=（x-6）（-30x+600）=-30x2+780x-3600，‎ 即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600；‎ ‎（3）由题意得：6（-30x+600）≤900，‎ 解得x≥15．‎ w=-30x2+780x-3600图象对称轴为：x==13．‎ ‎∵a=-30＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，‎ ‎∴当x=15时，w最大=1350，‎ 即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．‎ ‎6．（2012•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）‎ ‎（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350‎ 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？‎ ‎6．分析：（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，‎ ‎（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．‎ ‎（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）.‎ 解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）‎ ‎=-2x2+136x-1800，‎ ‎∴z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800； （2）由z=350，得350=-2x2+136x-1800，‎ 解这个方程得x1=25，x2=43‎ 所以，销售单价定为25元或43元，‎ 将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，‎ 因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；‎ ‎（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象（如图所示）可知，‎ 当25≤x≤43时z≥350，‎ 又由限价32元，得25≤x≤32，‎ 根据一次函数的性质，得y=-2x+100中y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（-2×32+100）=648（万元），‎ 因此，所求每月最低制造成本为648万元．‎ 点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎2．（2012•湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）‎ A． B． C．3 D．4 ‎ ‎2．思路分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．‎ 解答：如图，过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，‎ ‎∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，‎ ‎∴BF∥DE∥CM，‎ ‎∵OD=AD=3，DE⊥OA，‎ ‎∴OE=EA=OA=2，‎ 由勾股定理得：DE=，‎ 设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，‎ ‎∵BF∥DE∥CM，‎ ‎∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，‎ ‎∴，，‎ 即，‎ 解得：BF=，CM= ，‎ ‎∴BF+CM=．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．‎ ‎3．（2012•宜昌）已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（　　）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎3．考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．‎ 解：∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，‎ ‎∴△=4-4a＜0，‎ 解得：a＞1，‎ ‎∴抛物线的开口向上，‎ 又∵b=-2，‎ ‎∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，‎ ‎∴抛物线的顶点在第一象限；‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了二次函数的图象与x轴交点，关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握．‎ ‎4．（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）‎ A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5‎ ‎4．D 解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），‎ ‎∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）．‎ 利用图象可知：‎ ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，‎ ‎∴x＜-1或x＞5．‎ 故选：D．‎ ‎5．（2012•义乌市）如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：‎ ‎①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；‎ ‎③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．①④ C．②③ D．③④ ‎ ‎5．思路分析：利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案．‎ 解：∵①当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴此选项错误；‎ ‎∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；‎ ‎∴②当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴此选项错误；‎ ‎∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=-2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；‎ ‎∴③使得M大于2的x值不存在，此选项正确；‎ ‎∵使得M=1时，可能是y1=-2x2+2=1，解得：x1=，x2=-，‎ 当y2=2x+2=1，解得：x=-，‎ 由图象可得出：当x=＞0，此时对应y2=M，‎ ‎∵抛物线y1=-2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（-1，0），‎ ‎∴当-1＜x＜0，此时对应y1=M，‎ 故M=1时，x1= ，x=-，‎ 故④使得M=1的x值是-或．此选项正确；‎ 故正确的有：③④．‎ 故选：D．‎ 点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键．‎ ‎6．（2012•大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值．‎ 解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取（-1，4），设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：‎ ‎0=a（1+1）2+4，a=-1，‎ 即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y=-1（x+1）2+4．‎ 当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取（3，1），则此时抛物线的解析式：‎ y=-（x-3）2+1=-x2+6x-8=-（x-2）（x-4）‎ ‎∴A（2，0）、B（4，0）．‎ 故选B．‎ 点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．‎ ‎1．（2012•镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＜﹣1‎ B．‎ ‎﹣1＜m＜0‎ C．‎ ‎0＜m＜1‎ D．‎ m＞1‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点。810360 ‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在y轴的右侧即可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：∵（x+1）（x﹣m）=0，则x=﹣1或x=m，‎ ‎∴二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象与x轴的交点为（﹣1，0）、（m，0），‎ ‎∴二次函数的对称轴x=，‎ ‎∵函数图象的对称轴在y轴的右侧，‎ ‎∴＞0，‎ 解得m＞1．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，先根据函数的解析式得出二次函数的图象与 x轴的交点是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2012•泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣3‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎﹣6‎ D．‎ ‎9‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点。810360 ‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，‎ ‎∴a＞0.=﹣3，即b2=12a，‎ ‎∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，‎ ‎∴m的最大值为3．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2012•杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点。810360 ‎ 专题：‎ 推理填空题。‎ 分析：‎ 整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．‎ 解答：‎ 解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），‎ 所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），‎ AC===，‎ 点B坐标为（，0），‎ ‎①k＞0时，点B在x正半轴上，‎ 若AC=BC，则=，解得k=3，‎ 若AC=AB，则+1=，解得k=，‎ 若AB=BC，则+1=，解得k=；‎ ‎②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，‎ 只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k=﹣，‎ 所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．‎ 二、填空题 ‎7．（2012•深圳）二次函数y=x2-2x+6的最小值是 ．‎ ‎7．5‎ 分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．解答：解：原式=x2-2x+1+5=（x-1）2+5，‎ 可见，二次函数的最小值为5．‎ 故答案为5．‎ 点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．‎ ‎8．（2012•无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 ．‎ ‎8．y=-x2+4x-3‎ 解：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，‎ 将B（1，0）代入y=a（x-2）2+1得a=-1，‎ 函数解析式为y=-（x-2）2+1，‎ 展开得y=-x2+4x-3．‎ 故答案为y=-x2+4x-3．‎ 三、解答题 ‎9．（2012•杭州）当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．‎ 考点：二次函数的最值．专题：分类讨论．‎ ‎9．分析：当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．‎ 解：k可取值-1，1，2‎ ‎（1）当k=1时，函数为y=-4x+4，是一次函数（直线），无最值；‎ ‎（2）当k=2时，函数为y=x2-4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；‎ ‎（3）当k=-1时，函数为y=-2x2-4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．‎ 因为y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8，则当x=-1时，函数有最大值为8．‎ 点评：本题考查了二次函数的最值．需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方．‎ ‎10．（2012•徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．‎ ‎（1）求b、c的值；‎ ‎（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；‎ ‎（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．‎ ‎10．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．‎ 分析：（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解；‎ ‎（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式；‎ ‎（3）采用列表、描点法画出图象即可．‎ 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），‎ ‎∴ ，‎ 解得； （2）∵该二次函数为y=x2-4x+3=（x-2）2-1．‎ ‎∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），对称轴为x=1；‎ ‎（3）列表如下：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎…‎ 描点作图如下：‎ 点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握．‎ ‎11．（2012•佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎①y随x变化的部分数值规律如下表：‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；‎ ‎③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．‎ ‎（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．‎ ‎11．分析：（1）选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a的值；‎ ‎（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质．解答：解：（1）由①的表格可知，抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，‎ 将点（0，3）代入，得a（0-1）2+4=3，解得a=-1，‎ 所以，抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；‎ ‎（2）抛物线y=-x2+2x+3的性质：‎ ‎①对称轴为x=1，‎ ‎②当x=1时，函数有最大值为4，‎ ‎③当x＜1时，y随x的增大而增大．‎ 点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象，二次函数的性质．关键是熟练掌握二次函数的三种形式，灵活运用解析式的三种形式解题．‎ ‎12．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：‎ AB=|x1-x2|= ==；‎ 参考以上定理和结论，解答下列问题：‎ 设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．‎ ‎（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．‎ ‎12．考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．‎ 解：（1）当△ABC为直角三角形时，如图，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，△=b2-4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．‎ ‎∵a＞0，∴AB==，‎ 又∵CE=||=，‎ ‎∴=2×，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵b2-4ac＞0，‎ ‎∴b2-4ac=4；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，‎ 由（1）可知CE= AB，‎ ‎∴=×，‎ ‎∵b2-4ac＞0，‎ ‎∴b2-4ac=12．‎ 点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．‎ ‎13．（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=（t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？‎ ‎13．思路分析：（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；‎ ‎（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．‎ 解：（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8），‎ ‎∴64a+11=8，‎ 解得a=-，‎ ‎∴y=-x2+11；‎ ‎（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，‎ ‎∴6=（t-19）2+8，‎ 解得t1=35，t2=3，‎ ‎∴35-3=32（小时）．‎ 答：需32小时禁止船只通行．‎ 点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．‎ ‎14．（2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．‎ ‎（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？‎ ‎14．分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．‎ 解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，‎ ‎∴x+2x+x=24，‎ 解得：x=6，‎ 则 a=6，‎ V=a3=(6)3=432（cm3）；‎ ‎ ‎ ‎（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=x，h== (12-x)，‎ ‎∴S=4ah+a2=4 x•（12-x）+(x)2=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，‎ ‎∵0＜x＜12，‎ ‎∴当x=8时，S取得最大值384cm2．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出正方体的边长x+2x+x=24是解题关键．‎ ‎15．（2012•黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400‎ 元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．‎ ‎（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？‎ ‎（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）‎ ‎15．分析：（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；‎ ‎（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式；‎ ‎（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．解答：解：（1）设件数为x，依题意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50，‎ 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x，‎ 当10＜x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x2+700x 当x＞50时，y=（2600-2400）x=200x ‎∴.‎ ‎（3）由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下，当x==35时，利润y有最大值，‎ 此时，销售单价为3000-10（x-10）=2750元，‎ 答：公司应将最低销售单价调整为2750元．‎ 点评：本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．‎ ‎16．（2012•河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．‎ 薄板的边长（cm）‎ ‎20‎ ‎30‎ 出厂价（元/张）‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；‎ ‎（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），‎ ‎①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．‎ ‎②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）‎ ‎16．分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；‎ ‎（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；‎ ‎②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．‎ 解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．‎ 由表格中的数据，得，‎ 解得，‎ 所以y=2x+10；‎ ‎（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：‎ p=y-mx2=2x+10-mx2，‎ 将x=40，p=26代入p=2x+10-mx2中，‎ 得26=2×40+10-m×402．‎ 解得m=．‎ 所以p=-x2+2x+10．‎ ‎②因为a=-＜0，所以，当x==25（在5～50之间）时，‎ p最大值==35．‎ 即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．‎ 点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．‎ ‎17．（2012•资阳）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．‎ ‎（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；‎ ‎（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；‎ ‎（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．‎ ‎17．分析：（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；‎ ‎（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；‎ ‎（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．‎ 解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m-1）‎ ‎∴顶点坐标为（-2，m-1）‎ ‎∵顶点在直线y=x+3上，‎ ‎∴-2+3=m-1，‎ 得m=2；‎ ‎（2）如图，∵点N在抛物线上，‎ ‎∴点N的纵坐标为：a2+a+2，‎ 即点N（a，a2+a+2）‎ 过点F作FC⊥NB于点C，‎ 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB-CB=a2+a，‎ ‎∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4，‎ 而NB2=（a2+a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4‎ ‎∴NF2=NB2，‎ NF=NB；‎ ‎（3）连接AF、BF，‎ 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，‎ ‎∴∠MAF=∠MFA，‎ ‎∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，‎ ‎∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°‎ ‎∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，‎ ‎∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，‎ ‎∵∠MAB+∠NBA=180°，‎ ‎∴∠FBA+∠FAB=90°，‎ 又∵∠FAB+∠MAF=90°，‎ ‎∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，‎ 又∵∠FPA=∠BPF，‎ ‎∴△PFA∽△PBF，‎ ‎∴，PF2=PA×PB=，‎ 过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，‎ PG=，‎ ‎∴PO=PG+GO=，‎ ‎∴P（-，0）‎ 设直线PF：y=kx+b，把点F（-2，2）、点P（-，0）代入y=kx+b，‎ 解得k=，b=，‎ ‎∴直线PF：y=x+ ，‎ 解方程x2+x+2=x+，‎ 得x=-3或x=2（不合题意，舍去），‎ 当x=-3时，y=，‎ ‎∴M（-3，）．‎ 点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF 的值是解题的关键，也是该题的难点．‎ ‎18．（2012•株洲）如图，一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．‎ ‎18．分析：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；‎ ‎（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；‎ ‎（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．‎ 解：（1）∵y=-x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，‎ ‎∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），‎ 将x=0，y=2代入y=-x2+bx+c得c=2，‎ 将x=4，y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=-x2+x+2。‎ ‎（2）如答图1，设MN交x轴于点E，‎ 则E（t，0），BE=4-t．‎ ‎∵tan∠ABO==，‎ ‎∴ME=BE•tan∠ABO=（4-t）×=2-t．‎ 又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=-t2+t+2，‎ ‎∴MN=yN-ME=-t2+t+2-（2-t）=-t2+4t，‎ ‎∴当t=2时，MN有最大值4，‎ ‎（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．‎ 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．‎ ‎（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）‎ 由AD=MN，得|a-2|=4，解得a1=6，a2=-2，‎ 从而D为（0，6）或D（0，-2）。‎ ‎（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，‎ 易得D1N的方程为y=-x+6，D2M的方程为y=x-2，‎ 由两方程联立解得D为（4，4）。‎ 故所求的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）。‎ 点评：本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D 的可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分．作为中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下手，区分度稍低．‎ ‎19．（2012•漳州）已知抛物线y=x2+1（如图所示）．‎ ‎（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；‎ ‎（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．分析：（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；‎ ‎（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；‎ ‎（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标.‎ 解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．‎ ‎（2）∵△PAB是等边三角形，‎ ‎∴∠ABO=90°-60°=30°．‎ ‎∴AB=20A=4．‎ ‎∴PB=4．‎ 解法一：把y=4代入y=x2+1，‎ 得 x=±2．‎ ‎∴P1（2，4），P2（-2，4）． ‎ 解法二：∴OB= =2‎ ‎∴P1（2，4）． ‎ 根据抛物线的对称性，得P2（-2，4）． ‎ ‎（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）‎ ‎∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b ‎∴，‎ 解得： ，‎ ‎∴解析式为：y=x+2，‎ 设存在点M使得OAMN是菱形，‎ ‎∵点M在直线AP上，‎ ‎∴设点M的坐标为：（m，m+2），‎ 如图，作MN⊥y轴于点N，则MN=x，AN=ON-OA=m+2-2=m，‎ ‎∵四边形OAMN为菱形，‎ ‎∴AM=AO=2‎ ‎∴在直角三角形AMN中，AN2+MN2=AM2，‎ 即：m2+（m）2=22‎ 解得：m=±。 ‎ 代入直线AP的解析式求得y=3或1，‎ ‎∴存在N1（，3），N2（- ，3），N3（-，1），N4（，-1）使得四边形OAMN是菱形．‎ 点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．‎