2010年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析

2010年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析

‎2010年浙江省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2010•浙江）设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（　　）‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆CRQ D．Q⊆CRP ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有 ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出 ‎【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，‎ 可知Q⊆P，故B正确．‎ ‎【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2010•浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎【考点】程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】算法和程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：‎ K S 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4‎ 故答案选A．‎ ‎【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2010•浙江）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则=（　　）‎ A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．‎ ‎【解答】解：设公比为q，‎ 由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，‎ 解得q=﹣2，‎ 所以==﹣11．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2010•浙江）设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．‎ ‎【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．‎ ‎【解答】解：∵0＜x＜，‎ ‎∴0＜sinx＜1，‎ 故xsin2x＜xsinx，‎ 若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”‎ 若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．‎ 由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了充分条件、必要条件的判定方法，判断充要条件的方法是：‎ ‎①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；‎ ‎②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；‎ ‎③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；‎ ‎④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．‎ ‎⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2010•浙江）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）‎ A． B．z2=x2﹣y2 C． D．|z|≤|x|+|y|‎ ‎【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有 ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】求出复数的共轭复数，求它们和的模判断①的正误；求z2=x2﹣y2+2xyi，显然B错误；，不是2x，故C错；|z|=≤|x|+|y|，正确．‎ ‎【解答】解：可对选项逐个检查，A选项，，故A错，‎ B选项，z2=x2﹣y2+2xyi，故B错，‎ C选项，，故C错，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题 ‎　‎ ‎6．（5分）（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m ‎【考点】直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．‎ ‎【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；‎ C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．‎ D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．‎ B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题 ‎　‎ ‎7．（5分）（2010•浙江）若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 设z=x+y，‎ 将最大值转化为y轴上的截距，‎ 当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，‎ 将m等价为斜率的倒数，‎ 数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得 m=1，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2010•浙江）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，‎ ‎【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知 可知|PF1|=2=4b 根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=‎ ‎∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题 ‎　‎ ‎9．（5分）（2010•浙江）设函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（　　）‎ A．[﹣4，﹣2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[2，4]‎ ‎【考点】函数的零点．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】将函数f（x）的零点转化为函数g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的交点，在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象，数形结合对各个区间进行讨论，即可得到答案 ‎【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象 如下图示：‎ 由图可知g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，‎ 由图可知函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考查，对能力要求较高，属较难题．函数F（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，即函数f（x）的图象与函数g（x）的图形有两个交点．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2010•浙江）设函数的集合，‎ 平面上点的集合，‎ 则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【考点】对数函数的图像与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】把P中a和b的值代入f（x）=log2（x+a）+b中，所得函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数，即可得到选项．‎ ‎【解答】解：将数据代入验证知 当a=，b=0；‎ a=，b=1；‎ a=1，b=1‎ a=0，b=0‎ a=0，b=1‎ a=1，b=﹣1‎ 时满足题意，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的概念、定义域、值域、图象和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考查，属中档题 ‎　‎ 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）‎ ‎11．（4分）（2010•浙江）函数的最小正周期是　π　．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是正（余）弦型函数的最小正周期的求法，由函数化简函数的解析式后可得到：‎ f（x）=，然后可利用T=求出函数的最小正周期．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∵ω=2‎ 故最小正周期为T=π，‎ 故答案为：π．‎ ‎【点评】函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．、‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2010•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是　144　cm3．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【专题】立体几何．‎ ‎【分析】由三视图可知几何体是一个四棱台和一个长方体，求解其体积相加即可．‎ ‎【解答】解：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，‎ 由公式计算得体积为=144．‎ 故答案为：144．‎ ‎【点评】本题主要考查了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 ‎　‎ ‎13．（4分）（2010•浙江）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为　　．‎ ‎【考点】抛物线的定义；抛物线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线的距离．‎ ‎【解答】解：依题意可知F坐标为（，0）‎ ‎∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，‎ ‎∴抛物线准线方程为x=﹣‎ 所以点B到抛物线准线的距离为+=，‎ 故答案为 ‎【点评】本题主要考查抛物线的定义及几何性质，属容易题 ‎　‎ ‎14．（4分）（2010•浙江）设n≥2，n∈N，（2x+）n﹣（3x+）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，将|ak|（0≤k≤n）的最小值记为Tn，则T2=0，T3=﹣，T4=0，T5=﹣，…，Tn…，其中Tn=　　．‎ ‎【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】本题主要考查了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题．根据已知中T2=0，T3=﹣，T4=0，T5=﹣，及，（2x+）n﹣（3x+）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，将|ak|（0≤k≤n）的最小值记为Tn，我们易得，当n的取值为偶数时的规律，再进一步分析，n为奇数时，Tn的值与n的关系，综合便可给出Tn的表达式．‎ ‎【解答】解：根据Tn的定义，列出Tn的前几项：‎ T0=0‎ T1==‎ T2=0‎ T3=﹣‎ T4=0‎ T5=﹣‎ T6=0‎ ‎…‎ 由此规律，我们可以推断：Tn=‎ 故答案：‎ ‎【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由题设知（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，即2a12+9a1d+10d2+1=0，由此导出d2≥8，从而能够得到d的取值范围．‎ ‎【解答】解：因为S5S6+15=0，‎ 所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，整理得2a12+9a1d+10d2+1=0，‎ 此方程可看作关于a1的一元二次方程，它一定有根，故有△=（9d）2﹣4×2×（10d2+1）=d2﹣8≥0，‎ 整理得d2≥8，解得d≥2，或d≤﹣2‎ 则d的取值范围是．‎ 故答案案为：．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2010•浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是　（0，]　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】画出满足条件的图形，分别用、表示向量与，由与的夹角为120°，易得B=60°，再于，利用正弦定理，易得||的取值范围．‎ ‎【解答】解：令用=、=，如下图所示：‎ 则由=，‎ 又∵与的夹角为120°，‎ ‎∴∠ABC=60°‎ 又由AC=‎ 由正弦定理得：‎ ‎||=≤‎ ‎∴||∈（0，]‎ 故||的取值范围是（0，]‎ 故答案：（0，]‎ ‎【点评】本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考查了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2010•浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有　264　种（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 ‎【专题】排列组合．‎ ‎【分析】法一：先安排上午的测试方法，有A44种，再安排下午的测试方式，由于上午的测试结果对下午有影响，故需要选定一位同学进行分类讨论，得出下午的测试种数，再利用分步原理计算出结果 法二：假定没有限制条件，无论是上午或者下午5个项目都可以选．组合总数为：4×5×4×4=320．再考虑限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．在总组合为320种的组合中，上午为握力的种类有32种；同样下午为台阶的组合有32种．最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的，如A同学的一种组合，上午握力，下午台阶（这种是被去掉了2次），A同学上午台阶，下午握力（也被去掉了2次），这样的情况还要考虑B．C．D三位，所以要回加2×4=8．进而可得答案．‎ ‎【解答】解：解法一：先安排4位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”测试，共有A44种不同安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”测试，假设A、B、C同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试，若D同学选择“握力”测试，安排A、B、C同学分别交叉测试，有2种；若D同学选择“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的1种，有A31种方式，安排A、B、C同学进行测试有3种；根据计数原理共有安排方式的种数为A44（2+A31×3）=264，‎ 故答案为264‎ 解法二：假定没有这个限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．无论是上午或者下午5个项目都可以选．上午每人有五种选法，下午每人仅有四种选法，上午的测试种数是4×5=20，下午的测试种数是4×4=16故我们可以很轻松的得出组合的总数：4×5×4×4=320．‎ 再考虑这个限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．在总组合为320种的组合中，上午为握力的种类有多少种，很好算的，总数的，32种；同样下午为台阶的组合为多少的，也是总数的，32种．所以320﹣32﹣32=256种．‎ 但是最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的，好像A同学的一种组合，上午握力，下午台阶（这种是被去掉了2次），A同学上午台阶，下午握力（也被去掉了2次），这样的情况还要B．C．D三位，所以要回加2×4=8．‎ 所以最后的计算结果是4×5×4×4﹣32﹣32+8=264．‎ 答案：264．‎ ‎【点评】本题主要考查了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考查，属较难题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分72分）‎ ‎18．（14分）（2010•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．‎ ‎【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．菁优网版权所有 ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值．‎ ‎（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π 所以 sinC=．‎ ‎（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4．‎ 由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得cosC=±．‎ 由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0，‎ 解得b= 或b=2．‎ 所以b=或b=2，c=4．‎ ‎【点评】本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2010•浙江）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．‎ ‎（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；‎ ‎（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P（η=2）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）解：由题意知随变量ξ为获得k等奖的折扣，则ξ的可能取值是50%，70%，90%，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的分布列，做出期望．‎ ‎（2）根据第一问可以得到获得一等奖或二等奖的概率，根据小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．可以把获得一等奖或二等奖的人次看做符合二项分布，根据二项分布的概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：随变量量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣，则ξ的可能取值是50%，70%，90%‎ P（ξ=50%）=，P（ξ=70%）=，P（ξ=90%）=‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎ ξ ‎50%‎ ‎70%‎ ‎90%‎ P ‎∴Εξ=×50%+×70%+90%=．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=．‎ 由题意得η～（3，）‎ 则P（η=2）=C32（）2（1﹣）=．‎ ‎【点评】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识，是一个综合题．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2010•浙江）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4．沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．‎ ‎（Ⅰ）求二面角A′﹣FD﹣C的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．‎ ‎【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力．‎ ‎（1）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，又因为平面A′EF⊥平面BEF．则我们可以以A的原点，以AE，AF，及平面ABCD的法向量为坐标轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则锐二面角A′﹣FD﹣C的余弦值等于平面A′FD的法向量，与平面BEF的一个法向量夹角余弦值的绝对值．‎ ‎（2）设FM=x，则M（4+x，0，0），因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，根据空间两点之间距离公式，构造关于x的方程，解方程即可得到FM的长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，‎ 又因为平面A′EF⊥平面BEF．‎ 如图建立空间直角坐标系A﹣xyz 则A′（2，2，），C（10，8，0），‎ F（4，0，0），D（10，0，0）．‎ 故=（﹣2，2，2），=（6，0，0）．‎ 设=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量，‎ ‎﹣2x+2y+2z=0‎ 所以6x=0．‎ 取，则．‎ 又平面BEF的一个法向量，‎ 故．‎ 所以二面角的余弦值为 ‎（Ⅱ）设FM=x，则M（4+x，0，0），‎ 因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，‎ 故，，得，‎ 经检验，此时点N在线段BC上，‎ 所以．‎ 方法二：‎ ‎（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH．‎ 因为A′E=A′F及H是EF的中点，‎ 所以A′H⊥EF 又因为平面A′EF⊥平面BEF，‎ 所以A′H⊥平面BEF，‎ 又AF⊂平面BEF，‎ 故A′H⊥AF，‎ 又因为G、H是AF、EF的中点，‎ 易知GH∥AB，‎ 所以GH⊥AF，‎ 于是AF⊥面A′GH，‎ 所以∠A′GH为二面角A′﹣DH﹣C的平面角，‎ 在Rt△A′GH中，A′H=，GH=2，A'G=‎ 所以．‎ 故二面角A′﹣DF﹣C的余弦值为．‎ ‎（Ⅱ）解：设FM=x，‎ 因为翻折后，C与A′重合，‎ 所以CM=A′M，‎ 而CM2=DC2+DM2=82+（6﹣x）2，‎ A′M2=A′H2+MH2=A′H2+MG2+GH2=+（2+x）2+22，‎ 故 得，‎ 经检验，此时点N在线段BC上，‎ 所以．‎ ‎【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；‎ 空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；‎ 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；‎ ‎　‎ ‎21．（15分）（2010•浙江）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，=2，可知G（，），h（，），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），‎ 所以=，得m2=2，‎ 又因为m＞1，所以m=，‎ 故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．‎ ‎（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由，消去x得 ‎2y2+my+﹣1=0‎ 则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，‎ 且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．‎ 由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，‎ 由，=2，可知G（，），H（，）‎ ‎|GH|2=+‎ 设M是GH的中点，则M（，），‎ 由题意可知2|MO|＜|GH|‎ 即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0‎ 而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）‎ 所以（）＜0，即m2＜4‎ 又因为m＞1且△＞0‎ 所以1＜m＜2．‎ 所以m的取值范围是（1，2）．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2010•浙江）已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，‎ ‎（Ⅰ）求b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设x1，x2，x3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某种排列xi1，xi2，xi3，xi4（其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【专题】导数的综合应用．‎ ‎【分析】先求出函数f（x）的导函数f′（x）=ex（x﹣a）[x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a]，令g（x）=x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a，讨论g（x）=0的两个实根x1，x2是否为a，从而确定x=a是否是f（x）的一个极大值点，建立不等关系即可求出b的范围．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）f′（x）=ex（x﹣a）[x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a]，‎ 令g（x）=x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a，‎ 则△=（3﹣a+b）2﹣4（2b﹣ab﹣a）=（a+b﹣1）2+8＞0，‎ 于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．‎ ‎①当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．‎ ‎②当x1≠a且x2≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x1＜a＜x2．‎ 即g（a）＜0，‎ 即a2+（3﹣a+b）a+2b﹣ab﹣a＜0，‎ 所以b＜﹣a，‎ 所以b的取值范围是：（﹣∞，﹣a）．‎ ‎（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，则 ‎①当x2﹣a=a﹣x1时，则x4=2x2﹣a或x4=2x1﹣a，于是2a=x1+x2=a﹣b﹣3，即b=﹣a﹣3．‎ 此时x4=2x2﹣a=a﹣b﹣3+﹣a=a+2，‎ 或x4=2x1﹣a=a﹣b﹣3﹣﹣a=a﹣2，‎ ‎②当x2﹣a≠a﹣x1时，则x2﹣a=2（a﹣x1）或a﹣x1=2（x2﹣a），‎ ‎（ⅰ）若x2﹣a=2（a﹣x4），则x4=，于是3a=2x1+x2=，‎ 即 =﹣3（a+b+3），于是a+b﹣1=，‎ 此时x4===﹣b﹣3=a+．‎ ‎（ⅱ）若a﹣x1=2（x2﹣a），则x4=，‎ 于是3a=2x2+x1=，‎ 即 =3（a+b+3），于是a+b﹣1=．‎ 此时x2===﹣b﹣3=a+．‎ 综上所述，存在b满足题意．当b=﹣a﹣3时，x4=a±2；‎ 当b=﹣a﹣时，x4=a+；‎ 当b=﹣a﹣时，x4=a+．‎ ‎【点评】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．‎