2015高考数学人教A版本(3-4定积分与微积分基本定理)一轮复习学案

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2015高考数学人教A版本(3-4定积分与微积分基本定理)一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 3-4定积分与微积分基本定理课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(2013·山东济南一模)设a=dx,b=dx,c=dx,则下列关系式成立的是(  )‎ A.<< B.<< C.<< D.<< ‎[答案] C ‎[解析] ∵a=dx=ln2,b=dx=ln3,c=dx=ln5,‎ ‎∴=ln2=ln,=ln3=ln,=ln5=ln,而<<,∴<<,选C.‎ ‎2.‎ ‎(2012·深圳第一次调研)如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 依题意得,区域M的面积等于2sinxdx=-2cosx|=4,圆O的面积等于π×π2=π3,因此点A落在区域M内的概率是,选B.‎ ‎3.(2013·湖北理,7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是(  )‎ A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由于v(t)=7-3t+,且汽车停止时速度为0,‎ 因此由v(t)=0可解得t=4,‎ 即汽车从刹车到停止共用4s.‎ 该汽车在此期间所行驶的距离 s=(7-3t+)dt=[7t-+25ln(t+1)]| ‎=4+25ln5(m).‎ ‎4.曲线y=cosx(0≤x≤2π)与直线y=1所围成的图形面积是(  )‎ A.2π B.3π C. D.π ‎[答案] A ‎[解析] 如图,‎ S=∫(1-cosx)dx ‎=(x-sinx)|=2π.‎ ‎[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为,则对称性就无能为力了.‎ ‎5.(2013·安徽联考)设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足f ′(x)dx=0的实数a有________个.(  )‎ A.3    B.‎2 ‎   C.1    D.0‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵f ′(x)dx=f(a)-f(0)=0,∴a=0或1或-1,又由积分性质知a>0,故a ‎=1,选C.‎ ‎6.(2013·保定调研)已知函数f(x)=,‎ ‎ (  )‎ A. B.1‎ C.2 D. ‎[答案] D ‎[解析] ‎ 二、填空题 ‎7.‎ ‎(2013·济宁一模)如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4).曲线y=ax2经过点B,现将一质点随机投入正方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是 ‎________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ∵y=ax2过点B(2,4),∴a=1,‎ ‎∴所求概率为1-=.‎ ‎8.(2013·湖南省五市十校联考)(ex+x)dx=________.‎ ‎[答案] e- ‎[解析] (ex+x)dx=(ex+x2)|=e+-1=e-.‎ ‎9.(2013·滨州一模)设a=sinxdx,则二项式(a-)6展开式的常数项等于________.‎ ‎[答案] -160‎ ‎[解析] a=sinxdx=-cosx|=2,Tr+1=C(2)6-rr=(-1)r26-rCx3-r,‎ ‎∵Tr+1为常数项,∴3-r=0,∴r=3,‎ ‎∴常数项为(-1)3×23×C=-160.‎ ‎10.(2013·北京东城区检测)图中阴影部分的面积等于________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] 由题知所求面积为3x2dx=x3|=1.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11.(2013·长春一模)与定积分∫dx相等的是(  )‎ A.∫sindx B.∫|sin|dx C.|∫sindx| D.以上结论都不对 ‎[答案] B ‎[解析] ∵1-cosx=2sin2,‎ ‎∴∫dx=∫|sin|dx ‎=∫|sin|dx.‎ ‎12.(2013·日照一模)设(+x2)3的展开式中的常数项为a,则直线y=ax与直线y=x2围成图形的面积为(  )‎ A. B.9‎ C. D. ‎[答案] C ‎[解析] (+x2)3,即(x2+)3的通项Tr+1=C(x2)3-r()r=Cx6-3r,令6-3r=0,得r=2,∴常数项为3.‎ 则直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为S=(3x-x2)dx=(x2-x3)|=.故选C.‎ ‎13.(2013·山西诊断)若函数,则f(2012)=(  )‎ A.1 B.2‎ C. D. ‎[答案] C ‎[解析] ‎ 二、填空题 ‎14.(2013·江西省七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=∫dx(n∈N*),则S100=________.‎ ‎[答案] ln101‎ ‎[解析] 依题意,an=lnx|=ln(n+1)-lnn,因此S100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln101-ln100)=ln101.‎ ‎15.抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积为________.‎ ‎[答案] 18‎ ‎[解析] 由方程组解得两交点A(2,2)、B(8,-4),选y作为积分变量,x=、x=4-y 三、解答题 ‎16.‎ 已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,求a的值.‎ ‎[解析] f ′(x)=-3x2+2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b=0,‎ ‎∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).‎ ‎∴S阴影=[0-(-x3+ax2)]dx ‎=(x4-ax3)|=a4=,‎ ‎∵a<0,∴a=-1.‎ 考纲要求 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义.‎ 补充说明 ‎1.掌握本节内容需熟记微积分基本定理及积分的三条性质;明确曲边梯形面积(只取正值)与定积分(任意实数)的关系.抓住三个考点:定积分的计算,已知定积分求参数值,定积分的应用.‎ ‎2.用定义求定积分的一般方法是:‎ ‎①均匀分割:n等分区间[a,b];‎ ‎②近似代替:取点ξi∈[xi-1,xi];‎ ‎③求和:(ξi)·;‎ ‎④取极限:f(x)dx=li(ξi)·.‎ ‎3.由两条直线x=a、x=b(a<b)、两条曲线y=f(x)、y=g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积:‎ S=[f(x)-g(x)]dx(如图).‎ ‎4.本节重点体会数形结合思想,无限逼近的极限思想.‎ 备选习题 ‎1.设集合P={x|(3t2-10t+6)dt=0,x>0},则集合P的非空子集个数是(  )‎ A.2    B.‎3 ‎   C.7    D.8‎ ‎[答案] B ‎[解析] 依题意得(3t2-10t+6)dt=(t3-5t2+6t)|=x3-5x2+6x=0,由此解得x=0或x=2或x=3.又x>0,因此集合P={2,3},集合P的非空子集的个数是22-1=3,选B.‎ ‎2. (  )‎ A.0 B. C.2 D.4‎ ‎[答案] C ‎[解析]  ‎ ‎3.设f(x)=(1-t)3dt,则f(x)的展开式中x的系数是(  )‎ A.-1 B.1‎ C.-4 D.4‎ ‎[答案] B ‎[解析] f(x)=(1-t)3dt=-(1-t)4|=-(1-x)4,故展开式中x的系数为-×(-C)=1,故选B.‎ ‎4.(2013·郑州二测)等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=4xdx,则公比q的值为(  )‎ A.1 B.- C.1或- D.-1或- ‎[答案] C ‎[解析] 因为S3=4xdx=2x2|=18,所以++6=18,化简得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-,故选C.‎ ‎5.(2012·太原模拟)已知(xlnx)′=lnx+1,则lnxdx=(  )‎ A.1 B.e C.e-1 D.e+1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由(xlnx)′=lnx+1,联想到(xlnx-x)′=(lnx+1)-1=lnx,于是lnxdx=(xlnx-x)|=(elne-e)-(1×ln1-1)=1.‎ ‎6.‎ ‎(2014·河源龙川一中月考)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于(-x2)dx=(x-x3)|=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.‎
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