2020届二轮复习放缩法证明数列不等式教案(全国通用)

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2020届二轮复习放缩法证明数列不等式教案(全国通用)

微专题57 放缩法证明数列不等式 一、基础知识:‎ ‎ 在前面的章节中,也介绍了有关数列不等式的内容,在有些数列的题目中,要根据不等式的性质通过放缩,将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 ‎1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质:‎ ‎(1)传递性:若,则(此性质为放缩法的基础,即若要证明,但无法直接证明,则可寻找一个中间量,使得,从而将问题转化为只需证明即可 )‎ ‎(2)若,则,此性质可推广到多项求和:‎ 若,则: ‎ ‎(3)若需要用到乘法,则对应性质为:若,则,此性质也可推广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数 注:这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 ‎2、放缩的技巧与方法:‎ ‎(1)常见的数列求和方法和通项公式特点:‎ ‎① 等差数列求和公式:,(关于的一次函数或常值函数)‎ ‎② 等比数列求和公式:,(关于的指数类函数)‎ ‎③ 错位相减:通项公式为“等差等比”的形式 ‎④ 裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项 ‎(2)与求和相关的不等式的放缩技巧:‎ ‎① 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ‎② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)‎ ‎③ 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。‎ ‎④ 若放缩后求和发现放“过”‎ 了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择:第一个方法是微调:看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。‎ ‎(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧:‎ ‎① 裂项相消:在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)‎ ‎② 等比数列:所面对的问题通常为“常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足 ,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,,常数可视为的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数,即可猜想该等比数列的首项为,公比为,即通项公式为 。‎ 注:此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响 ‎(4)与数列中的项相关的不等式问题:‎ ‎① 此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ‎② 在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即或(累乘时要求不等式两侧均为正数),然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为,另一侧为求和的结果,进而完成证明 ‎3、常见的放缩变形:‎ ‎(1),其中:可称为“进可攻,退可守”,可依照所证不等式不等号的方向进行选择。‎ 注:对于,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,例如:,这种放缩的尺度要小于(1)中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的,如:‎ ‎(2),从而有:‎ 注:对于还可放缩为:‎ ‎(3)分子分母同加常数:‎ 此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向,到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。‎ ‎(4) ‎ ‎ ‎ 可推广为:‎ ‎ ‎ 二、典型例题:‎ 例1:已知数列的前项和为,若,且 ‎ ‎(1)求证:数列是等差数列,并求出的通项公式 ‎(2)设,数列的前项和为,求证: ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎,由令可得:‎ ‎ ‎ ‎ ,验证符合上式 ‎ ‎ ‎(2) 由(1)得: ‎ 可知当时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 不等式得证 例2:设数列满足:,设为数列的前项和,已知, ‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)求证:对任意的且,有 ‎ 解:(1) 为公比是的等比数列 ‎ ‎ 在中,令,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是公比为的等比数列 ‎ ‎ ‎(2)证明: ‎ 例3:已知正项数列的前项和为,且 ‎(1)求证:数列是等差数列 ‎(2)记数列,证明:‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ 为等差数列 ‎(2)思路:先利用(1)可求出的公式进而求出,则,考虑进行放缩求和,结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。‎ 解:令代入可得:‎ 即 由为等差数列可得:‎ ‎ ‎ 考虑先证 ‎ 时 时,‎ 再证 综上所述: ‎ 小炼有话说:本题在证明中用到一个常见的根式放缩:‎ 例4:已知数列满足 ‎(1)求证:数列是等比数列,并求出数列的通项公式 ‎(2)设,求证:‎ 解:(1)‎ ‎ 是公比为的等比数列 ‎(2)思路:,无法直接求和,所以考虑放缩成为可求和的通项公式(不等号:),若要放缩为裂项相消的形式,那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有,故分子分母通乘以,再进行放缩调整为裂项相消形式。‎ 解:‎ 而 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 小炼有话说:(1)本题先确定放缩的类型,向裂项相消放缩,从而按“依序同构”的目标进行构造,在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。‎ ‎(2)‎ 在求和过程中需要若干项不动,其余进行放缩,从而对求和的项数会有所要求(比如本题中才会有放缩的情况),对于较少项数要进行验证。‎ 例:已知数列的前项和,且 ‎(1)求 ‎(2)求数列的前项和 ‎(3)设数列的前项和,且满足,求证:‎ 解:(1)在中,令可得:‎ ‎(2) ①‎ ‎ ②‎ ‎① ②可得:‎ ‎ ‎ 是公差为6的等差数列 ‎(3)由(2)可得:‎ ‎ ‎ 例6:已知数列满足 ‎ ‎(1)试判断数列是否为等比数列,并说明理由 ‎(2)设,数列的前项和为,求证:对任意的 ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ 为公比是的等比数列 ‎(2)思路:首先由(1)可求出的通项公式,对于可发现为奇数时,,为偶数时,,结合通项公式可将其写成,从而求出,无法直接求和,所以考虑对通项公式进行放缩,可联想到等比数列,进而,求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整(需前两项不动)即可。‎ 解:,由(1)可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ‎ ‎ ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ 因为为正项数列 ‎ ‎ ‎ 例7:已知数列满足:,且 ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)证明:对于一切正整数,均有 解:(1)‎ 设即 ‎ ‎ 为公比是的等比数列 ‎ 而 ‎ ‎ ‎(2)思路:所证不等式可化简为:,由于是连乘形式,所以考虑放缩为分子分母可相消的特点,观察分母的形式为,所以结合不等号方向,将分子向该形式转化:,再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。‎ 证明:所证不等式为:‎ 等价于证明:‎ 设 ‎ ‎ ‎ 即不等式得证 小炼有话说:(1)对于一侧是连乘形式的表达式,在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。‎ ‎(2)本题中用到了分式放缩的常用方法:通过分子分母加上相同的数达到放缩目的,但要注意不等号的方向(建议验证),常用的放缩公式为:(分子小与分母),(分子大于分母)‎ 例8:已知函数 ‎(1)若函数在处切线斜率为,,已知,求证:‎ ‎(2)在(1)的条件下,求证:‎ 解:(1)‎ 整理后可得:‎ ‎ ‎ 下面用数学归纳法证明:‎ 当时,成立 假设成立,则时 ‎ ‎ 时,不等式成立 ‎(2)‎ 由(1)可知 ‎ 例9:已知数列的各项均为正值,对,,且 ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)当且时,证明对,都有成立 解:(1)‎ ‎ 由可得:‎ 为公比是的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:所证不等式为:左边含有两个变量,考虑通过消元简化所证不等式。设,则只需证明:,易知为递增数列。所以只需证明,即,左边共项,结合的特点可考虑将项分为3组:‎ ‎,再求和即证不等式 解:所证不等式由(1)可得:‎ ‎ 只需证:‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为递增数列 ‎ ‎ 只需证 而 例10:数列是公差不为零的等差数列,,数列满足:‎ ‎(1)当时,求证: ‎ ‎(2)当且时,为等比数列 ‎① 求 ‎ ‎② 当取最小值时,求证: ‎ 解:(1)由可得: ‎ ‎ ‎ 两式相除可得: ‎ ‎(2)① 思路:本题的突破口在于既在等差数列中,又在等比数列中,从而在两个不同风格的数列中均能够用进行表示,然后便 得到与的关系式,抓住的特点即可求出的值 为等差数列 ‎ ‎ ‎ 另一方面,为等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可视为以为首项,为公比的等比数列前项和 ‎ ‎ ‎ ‎ 能够被6整除 且 ‎ 或 ‎ 经检验:或均符合题意 ‎② 思路:所证不等式两侧均为数列求和的形式,所以先观察两侧是否有能直接求和的式子,从而化简一侧的表达式,由(1)和(2)①可知,,,所以对于右侧,显然无法直接找到求和方法。而对于,虽然没有通项公式,但 可对向可求和的方式进行变形,得到,从而可想到利用裂项相消的方式进行求和,得到。对于右侧只能考虑进行放缩,针对的特点可向等比数列靠拢,结合不等号方向可得:。所以。于是所证的不等式就变为只需证明,即证明,考虑对进行放缩,抓住这个特点,由已知可得为递增数列,则,但右侧为,无法直接放缩证明,所以要对的放缩进行调整,计算出可得,进而,但此时只能证明时,不等式成立。对于有限的项,逐次验证即可。‎ 由(1)可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 只需证明:即可 即证明: ‎ 由可知为递增数列 ‎ ‎ 由可得: ‎ ‎ ‎ ‎ 时, ‎ 时, ‎ 当时,可知成立 得证 时,‎ 成立 当时, ‎ 当时,,‎ ‎ ‎ 综上所述:恒成立
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