2020届二轮复习求圆锥曲线方程学案（全国通用）

2020届二轮复习求圆锥曲线方程学案（全国通用）

微专题71 求曲线（或直线）的方程 一、基础知识：‎ ‎1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理 ‎2、所学方程中字母的几何意义 ‎（1）直线：：斜率；：直线所过的定点 ‎（2）圆：:圆心的坐标； 圆的半径 ‎（3）椭圆：：长轴长，焦半径的和； 短轴长；：焦距 ‎（4）双曲线：：实轴长，焦半径差的绝对值； 虚轴长；：焦距 注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着展开，通过这些条件也可以求出的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：‎ 离心率：；通径（焦点弦长的最小值）：等 ‎（5）抛物线： 焦准距 ‎3、待定系数法中方程的形式：‎ ‎（1）直线与曲线方程通式：‎ ‎① 直线：，‎ ‎② 圆：‎ ‎③ 椭圆：‎ 标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）‎ 椭圆方程通式：‎ ‎④ 双曲线：‎ 标准方程：（或，视焦点所在轴决定）‎ 双曲线方程通式：‎ ‎⑤ 抛物线：‎ 标准方程：等 抛物线方程通式：，‎ ‎（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下：‎ ‎① 过相交直线的交点的直线系方程为：‎ 即（其中为参数）‎ ‎② 与直线平行的直线系方程为：（其中为参数）‎ ‎③ 与直线垂直的直线系方程为：（其中为参数）‎ ‎④ 过相交两圆交点的圆系方程为：‎ 即 ‎⑤ 若直线与圆有公共点，则过公共点的圆系方程为：‎ 即 ‎⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：‎ 二、典型例题：‎ 例1：已知椭圆的长轴长为4，若点是椭圆 上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，且，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由已知可得，所以只需利用条件求出的值即可，设，，则。则，从而，由分子分母平方差的特点及在椭圆上联想到点差法，得：，所以 即，所以椭圆方程为 答案：D 例2：椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为，且 ‎ ‎（1）求椭圆的离心率 ‎（2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，，求直线的方程及椭圆的方程 解：（1）由椭圆方程可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可得椭圆方程为： ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 由已知可得，直线的方程为 ‎ 联立方程：，消去可得：，即：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，解得： ‎ 经检验：当，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件 椭圆方程为 ‎ 例3：已知直线，椭圆，‎ ‎（1）若无论为何值，直线与椭圆均有公共点，试求的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式 ‎（2）当时，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若，求椭圆的方程 解：（1）由可知直线过定点 ‎ 与恒有公共点 在椭圆上或椭圆内 ‎ ‎ ‎ ‎ 的范围为 ‎ 若，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述： ‎ ‎（2）由已知可得：， ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 联立直线与椭圆方程可得：‎ ‎，消去可得：，整理后可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得： ‎ ‎，即，解得：‎ 或（舍）‎ 椭圆方程为 ‎ 例4：过点，向椭圆引两条切线，切点分别为，且为正三角形，则最大时椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由题意可知本题确定值的关键在于达到最大值时，的取值，那么需要得到关于的关系（等式或不等式），作出图形可知，若为正三角形，则的斜率为，进而能够得到的方程。以为例：，与椭圆方程联立并消元可得到：，所以，‎ 则考虑利用均值不等式得到，等号成立条件为，再结合即可求出的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知： ‎ 的方程为： ，联立方程：‎ ‎，消去：，整理后可得：‎ 与椭圆相切 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 由均值不等式可得： ‎ ‎ （等号成立条件为：）‎ 的最大值为，此时 椭圆方程为：‎ 答案：D 例5：已知点是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的两个端点，且是正三角形 ‎（1）求椭圆的离心率 ‎（2）直线与以为直径的圆相切，并且被椭圆截得的弦长的最大值为，求椭圆的标准方程 解：（1）设椭圆标准方程为，焦距为，由是正三角形 可得：，因为 解得：‎ ‎（2）由（1）可得椭圆的方程为：，‎ 设与椭圆的交点为 若斜率不存在，可得弦长 若斜率存在，设，联立方程：‎ ‎，整理可得：‎ 与圆相切 ‎， 代入到上式可得：‎ ‎（等号成立条件：）‎ ‎ ‎ ‎ 椭圆方程为：‎ 例6：设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为 ‎（1）求的离心率 ‎（2）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程 解（1）由在线段上和可得：‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）中，可设 由可得：，设的对称点 依题意可得：‎ 可解得： 椭圆方程为 例7：已知椭圆 的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为 ‎ ‎（1）求椭圆的离心率 ‎（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆 经过两点，求椭圆的方程 解：（1）过的直线的方程为： ‎ ‎ ‎ ‎，由可得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可得： ‎ 椭圆方程为： ‎ 由圆方程可得： ‎ 设 ‎ ‎ ‎ 设，联立方程：‎ ‎ 消去可得：，整理后可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎ 例8：已知双曲线的两个焦点为，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足，若成等比数列，则双曲线的方程为__________‎ 解：成等比数列 ‎ ‎ 由渐近线方程可知：，不妨设在右支上 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 由中线定理可知： ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 由可知 双曲线方程为： ‎ 答案：‎ 小炼有话说：‎ 中线定理：已知为中底边的中线，则有，证明如下：在中，由余弦定理可知：‎ ‎ ①‎ 同理，在中，有：‎ ‎ ②‎ ‎ 且由是中点可知： ‎ 可得： ‎ ‎，即 例9：（2014，福建）已知双曲线的两条渐近线分别为， ‎ ‎（1）求双曲线的离心率 ‎（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在请说明理由 解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）若直线不与轴垂直，设 联立方程： ，同理可得 设直线与轴交于 ‎ 即 ‎ 由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知： ‎ ‎ ‎ 由（1）可得双曲线方程为：‎ 联立与双曲线方程：‎ ‎ ‎ 因为与双曲线相切 ‎ ‎ 整理可得： ‎ 所以 双曲线方程为：‎ 存在一个总与相切的双曲线，其方程为 例10：已知分别为曲线与轴的左，右两个交点，直线过点且与轴垂直，为上异于点的点，且在第一象限，连结与曲线交于点 ‎ ‎（1）若曲线为圆，且，求弦的长 ‎（2）设是以为直径的圆与线段的交点，若三点共线，求曲线的方程 解：（1）若曲线为圆，则可知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的方程： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由已知可得：，设直线 ‎ ‎ ‎ 联立直线与椭圆方程可得：，整理后可得：‎ ‎ ‎ 可知该方程的两根为：，由韦达定理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ，即 ‎ 共线，且为圆的直径 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，即解得： ‎ ‎ 曲线的方程： ‎