2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷）

1 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的． 1．设集合 ，集合 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．如图，在复平面内，点 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是（ ） （A） （B） （C） （D） 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 4．设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集．若命题 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 5．函数 的部分图象如图所示，则 的值分别 是（ ） { | 2 0}A x x= + = 2{ | 4 0}B x x= − = A B = { 2}− {2} { 2,2}− ∅ A z z y x DB A O C A B C D x Z∈ A B : ,2p x A x B∀ ∈ ∈ : ,2p x A x B¬ ∀∃ ∈ ∉ : ,2p x A x B¬ ∀ ∉ ∉ : ,2p x A x B¬ ∃ ∉ ∈ : ,2p x A x B¬ ∃ ∈ ∈ ( ) 2sin( ),( 0, )2 2f x x π πω ϕ ω ϕ= + > − < < ,ω ϕ 2 （A） （B） （C） （D） 6．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．函数 的图象大致是（ ） 8．从 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ，共可得到 的不 同值的个数是（ ） （A） （B） （C） （D） 9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后， 它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 10．设函数 （ ， 为自然对数的底数）．若曲线 上存在 使得 ，则 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 2, 3 π− 2, 6 π− 4, 6 π− 4, 3 π 2 4y x= 2 2 13 yx − = 1 2 3 2 1 3 2 3 1x xy = − 1,3,5,7,9 ,a b lg lga b− 9 10 18 20 1 4 1 2 3 4 7 8 ( ) xf x e x a= + − a R∈ e siny x= 0 0( , )x y 0 0( ( ))f f y y= a [1, ]e 1[ ,-11]e− ， [1, 1]e + 1[ -1, 1]e e− + 3 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．二项式 的展开式中，含 的项的系数是_________．（用数字作答） 12．在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则 _________． 13．设 ， ，则 的值是_________． 14．已知 是定义域为 的偶函数，当 ≥ 时， ，那么，不等式 的解集是________ ． 15．设 为平面 内的 个点，在平面 内的所有点中，若点 到 点的距离之和最小，则称点 为 点的一个“中位点”．例如，线段 上的任 意点都是端点 的中位点．则有下列命题： ①若 三个点共线， 在线 AB 上，则 是 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分 12 分) 在等差数列 中， ，且 为 和 的等比中项，求 数列 的首项、公差及前 项和． 17．(本小题满分 12 分) 在 中，角 的对边分别为 ，且 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ， ，求向量 在 方向上的投影． 18．(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 在 这 个整数中等可能随机产生． （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 的值为 的概率 ； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 次后，统计记录 了输出 的值为 的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 5( )x y+ 2 3x y ABCD AC BD O AB AD AOλ+ =   λ = sin 2 sinα α= − ( , )2 πα π∈ tan 2α ( )f x R x 0 2( ) 4f x x x= − ( 2) 5f x + < 1 2, , , nP P P α n α P 1 2, , , nP P P P 1 2, , , nP P P AB ,A B , ,A B C C C , ,A B C , , ,A B C D { }na 2 1 8a a− = 4a 2a 3a { }na n ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 32cos cos sin( )sin cos( )2 5 A B B A B B A C − − − + + = − cos A 4 2a = 5b = BA BC x 1,2,3, ,24⋅⋅⋅ 24 y i ( 1,2,3)iP i = n y ( 1,2,3)i i = 4 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分） 当 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 的值为 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 的值为 2 的次数 的分布列及数学期 望． 19．(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， 分别是线段 的中点， 是线段 的中点． （Ⅰ）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ，说明理由，并证明直线 平面 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 交 于点 ，交 于点 ，求二面角 的余弦 值． 2100n = y ( 1,2,3)i i = y ξ 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 12AB AC AA= = 120BAC∠ =  1,D D 1 1,BC B C P AD ABC P 1A BC l l ⊥ 1 1ADD A l AB M AC N 1A A M N− − 运行 次数 输出 的 值 为 的频数 输出 的 值 为 的频数 输出 的 值 为 的频数 … … … … 运行 次数 输出 的 值 为 的频数 输出 的 值 为 的频数 输出 的 值 为 的频数 … … … … n y 1 y 2 y 3 30 14 6 10 2100 1027 376 697 n y 1 y 2 y 3 30 12 11 7 2100 1051 696 353 5 20 ． ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 椭 圆 ： 的 两 个 焦 点 分 别 为 ，且椭圆 经过点 ． （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段 上的点，且 ，求点 的轨迹方程． 21．(本小题满分 14 分)已知函数 ，其中 是实数．设 ， 为该函数图象上的两点，且 ． （Ⅰ）指出函数 的单调区间； （Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线互相垂直，且 ，求 的最小值； （Ⅲ）若函数 的图象在点 处的切线重合，求 的取值范围． D1 DC B A1 B1 C1 A P C 2 2 2 2 1,( 0)x y a ba b + = > > 1 2( 1,0), (1,0)F F− C 4 1( , )3 3P C (0,2)A l C M N Q MN 2 2 2 2 1 1 | | | | | |AQ AM AN = + Q 2 2 , 0( ) ln , 0 x x a xf x x x  + + <=  > a 1 1( , ( ))A x f x 2 2( , ( ))B x f x 1 2x x< ( )f x ( )f x ,A B 2 0x < 2 1x x− ( )f x ,A B a 6 参考答案 一、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 50 分. 1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 25 分. 11.10 12.2 13. 14. 15.①④ 三、解答题:共 6 小题,共 75 分. 16.解：设该数列公差为 ,前 项和为 .由已知,可得 . 所以 , 解得 ,或 ,即数列 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 项和 或 . ………….12 分 17.解： 由 ,得 , 即 , 则 ,即 . ………….. 5 分 由 ,得 , 由正弦定理,有 ,所以, . 由题知 ,则 ,故 . 根据余弦定理,有 , 解得 或 (舍去). 故向量 在 方向上的投影为 . ………….12 分 18. 解： .变量 x 是在 1,2,3，……24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，故 ； 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 ; 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，故 . ……………3 分 当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下： 3 ( 7,3)− d n ns ( ) ( )( )2 1 1 1 12 2 8, 3 8a d a d a d a d+ = + = + + ( )1 14, 3 0a d d d a+ = − = 1 4, 0a d= = 1 1, 3a d= = { }na n 4ns n= 23 2n n ns −= ( )Ι ( ) ( )2 32cos cos sin sin cos2 5 A B B A B B A C − − − + + = − ( ) ( ) 3cos 1 cos sin sin cos 5A B B A B B B− + − − − = −   ( ) ( ) 3cos cos sin sin 5A B B A B B− − − = − ( ) 3cos 5A B B− + = − 3cos 5A = − ( )ΙΙ 3cos ,05A A π= − < < 4sin 5A = sin sin a b A B = sin 2sin 2 b AB a = = a b> A B> 4B π= ( )2 2 2 34 2 5 2 5 5c c  = + − × × −   1c = 7c = − BA BC 2cos 2BA B = ( )Ι 1 1 2p = 2 1 3p = 3 1 6p = ( )ΙΙ 7 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ………7 分 （3）随机变量 可能饿取值为 0,1,2,3. 故 的分布列为 所以 即 的数学期望为 1. ………12 分 19.解： 如图,在平面 内,过点 做直线 // ,因为 在平面 外, 在平面 内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面 . 由已知, , 是 的中点,所以, ,则直线 . 因为 平面 ,所以 直线 .又因为 在平面 内,且 与 相 交 , 所 以 直 线 平 面 . …………………………………………………………………………….6 分 解法一: 连接 ,过 作 于 ,过 作 于 ,连接 . 由 知, 平面 ,所以平面 平面 . 所以 平面 ,则 . 所以 平面 ,则 . 故 为二面角 的平面角(设为 ). ξ 0 3 0 3 1 2 8( 0) 3 3 27p Cξ    = = × =       1 2 1 3 1 2 4( 1) 3 3 9p Cξ    = = × =       2 1 2 3 1 2 2( 2) 3 3 9p Cξ    = = × =       3 0 3 3 1 2 1( 3) 3 3 27p Cξ    = = × =       ξ 8 4 2 10 1 2 3 127 9 9 27Eξ = × + × + × + × = ξ ( )Ι ABC P l BC l 1A BC BC 1A BC l 1A BC AB AC= D BC BC AD⊥ l AD⊥ 1AA ⊥ ABC 1AA ⊥ l 1,AD AA 1 1ADD A AD 1AA 1 1ADD A ( )ΙΙ 1A P A 1AE A P⊥ E E 1EF A M⊥ F AF ( )Ι MN ⊥ 1AEA 1AEA ⊥ 1A MN AE ⊥ 1A MN 1A M AE⊥ 1A M ⊥ AEF 1A M ⊥ AF AFE∠ 1A A M N− − θ 输出 的值 为 的频率 输出 的值 为 的频率 输出 的值 为 的频率 甲 乙 y 1 y 2 y 3 1027 2100 376 2100 697 2100 1051 2100 696 2100 353 2100 ξ 0 1 2 3 p 8 27 4 9 2 9 1 27 8 设 ,则由 , ,有 , . 又 为 的中点,所以 为 的中点,且 , 在 中, ;在 中, . 从而, , , 所以 . 所以 . 故二面角 的余弦值为 . ………………12 分 解法二: 设 .如图,过 作 平行于 ,以 为坐标原点,分别以 , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系 (点 与点 重合). 则 , . 因为 为 的中点,所以 分别为 的中点, 故 , 所以 , , . 设平面 的一个法向量为 ,则 即 故有 1 1AA = 12AB AC AA= = 120BAC∠ =  60BAD∠ =  2, 1AB AD= = P AD M AB 1 , 12AP AM= = 1Rt AA P 1 5 2A P = 1Rt A AM 1 2A M = 1 1 1 5 AA APAE A P •= = 1 1 1 2 AA AMAF A M •= = 2sin 5 AE AF θ = = 2 2 2 15cos 1 sin 1 55 θ θ  = − = − =    1A A M N− − 15 5 1 1AA = 1A 1A E 1 1B C 1A 1 1 1,A E A D  1AA x y z Oxyz O 1A ( )1 0,0,0A ( )0,0,1A P AD ,M N ,AB AC 3 1 3 1, ,1 , , ,12 2 2 2M N    −          1 3 1, ,12 2A M  =      ( )1 0,0,1A A = ( )3,0,0NM = 1AA M ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 1 1 , , n A M n A A  ⊥ ⊥   1 1 1 1 0, 0, n A M n A A  • = • =   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 1, , , ,1 0,2 2 , , 0,0,1 0, x y z x y z   • =       • = 9 从而 取 ,则 ,所以 . 设平面 的一个法向量为 ,则 即 故有 从而 取 ,则 ,所以 . 设二面角 的平面角为 ,又 为锐角, 则 . 故二面角 的余弦值为 . ………………12 分 20．解： 所以， . 又由已知， , 所以椭圆 C 的离心率 ……………4 分 由 知椭圆 C 的方程为 . 设点 Q 的坐标为(x,y). (1) 当直线 与 轴垂直时，直线 与椭圆 交于 两点，此时 点坐标为 (2) 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 . 因为 在直线 上，可设点 的坐标分别为 ，则 . 又 由 ，得 ，即 1 1 1 1 3 1 0,2 2 0. x y z z  + + =  = 1 1x = 1 3y = − ( )1 1, 3,0n = − 1A MN ( )2 2 2 2, ,n x y z= 2 1 2 , , n A M n NM  ⊥ ⊥   2 1 2 0, 0, n A M n NM  • = • =   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 1, , , ,1 0,2 2 , , 3,0,0 0, x y z x y z   • =       • = 2 2 2 2 3 1 0,2 2 3 0. x y z x  + + =  = 2 2y = 2 1z = − ( )2 0,2, 1n = − 1A A M N− − θ θ ( ) ( ) 1 2 1 2 1, 3,0 0,2, 1 15cos 52 5 n n n n θ − • −•= = =• • 1A A M N− − 15 5 2 2 2 2 1 2 4 1 4 12 1 1 2 23 3 3 3a PF PF        = + = + + + − + =               2a = 1c = 1 2 22 ce a = = = ( )ΙΙ ( )Ι 2 2 12 x y+ = l x l C ( ) ( )0,1 , 0, 1− Q 3 50,2 5  −    l x l 2y kx= + ,M N l ,M N 1 1 2 2( , 2),( , 2)x kx x kx+ + 2 22 2 2 2 1 2(1 ) , (1 )AM k x AN k x= + = + ( )2 22 2 22 (1 ) .AQ x y k x= + − = + 2 2 2 2 1 1 AQ AM AN = + ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1k x k x k x = + + + + 10 ① 将 代入 中，得 ② 由 得 . 由②可知 代入①中并化简，得 ③ 因 为 点 在 直 线 上 ， 所 以 ， 代 入 ③ 中 并 化 简 ， 得 . 由③及 ，可知 ,即 . 又 满足 ，故 . 由题意， 在椭圆 内部，所以 ， 又由 有 且 ，则 . 所 以 点 的 轨 迹 方 程 是 ， 其 中 ， ， ………..13 分 21．解： 函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 由导数的几何意义可知，点 A 处的切线斜率为 ，点 B 处的切线斜率为 ， 故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时，有 . 当 时，对函数 求导，得 . 因为 ，所以 ， 所以 . 因此 当且仅当 = =1，即 时等号成立. 所以函数 的图象在点 处的切线互相垂直时， 的最小值为 1…………7 分 ( )2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 1 1 x x x x x x x x x + −= + = 2y kx= + 2 2 12 x y+ = ( )2 22 1 8 6 0k x kx+ + + = ( ) ( )2 28 4 2 1 6 0,k k∆ = − × + × > 2 3 2k > 1 2 1 22 2 8 6, ,2 1 2 1 kx x x xk k + = − =+ + 2 2 18 10 3x k = − Q 2y kx= + 2yk x −= ( )2 210 2 3 18y x− − = 2 3 2k > 2 30 2x< < 6 6,0 0,2 2x    ∈ −          3 50,2 5  −    ( )2 210 2 3 18y x− − = 6 6,2 2x  ∈ −    ( ),Q x y C 1 1y− ≤ ≤ ( )2 210 2 18 3y x− = + ( )2 9 92 ,5 4y  − ∈   1 1y− ≤ ≤ 1 3 5,22 5y  ∈ −   Q ( )2 210 2 3 18y x− − = 6 6,2 2x  ∈ −    1 3 5,22 5y  ∈ −   ( )Ι ( )f x ( ), 1−∞ − [ )1,0− ( )0,+∞ ( )ΙΙ ( )1f x′ ( )2f x′ ( ) ( )1 2 1f x f x′ ′ = − 0x < ( )f x ( ) 2 2f x x′ = + 1 2 0x x< < ( )( )1 22 2 2 2 1x x+ + = − ( ) ( )1 22 2 0, 2 2 0x x+ < + > ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 12x x x x x x− = − + + + ≥ − + + =   ( )12 2x− + ( )22 2x + 1 2 3 1 2 2x x= − =且 ( )f x ,A B 2 1x x− 11 当 或 时， ，故 . 当 时，函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 当 时，函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 . 两切线重合的充要条件是 由①及 知， . 由①②得， . 设 ， 则 . 所以 是减函数. 则 ， 所以 . 又当 且趋近于 时， 无限增大，所以 的取值范围是 . 故当函数 的图像在点 处的切线重合时， 的取值范围是 .14 分 。 ( )ΙΙΙ 1 2 0x x< < 2 1 0x x> > ( ) ( )1 2f x f x′ ′≠ 1 20x x< < 1 0x < ( )f x ( )( )1 1,x f x ( ) ( )( )2 1 1 1 12 2 2y x x a x x x− + + = + − ( ) 2 1 12 2y x x x a= + − + 2 0x > ( )f x ( )( )2 2,x f x ( )2 2 2 1lny x x xx − = − 2 2 1 ln 1y x xx = • + − 1 2 2 2 1 1 2 2 ln 1 xx x x a  = +  − = − + ① ② 1 20x x< < 11 0x− < < ( )2 2 1 1 1 1 1ln 1 ln 2 2 12 2a x x xx = + − = − + −+ ( ) ( )2 1 1 1 1ln 2 2 1( 1 0)h x x x x= − + − − < < ( )1 1 1 12 01h x x x ′ = − <+ ( )( )1 11 0h x x− < < ( ) ( )1 0 ln 2 1h x h> = − − ln 2 1a > − − 1 ( 1,0)x ∈ − 1− ( )1h x a ( )ln 2 1,− − +∞ ( )f x ,A B a ( )ln 2 1,− − +∞