高考数学模拟试题2苏教版

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2015 年高考模拟试卷(2) 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共 160 分） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ． 1 ． 已 知 集 合 ， ， 且 ， 则 实 数 的 值 为 ． 2．设 ，其中 是虚数单位，则 ． 3 ． 已 知 函 数 是 奇 函 数 ， 当 时 ， ， 且 ， 则 ． 4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ． 5．设点 ， ， ， 是球 表面上的四个点， ， ， 两两互相垂 直，且 ，则球的表面积为 ． 6．已知 ， ，若向区域 上随 机投掷一点 ，则点 落入区域 的概率为 ． 7．将参加夏令营的 名学生编号为： ，采用系统抽样的方法抽取一个容量 为 的样本，且随机抽得的号码为 ，这 名学生分住在三个营区，从 到 在第一 营区，从 到 在第二营区，从 到 在第三营区，则第三个营区被抽中的人数 为 ． 8． 中，“角 成等差数列”是“ ”成立的的 条 件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 9．已知双曲线 ，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一 条 渐近线分为弧长为 的两部分，则双曲线的离心率为 ． 10．已知 ，则 ． 11．已知正数 依次成等比数列，且公比 ．将此数列删去一个数后得到的数列(按 {1, 1}A k= − {2,3}B = {2}A B = k 2(1 2 ) ( , R)i a bi a b+ = + ∈ i ab = ( )y f x= 0x < 2( ) ( R)f x x ax a= + ∈ (2) 6f = a = P A B C O PA PB PC 1PA PB PC cm= = = 2cm {( , ) | 6, 0, 0}x y x y x yΩ = + < > > {( , ) | 4, 0, 2 0}A x y x y x y= < > − > Ω P P A 500 001,002, ,500 50 003 500 001 200 201 355 356 500 ABC∆ , ,A B C sin ( 3cos sin )cosC A A B= + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1: 2 4 4 2cos sin , (0, )3 2 πα α α− = ∈ 2cos(2 )3 πα + = 1 2 3 4, , ,a a a a 1q ≠ 0, 1s n← ← 第 4 题图 原来的顺序)是等差数列，则公比 的取值集合是 ． 12 ． 如 图 ， 梯 形 中 ， ， ， ， 若 ，则 ． 13．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是 ． 14．设函数 满足 ，且当 时， ．若在区间 内，存在 个不同的实数 ，使得 ，则实数 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 14 分） 在 中， ， ． （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积． q ABCD / /AB CD 6AB = 2AD DC= = 12AC BD⋅ = −  AD BC⋅ =  ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sin B A ( )f x ( ) (3 )f x f x= [1,3)x∈ ( ) lnf x x= [1,9) 3 1 2 3, ,x x x 31 2 1 2 3 ( )( ) ( ) f xf x f x tx x x = = = t ABC∆ 2C A π− = 3sin 3A = sinC 6BC = ABC∆ D A B C 第 12 题 图 16．（本小题满分 14 分） 如图，在斜三棱柱 中，侧面 是边长为 的菱形， ．在面 中， ， ， 为 的中点，过 三点的平面交 于点 ． （1）求证： 为 中点； （2）求证：平面 平面 ． 17．（本小题满分 14 分） 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为 的圆形包装纸包装．要求如 下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘 恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为 ，体积为 ． （1）求 关于 的函数关系式； （2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中， 的最大值是多少？并求此时 的 值． 1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC 2 1 60A AC∠ =  ABC 2 3AB = 4BC = M BC 1 1, ,A B M AC N N AC 1 1A B MN ⊥ 1 1A ACC 10cm cmx 3cmV V x V x (第 17 题图) 图 B C A1 B1 C1 M NA 第 16 题 图 18．（本小题满分 16 分） 已知椭圆 的离心率为 ，并且椭圆经过点 ，过原点 的直线 与椭圆 交于 两点，椭圆上一点 满足 ． （1）求椭圆 的方程； （2）证明： 为定值； （3）是否存在定圆，使得直线 绕原点 转动时， 恒与该定圆相切，若存在，求出该定 圆的方程，若不存在，说明理由． 19．（本小题满分 16 分） 已知数列 是等差数列， 是等比数列，且满足 ， ． （1）若 ， ． ①当 时，求数列 和 的通项公式； ②若数列 是唯一的，求 的值； （2）若 ， ， 均为正整数，且成等比数列，求数列 的公差 的最大 值． 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 (1,1) O l C A B、 M MA MB= C 2 2 2 1 1 2 OA OB OM + + l O AM { }na { }nb 1 2 3 9a a a+ + = 1 2 3 27b b b = 4 3a b= 4 3b b m− = 18m = { }na { }nb { }nb m 1 1a b+ 2 2a b+ 3 3a b+ { }na d 第 18 题图 xO y A B 20．（本小题满分 16 分） 设函数 有且仅有两个极值点 ． （1）求实数 的取值范围； （2）是否存在实数 满足 ？如存在，求 的极大值；如不存在，请说明理 由． 第Ⅱ卷（附加题，共 40 分） 21．[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，每小题 10 分；请选定其中两题，并在相应的答题 区域 内作答． A．（选修４－１：几何证明选讲） 如图，AD 是∠BAC 的平分线，圆 O 过点 A 且与边 BC 相切于点 D，与边 AB、AC 分别交于点 E、F，求证：EF∥BC． 2( ) ( )xf x ax e a= + ∈R 1 2 1 2, ( )x x x x< a a 2 3 1 1( )f x e x= ( )f x A B D C E FO· B．（选修４－２：矩阵与变换） 已知 ，求矩阵 ． C．（选修４－４：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆 是以点 为圆心， 为半径的圆． （1）求圆 的极坐标方程； （2）求圆 被直线 所截得的弦长． D．（选修４－５：不等式选讲） 设正数 满足 ，求 的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 22．（本小题满分 10 分） 直三棱柱 中，已知 ， ， ， . 是 的中点. （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； 1 0 4 3 1 2 4 1 −   =   −   B B C (2, )6C π− 2 C C 5: 12l πθ = − , ,a b c 1a b c+ + = 1 1 1 3 2 3 2 3 2a b c + ++ + + 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 2AB = 4AC = 1 3AA = D BC 1DB 1 1AC D （2）求二面角 的大小的余弦值. 23.（本小题满分 10 分） 设 且 ，集合 的所有 个元素的子集记为 ． （1）求集合 中所有元素之和 ； （2）记 为 中最小元素与最大元素之和，求 的值． 2015 年高考模拟试卷(2) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ； 7． ； 8．充分不必要；【解析】 1 1 1B A D C− − *n N∈ 4n ≥ { }1,2,3, ,M n=  3 31 2, , , nCA A A 31 2, , , nCA A A S im iA 3( 1,2, , )ni C=  3 2015 1 3 2015 C i i m C = ∑ 3 12− 5 27 3π 2 9 14 1A 1B 1C D A C B 条 件 “ 角 成 等 差 数 列 ” ； 结 论 “ ” 或 或 ．所以条件是结论的充分不必要条件． 9． ； 10． ； 11． ；【解析】若删去 ，则 成等差数列， ， 即 ， （舍去）或 或 （舍去）；若删去 ，则 成等差数列， ，即 ， （舍去）或 或 （舍去） 或 ． 12． ；【解析】 ， ， ， ， ， ， ， ． 13． ；【解析】由条件得 ，不妨设 ，则 ，即 ；同理得当 时， ．而 ， 的取值范围是 ． 14 ． ．【 解 析 】 ， ， 当 时 ， ， ，在直角坐标系内作出函数 的图象，而 表示的是该图象上的点与原点 的连线的斜率．图象上的点 与与原点的连线的斜率为 ；当过原点的直线与曲线 相切时，斜率为 （利用导数解决）． 由图可知，满足题意得实数 的 , ,A B C ⇔ 3B π= sin ( 3cos sin )cosC A A B= + ⇔ sin( ) 3cos cos sin cosA B A B A B+ = + ⇔ cos sin 3cos cosA B A B= ⇔ cos 0A = sin 3cosB B= ⇔ 2A π= 3B π= 2 3 3 15 2 6 +− 1 5 1 5,2 2  − + +     2a 1 3 4, ,a a a 3 1 42a a a∴ = + 2 3 1 1 12a q a a q= + 1q∴ = 1 5 2q += 1 5 2q −= 3a 1 2 4, ,a a a 2 1 42a a a∴ = + 3 1 1 12a q a a q= + 1q∴ = 1 5 2q − += 1 5 2q − −= ∴ 1 5 2q += 1 5 2 − + 0 0AD DC CB BA+ + + =      ∴ AD BC AB CD− = +    2 2 ( ) ( ) ( ) ( )AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD∴ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ − − = ⋅ + ⋅ + −                12AC BD⋅ = −   / /AB CD 6AB = 2AD DC= = 0AD BC∴ ⋅ =  5 1 5 1( , )2 2 − + 2b ac= a b c≤ ≤ 2bc a ba = < + 2 2 1 0b b a a − − < a b c≥ ≥ 5 1 12 b a − < ≤ sin sin B b A a = ∴ sin sin B A 5 1 5 1( , )2 2 − + ln3 1( , )9 3e ( ) (3 )f x f x= ( ) ( )3 xf x f∴ = [3,9)x∈ [1,3)3 x ∈ ( ) ln 3 xf x∴ = ( )f x ( )f x x (9,ln3) ln3 9 ( ) ln , [3,9)3 xf x x= ∈ 1 3e ∴ t 取值范围为 ． 二、解答题 15．（1）因为在 中， ，所以 为锐角，且 ． 所以 ； （2）由正弦定理得 ，所以 ． 因为在 中， ，所以 为钝角，且 ． 因为在 中， ， 所以 ． 所以 的面积为 ． 16． (1)由题意，平面 平面 ，平面 与平面 交于直线 ， 与平面 交于直线 ，所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 因为 为 的中点，所以 ，所以 为 中点． (2)因为四边形 是边长为 的菱形， ． 在三角形 中， ， ，由余弦定理得 ， 故 ，从而可得 ，即 ． 在三角形 中， ， ， ， 则 ，从而可得 ，即 ． 又 ，则 ． 因为 ， 面 ， 面 ， ln3 1( , )9 3e ABC∆ 2C A π− = A 2 23 6cos 1 sin 1 ( )3 3A A= − = − = 6sin sin( ) cos2 3C A A π= + = = sin sin BC AB A C = 66sin 3 2 3sin 3 3 BC CAB A × = = = ABC∆ 2C A π− = C 2 26 3cos 1 sin 1 ( )3 3C C= − − = − − = − ABC∆ ( )B A Cπ= − + 3 3 6 6 1sin sin( ) sin cos cos sin ( )3 3 3 3 3B A C A C A C= + = + = × − + × = ABC∆ 1 1 1sin 2 3 6 22 2 3ABCS AB BC B∆ = × × = × × × = / /ABC 1 1 1A B C 1 1A B M ABC MN 1 1 1A B C 1 1A B 1 1/ /MN A B 1 1/ /AB A B / /MN AB CN CM AN BM = M AB 1CN AN = N AC 1 1A ACC 2 1 60A AC∠ =  1A AN 1AN = 1 2A A = 1 3A N = 2 2 2 1 1A A AN A N= + 1 90A NA∠ =  1A N AC⊥ ABC 2 3AB = 2AC = 4BC = 2 2 2BC AB AC= + 90BAC∠ =  AB AC⊥ / /MN AB AC MN⊥ 1MN A N N= MN ⊂ 1 1A B MN 1A N ⊂ 1 1A B MN 所以 平面 ． 又 平面 ，所以平面 平面 ． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为 ，高为 ． 由题意得 ，解得 ． 则 ， ． 所以，正三棱锥体积 ． 设 ， 求导得 ，令 ，得 ， 当 时， ， 函数 在 上单调递增， 当 时， ， 函数 在 上单调递减， 所以，当 时， 取得极大值也是最大值． 此时 ，所以 ． 答：当底面边长为 时，正三棱锥的最大体积为 ． 18．（1）由题设： 解得 ， 椭圆 的方程为 （2）①直线 的斜率不存在或为 0 时， ； AC ⊥ 1 1A B MN AC ⊂ 1 1A ACC 1 1A B MN ⊥ 1 1A ACC 0h h 0 3 106 x h+ = 0 310 6h x= − 2 2 2 2 0 3 10 3(10 ) 10012 6 12 3 x xh h x x= − = − − = − (0,10 3)x∈ 2 21 1 3 10 3 3 10 3100 1003 3 4 3 12 3V Sh x x x x= = × × − = − 4 4 5 2 10 3 100 10(100 )48 3 48 48 3 x x xy V x= = − = − 3 4100 50 12 48 3 x xy′ = − 0y′ = 8 3x = (0,8 3)x∈ 0y′ > ∴ y (0,8 3) (8 3,10 3)x∈ 0y′ < ∴ y (8 3,10 3) 8 3cmx = y 15360y = 3 max 32 15cmV = 8 3cm 332 15cm 2 2 2 2 21 ,2 1 1 1, b a a b  − =  + = 2 2 33, 2a b= = ∴ C 2 22 1;3 3 x y+ = l 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 23 3OA OB OM a b + + = + = + = D'' D' O C A B D ②直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为 ， 则 ， 直线 的方程为 ， 由 得 ， ， 同理 ， ， 为定值； （3）由（2）得： ①直线 的斜率不存在或为 0 时， ； ②直线 的斜率存在且不为 0 时， 原点 到直线 的距离 ， 直线 与圆 相切， 即存在定圆 ，使得直线 绕原点 转动时， 恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列 是等差数列及 ，得 ， 由数列 是等比数列及 ，得 ． 设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ， 若 ，则有 ，解得 或 ． l l ( 0)y kx k= ≠ MA MB= ∴ OM 1y xk = − 2 22 3 y kx x y =  + = 2 2(1 2 ) 3k x+ = 2 2 2 3 1 2A Bx x k ∴ = = + 2 2 2 3 2M kx k ∴ = + 2 2 2 1 1 2 OA OB OM ∴ + + = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 3 1 3(1 ) (1 ) (1 )1 2 1 2 2 kk kk k k k + + + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + 2 2 2 2 2(1 2 ) 2( 2) 3(1 ) 3(1 ) k k k k + += ++ + 2= 2 2 2 1 1 2 2OA OB OM ∴ + + = l 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 13 3OA OM a b + = + = + = l 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 13 1 3 3(1 ) 3(1 )(1 ) (1 )1 2 2 k k kOA OM k kk k k k + ++ = + = + =+ ++ ⋅ + ⋅+ + ∴ O AM 2 2 2 2 1 11 1 OA OMd OA OM OA OM ⋅= = = + + ∴ AM 2 2 1x y+ = 2 2 1x y+ = l O AM { }na 1 2 3 9a a a+ + = 2 3a = { }nb 1 2 3 27b b b = 2 3b = { }na d { }nb q 18m = 2 3 2 3 , 3 3 18 d q q q + =  − = 3, 3 d q =  = 9 ,2 2 d q  = −  = − 所以， 和 的通项公式为 或 ② 由题设 ，得 ，即 （*）． 因为数列 是唯一的，所以 若 ，则 ，检验知，当 时， 或 （舍去），满足题意； 若 ，则 ，解得 ，代入（*）式，解得 ， 又 ，所以 是唯一的等比数列，符合题意． 所以， 或 ． （2）依题意， ， 设 公比为 ，则有 ， （**） 记 ， ，则 ． 将（**）中的 消去，整理得 ， 的大根为 而 ，所以 的可能取值为： ． 所以，当 时， 的最大值为 ． 20．(1) ． 显然 ， 是直线 与曲线 两交点的横坐标． 由 ，得 ．列表： { }na { }nb 1 3 3, 3 n n n a n b − = − = 2 9 12,2 3( 2) n n n a n b −  = − +  = − 4 3b b m− = 23 3q q m− = 23 3 0q q m− − = { }nb 0q = 0m = 0m = 1q = 0 0q ≠ 2( 3) 12 0m− + = 3 4m = − 1 2q = 2 3b = { }nb 0m = 3 4 − 1 1 3 336 ( )( )a b a b= + + { }nb q 336 (3 )(3 3 )d d qq = − + + + 33m d q = − + 3 3n d q= + + 36mn = q 2 ( ) 3( ) 36 0d m n d m n+ − + + − = d 2 2( ) 12( ) 144 ( 6) 36 2 2 n m m n m n n m m n− + − − + + − + + − −= ,m n N ∗∈ ( , )m n (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1) 1, 36m n= = d 35 5 37 2 + ( ) 2 xf x ax e′ = + 0a ≠ 1 2,x x 1 2y a = − ( ) x xy g x e = = 1( ) 0x xg x e −′ = = 1x = x ( ,1)−∞ 1 (1, )+∞ ( )g x′ + 0 − ↗ ↘ 此外注意到： 当 时， ； 当 及 时， 的取值范围分别为 和 ． 于是题设等价于 < ，故实数 的取值范围为 ． (2)存在实数 满足题设．证明如下： 由(1)知， ， ， 故 ，故 ． 记 ，则 ， 于是， 在 上单调递减． 又 ，故 有唯一的零点 ． 从而，满足 的 ．所以， ． 此时 ， ， 又 ， ， ，而 ， 故当 时, . 第Ⅱ卷（附加题，共 40 分） 21.A. 如图，连结 ． 因为 与圆相切， 所以 ． 因为 与 为弧 所对的圆周角， 所以 ． 又因为 是 的平分线， ( )g x max 1( )g x e = 0x < ( ) 0g x < [0,1]x∈ (1, )x∈ +∞ ( )g x 1[0, ]e 1(0, )e 1 10 2a e < − < ⇒ 2 ea < − a ( , )2 e−∞ − a 1 20 1x x< < < 1 1 1( ) 2 0xf x ax e′ = + = 1 1 1 2 2 1 3 1 1 1( ) + 2 x x xxf x = ax e e e e x= − = 1 1 2 3 1 1 02 x xe e ex − − = 2 31( ) (0 1)2 x xeR x e e xx = − − < < 2 ( 1) 1( ) 02 x xe xR x ex −′ = − < ( )R x (0,1) 2( ) 03R = ( )R x 2 3x = 2 3 1 1( )f x e x= 1 2 3x = 1 2 3 1 3 2 4 xea ex = − = − 2 233( ) 4 xf x e x e= − + 2 33( ) 2 xf x e x e′ = − + (0) 0f ′ > (1) 0f ′ < (2) 0f ′ > 1 2 (0,1)3x = ∈ 2 33 4a e= − 2 3 1 2( ) ( ) 3f x f x e= =极大 DF BC CDF DAF∠ = ∠ EFD∠ EAD∠ DE EFD EAD∠ = ∠ AD BAC∠ A B D C E FO· 所以 ． 从而 ． 于是 ． B．设 则 ， 故 C．（1）圆 是将圆 绕极点按顺时针方向旋转 而得到的圆，所以圆 的极坐标方 程是 ． （2）将 代入圆 的极坐标方程 ，得 ， 所以，圆 被直线 所截得的弦长为 ． D. 因为 均为正数，且 ， 所以 ． 于是由均值不等式可知 ， 当且仅当 时，上式等号成立． 从而 ． 故 的最小值为 ．此时 ． 22． 在直三棱柱 中， ， 分别以 、 、 所在的直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则 , 是 的中点， ， EAD DAF∠ = ∠ CDF EFD∠ = ∠ / /EF BC ,a b c d  =   B 1 0 1 2 2 2 a b a c b d    =   + +   B 4, 4, 3, 3, 4 3 .2 4, 4, 4 2 2 1, 2. a a b b a c c b d d = − = −   = = −   =   + = = −    + = − = −  解得 故B C 4cosρ θ= 6 π C 4cos( )6 πρ θ= + 5 12 πθ = − C 4cos( )6 πρ θ= + 2 2ρ = C 5: 12l πθ = − 2 2 , ,a b c 1a b c+ + = (3 2) (3 2) (3 2) 9a b c+ + + + + = ( )[ ]1 1 1 (3 2) (3 2) (3 2)3 2 3 2 3 2 a b ca b c + + + + + + ++ + + 33 13 3 (3 2)(3 2)(3 2) 9(3 2)(3 2)(3 2) a b ca b c ≥ ⋅ + + + =+ + + 1 3a b c= = = 1 1 1 13 2 3 2 3 2a b c + + ≥+ + + 1 1 1 3 2 3 2 3 2a b c + ++ + + 1 1 3a b c= = =  1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ ∴ AB AC 1AA x y z 1 1 1(0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (0,0,3), (2,0,3), (0,4,3)A B C A B C  D BC ∴ (1,2,0)D （1） ， 设平面 的法向量 ，则 ， 即 ，取 ， 平面 的法向量 ， 而 ， ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 ； （2） ， 设平面 的法向量 ，则 ， 即 ，取 ， 平面 的法向量 ， ， 二面角 的大小的余弦值 ． 23．（1）因为含元素 的子集有 个，同理含 的子集也各有 个，于是所求元 素之和为 ； （2）集合 的所有 个元素的子集中： 以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个； 1 1 1(0,4,0), (1,2, 3)AC A D= = −  1 1AC D 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 1 1 0 0 n AC n A D  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 4 0 2 3 0 y x y z =  + − = 1 1 1 3 0 1 x y z =  =  = ∴ 1 1AC D 1 (3,0,1)n = 1 (1, 2,3)DB = − 1 1 1 1 1 1 3 35cos , 35 n DBn DB n DB ⋅∴ < >= = ⋅      ∴ 1DB 1 1AC D 3 35 35 1 1 (2,0,0)A B = 1 (1, 2,3)DB = − 1 1B A D 2 2 2 2( , , )n x y z= 2 1 1 2 1 0 0 n A B n DB  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 2 2 0 2 3 0 x x y z =  − + = 2 2 2 0 3 2 x y z =  =  = ∴ 1 1B A D 2 (0,3,2)n = 1 2 1 2 1 2 130cos , 65 n nn n n n ⋅∴ < >= = ⋅      ∴ 1 1 1B A D C− − 130 65 1 2 1nC − 2,3,4, ,n 2 1nC − 2 2 2 1 1(1 2 3 ) ( 2 )( 1)4nn C n n n−+ + + + × = − − { }1,2,3, ,M n=  3 1 2 1nC − n 2 1nC − 以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个； 以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个． ， ． ． 2 2 2nC − 1n − 2 2nC −  2n − 2 2C 3 2 2C 3 1 nC i i m = ∴∑ 31 2 nCm m m= + + + 2 2 2 1 2 2( 1)( )n nn C C C− −= + + + + 2 2 2 3 1 2 3 3( 1)( )n nn C C C C− −= + + + + + 2 2 2 3 1 2 4 4( 1)( )n nn C C C C− −= + + + + + 3( 1) nn C= = + 3 1 3 1 nC i i n m nC =∴ = + ∑ 3 2015 1 3 2015 2015 1 2016 C i i m C =∴ = + = ∑