北师大版九年级上册数学第一章测试题附答案

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北师大版九年级上册数学第一章测试题附答案

北师大版九年级上册数学第一章测试题附答案 ‎(满分:120分   考试时间:120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( C )‎ A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 ‎2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若AB=8,则CD的长是( C )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ 第2题图第3题图第5题图 ‎ ‎3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为( B )‎ A.30° B.60° C.90° D.120°‎ ‎4.在▱ABCD中,AB=3,BC=4,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( B )‎ ‎①AC=5  ②∠A+∠C=180°  ③AC⊥BD ④AC=BD A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④‎ ‎5.(2018·宿迁)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是( A )‎ A. B.2 C.2 D.4‎ ‎6.如图,正方形ABCD的面积为4,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为A A.2 B.3 C.2 D. 第6题图第7题图第8题图 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.如图,四边形ABCD和DEFG是两个边长相等的正方形,连接CE.若∠ADG=150°,则∠DCE= 75 °.‎ ‎8.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件:AD=DC或AC⊥BD,使得平行四边形ABCD为菱形.‎ ‎9.(2018·长春)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 5 .‎ 第9题图第10题图第11题图 ‎10.如图,将两条等宽的纸条重叠在一起,在四边形ABCD中,若AB=8,∠ABC=60°,则AC= 8 .‎ ‎11.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,则下列结论:‎ ‎①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EGC=S△AFE;⑤∠AGB+∠AED=145°,其中正确的序号有①②③④.‎ ‎12.菱形AOBC如图放置,A(3,4),先将菱形向左平移9个单位长度,再向下平移1个单位,然后沿x轴翻折,最后绕坐标轴原点O旋转90°得到点C的对应点为点P,则点P的坐标为(-3,1)或(3,-1).‎ 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为边CD,AD的中点,连接AE,CF.求证:△ADE≌△CDF.‎ 证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=DC,又∵E,F为CD,AD的中点,‎ ‎∴DF=AD,DE=DC,∴DF=DE.又∵∠ADE=∠CDF,‎ ‎∴△ADE≌△CDF(SAS).‎ ‎14.(2018·张家界)如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为点F.‎ ‎(1)求证:DF=AB;‎ ‎(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD.‎ ‎(1)证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,‎ ‎∴∠DAF=∠AEB.又∵DF⊥AE,‎ ‎∴∠DFA=90°,∴∠DFA=∠B.‎ 又∵AD=EA,‎ ‎∴△ADF≌△EAB(AAS),∴DF=AB.‎ ‎(2)解:∵∠DAF+∠ADF=90°,∠FDC+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠DAF=∠FDC=30°,∴AD=2DF.又∵DF=AB=4,‎ ‎∴AD=2AB=2×4=8.‎ ‎15.如图,在▱ABCD中,点E,F在直线AC上(点E在F点左侧),BE∥DF.‎ ‎(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;‎ ‎(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=2,当四边形BEDF为矩形时,求线段AE的长.‎ ‎(1)证明:连接BD,交AC于点O,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OB=OD.由BE∥DF得∠BEO=∠DFO.‎ 又∵∠EOB=∠FOD,∴△BEO≌△DFO,‎ ‎∴BE=DF,又∵BE∥DF,∴四边形BEDF是平行四边形;‎ ‎(2)解:∵AB⊥AC,AB=4,BC=2,‎ ‎∴AC=6,∴AO=3,∴在Rt△BAO中,BO=5.‎ ‎∵四边形BEDF是矩形,∴OE=OB=5.‎ ‎∴点E在OA的延长线上,∴AE=2.‎ ‎16.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,EF平分∠BED.求证:EF⊥BD.‎ 证明:∵∠ABC=∠ADC=90°,‎ ‎∴△ABC和△ADC都是直角三角形.‎ 又∵E是AC的中点,∴BE=DE=AC.‎ 又∵EF平分∠BED,∴EF⊥BD.‎ ‎17.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边,延长AB到E,使AE=AC,以AE为一边作菱形AEFC,若菱形的面积为9,求正方形的边长.‎ 解:设正方形的边长为x.‎ ‎∵AC为正方形ABCD的对角线,‎ ‎∴AC=x,∴AE=x,CB=x,‎ ‎∴S菱形AEFC=AE·CB=x·x=x2=9,‎ 解得x=±3,依题意舍去x=-3,即正方形的边长为3.‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.(哈尔滨中考)如图,已知在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.‎ ‎(1)求证:AP=BQ;‎ ‎(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.‎ ‎(1)证明:∵正方形ABCD,∴AD=BA,∠BAD=90 °,即∠BAQ+∠DAP=90 °.∵DP⊥AQ,‎ ‎∴∠ADP+∠DAP=90 °,∴∠BAQ=∠ADP.‎ ‎∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P,∴∠AQB=∠DPA=90 °,∴△AQB≌△DPA(AAS),∴AP=BQ;‎ ‎(2)解:①AQ-AP=PQ;②AQ-BQ=PQ;③DP-AP=PQ;④DP-BQ=PQ.‎ ‎19.已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.‎ ‎(1)求证:△BCE≌△DCF;‎ ‎(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.‎ ‎∵点E,F分别为AB,AD的中点,‎ ‎∴BE=DF,‎ ‎∴△BCE≌△DCF(SAS);‎ ‎(2)解:当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形.‎ 理由如下:‎ 由(1)得AE=OE=OF=AF,‎ ‎∴四边形AEOF是菱形.‎ ‎∵AB⊥BC,OE∥BC,‎ ‎∴OE⊥AB,‎ ‎∴∠AEO=90°,‎ ‎∴四边形AEOF是正方形.‎ ‎20.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H 分别是OA,OB,OC,OD上的一点,且AE=BF=CG=DH.‎ ‎(1)求证:四边形EFGH是矩形;‎ ‎(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面积.‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴OA=OB=OC=OD.‎ ‎∵AE=BF=CG=DH,‎ ‎∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,‎ 即OE=OF=OG=OH,‎ ‎∴四边形EFGH是矩形.‎ ‎(2)解:∵G是OC的中点,‎ ‎∴GO=GC.‎ ‎∵DG⊥AC,∴DG为OC的垂直平分线.‎ ‎∴CD=OD.‎ ‎∵F是BO的中点,OF=2 cm,‎ ‎∴BO=4 cm.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴DO=BO=4 cm,‎ ‎∴DC=4 cm,DB=8 cm,‎ ‎∴CB==4,‎ ‎∴矩形ABCD的面积=4×4=16 cm2.‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.(新疆中考)如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.‎ ‎(1)求证:四边形BCED′是菱形;‎ ‎(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.‎ ‎(1)证明:如图①,在▱ABCD中,∵∠D=60 °,∠DAB=∠1+∠2=120 °.由题意知△ADE≌△AD′E,∴∠1=∠2=∠D ‎=60 °,∴△DEA和△AD′E是等边三角形,∴DE=AD′=AD=ED′=1.∵AB=2,∴D′B=1.同理EC=1,∴EC=D′B=ED′=1.∵四边形ABCD是平行四边形,∴EC∥D′B,∴四边形D′BCE是平行四边形.又∵D′B=ED′,∴▱BCED′是菱形;‎ ‎①   ②‎ ‎(2) 解:如图②,BD的长即为所求,作DG⊥BA的延长线于点G.∵∠DAB=120 °,∴∠DAG=60 °,∵∠G=90 °,∴∠ADG=30 °.在Rt△ADG中,∵AD=1,∴AG=,DG=.∵AB=2,∴BG=.在Rt△BDG中,BD2=BG2+DG2=7,∴BD=,即PD′+PB=.‎ ‎22.已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.‎ ‎(1)求证:△ABM≌△DCM;‎ ‎(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;‎ ‎(3)当AD∶AB=____时,四边形MENF是正方形,并说明理由.‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB=CD,∠A=∠D=90 °.‎ 又∵M是AD的中点,∴AM=DM.在△ABM和△DCM中,∴△ABM≌△DCM(SAS);‎ ‎(2)解:四边形MENF是菱形,证明略;‎ ‎(3)解:当AD∶AB=2∶1时,四边形MENF是正方形.理由:‎ ‎∵M为AD中点,∴AD=2AM.∵AD∶AB=2∶1,‎ ‎∴AM=AB.∵∠A=90 °,∴∠ABM=∠AMB=45 °.‎ 同理:∠DMC=45 °.∴∠EMF=180 °-45 °-45 °=90 °.‎ ‎∵四边形MENF是菱形,∴四边形MENF是正方形.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.如图①分别是可活动的菱形和平行四边形学具,已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.‎ ‎①② ③‎ ‎ ‎ ‎(1)在一次数学活动中,某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合,摆拼成如图②所示的图形,AF经过点C,连接DE交AF于点M,观察发现:点M是DE的中点.‎ 下面是两位学生有代表性的证明思路:‎ 思路1:不需作辅助线,直接证明三角形全等;‎ 思路2:不证三角形全等,连接BD交AF于点H.‎ ‎……‎ 请参考上面的思路,证明点M是DE的中点(只需用一种方法证明);‎ ‎(2)如图③,在(1)的前提下,当∠ABE=135°时,延长AD,EF交于点N,求的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若=k(k为大于的常数),直接用含k的代数式表示的值.‎ ‎(1)证明:思路一:∵AB=CD,AB∥CD,又∵‎ 四边形ABEF是平行四边形,∴AB=EF,AB∥EF,∴CD=EF,CD∥EF,∴∠CDM=∠FEM,又∠DMC=∠EMF,∴可证△CDM≌△FEM,∴DM=EM,∴点M是DE的中点.‎ 思路二:证明:∵四边形ABCD是菱形,∴DH=BH.又∵AF∥BE,∴HM∥BE,∴==1,∴DM=EM.∴点M是DE的中点.‎ ‎(2)解:∵△CDM≌△FEM,∴CM=FM,设AD=a,CM=b,‎ ‎∵∠ABE=135°,AF∥BE,∴∠BAF=45°=∠NAF,∴四边形ABCD为正方形,∴AC=AD=a.∵AB∥EF,∴∠AFN=∠BAF=45°,∴△ANF为等腰直角三角形,∴NF=AF=(a+b+b)=a+b,NE=a+b+a=2a+b,∴===.‎ ‎(3)解:∵==+2×=k,∴=(k-),‎ ‎∴==×+1=×+1= .‎
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