中考创新题压轴题解题技巧5年研究

中考创新题压轴题解题技巧5年研究

中考数学几何创新题 解题技巧 第一辑 配套练习 主讲：老江 152 8596 8196‎ 勇于尝试，把握过程，关注细节 ‎ ‎ 中考数学几何创新题解题秘籍 配套练习 目 录 目 录 1‎ 第一章 探索规律 1‎ 1.1课堂随练 1‎ 1.2课后练习一 3‎ 1.3课后练习二 5‎ 第二章 中点模型 8‎ 2.1 课堂随练 8‎ 2.2 课后练习一 11‎ 2.3 课后练习二 13‎ 第三章 角平分线模型 14‎ 3.1课堂随练 14‎ 3.2课后练习 16‎ 第四章 图形的平分与等积变换 18‎ 4.1课堂随练 18‎ 4.2课后练习 21‎ 第五章 共角模型 24‎ 5.1课堂随练 24‎ 5.2课后练习 25‎ 第六章 相似模型 26‎ 6.1基本模型认识 26‎ 6.2课堂随练 28‎ 6.3课后练习一 31‎ 6.4课后练习二 33‎ 第七章 相似模型特殊应用——燕尾、蝴蝶模型 35‎ 7.1课堂随练 35‎ 7.2课后练习 36‎ 第二辑为：‎ 第八章为图形的平移与对称 第九章为图形的折叠与旋转 第十章为圆中的辅助线技巧 探索规律模型一（图形类）‎ ‎ 课堂随练 一、等差模型 ‎1．（湖北荆州）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ．‎ ‎ ‎ ‎2．（鄂尔多斯）如图，用小棒摆下面的图形，图形(1)需要3 根小棒，图形(2)需要3 根小棒，……照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要 根小棒（用含n的代数式表示）‎ ‎3. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．‎ ‎4．（湖北）如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总点数为331，‎ 则等于 .‎ ‎ ‎ ‎5. 如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】‎ ‎　　A．54　　B．‎110　‎　C．19　　D．109‎ 二、等比模型 ‎1．（肇庆）观察下列单项式：a，－‎2a2，‎4a3，－‎8a4，‎16a5，…，按此规律第n个单项式是______．‎ ‎(n是正整数)‎ ‎2．（丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．‎ 第2题图 ‎3. （贵州贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为　 　．‎ ‎4. 如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推……，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 _。（n≥2，且n是正整数）‎ ‎5. （山东东营） 在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，···和B1，B2，B3，···分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2，那么点的纵坐标是 　▲ ．‎ 课后练习一 ‎1、（贵州省黔南州）、观察下列算式：，，，，…．根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（　 　）‎ ‎ A、2 B、4 C、8 D、6‎ ‎2、（深圳市）如图6，这是边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，第n个图形的周长为 . ‎ ‎3、（达州）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆　 　个（用含n的代数式表示）．‎ ‎4. （绵阳）观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形共有 120个★．‎‎★‎ ‎★ ★ ★‎ ‎★ ★ ★ ★ ★ ★‎ ‎★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★‎ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 ‎5．（漳州）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子_ 枚．（用含n的代数式表示）‎ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 ‎…‎ ‎6.（吉林省）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用a表示第n个图案中菱形的个数，则an=___________（用含n的式子表示）‎ ‎7 以边长1的正方形的对角线为边长作第二个正方形，以第二个正方形的对角线为边长作第三个正方形，……，如此做下去得到第n个正方形．设第n个正方形的面积为，通过运算找规律，可以猜想出= ．‎ ‎8．（甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ‎ .‎ ‎9、（黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、第10题图 A D C B A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A2‎ B2‎ C2‎ D2‎ A3‎ B3‎ C3‎ D3‎ D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，……，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为 。‎ ‎10、（四川省内江市）、在直角坐标系中，正方形、、…、按如图所示的方式放置，其中点…、均在一次函数的图象上，点…、均在x轴上．若点的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），则点的坐标为________‎ ‎20题图 ‎11、（四川省广安）如图所示，直线OP经过点P（4，），过x轴上的 点1、3、5、7、9、11…分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，‎ 其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、…，则 关于n的函数关系式是__________‎ ‎12. （浙江省）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）‎ ‎ A.28 B.56 C.60 D. 124‎ ‎ ‎ 课后练习二（加强版）‎ ‎1．（2010 浙江衢州）已知a≠0，，，，…，，‎ 则　　　 　　　(用含a的代数式表示)．‎ ‎2、如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：‎ ‎（1）∠A1= 　；（2）∠An= 　．‎ ‎3、如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ．‎ ‎ ‎ ‎4、如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去，点Bn的纵坐标为 (n为正整数)。‎ ‎5、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=　 ．‎ ‎6. 平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为 .‎ ‎7.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2‎ 个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8. 如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B‎1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B‎2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B‎3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎9. 如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ．‎ ‎10. 观察下列一组图形：‎ 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 个★．‎ ‎11、如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】‎ ‎ A．6 B．12 C．32 D．64‎ ‎12、如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】‎ ‎　 A． B． C． D．‎ ‎13、（10年贵阳中考）‎ 如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．‎ ‎（1）写出点M5的坐标；（4分）‎ ‎（图12）‎ ‎（2）求的周长；（4分）‎ ‎（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）‎ 的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标 称之为点的“绝对坐标”．根据图中点 的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．（4分）‎ 几何创新之——中点模型 ‎ ‎ 课堂随练 中点专题——看到中点该想到什么？‎ ‎（1）．两条线段相等，为全等提供条件 ‎ ‎（2）中线平分三角形的面积 3．倍长中线 4．中位线 5．斜边上的中线是斜边的一半 ‎ 一、倍长(类)中线构造全等三角形；‎ ‎1．已知：如图，AD为中线，求证：.‎ A B D C ‎2．已知：如图，AD为的中线，AE=EF.求证：BF=AC.‎ A B D C E F ‎3、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？‎ ‎ ‎ ‎2、构造中位线 ‎1、如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD形状并证明.‎ ‎ ‎ ‎2．如图，中，D、E分别为AB、AC上点，且BD=CE，M、N为BE、CD中点，连MN交AB、AC于P、Q，求证：AP=AQ．‎ A D P B C Q E M N A D F E B C ‎3．已知：如图，E、F分别为四边形ABCD的对角线中点，AB>CD.求证：.‎ ‎3、构造直角三角形斜边中线；构造等腰三角形“三线合一”‎ ‎1、如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于M．求证：FM=EM．‎ ‎ ‎ ‎2、四边形ABCD 中，AB∥CD ，AC=BD，AC 与BD交于点O，∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA、BC 、OD的中点，求证：△PQR 是正三角形．‎ ‎   ‎ ‎ ‎ 课后练习一 ‎1、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD ‎2、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE ‎3、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，‎ 求证：△DEF为等腰直角三角形。‎ ‎4．已知：如图，在中，，AB=AC，D为BC边中点，P为BC上一点，于F，于E.求证：DF=DE.‎ A F E D P C B ‎5．已知：如图，在中，，M为AB中点，P、Q分别在AC、BC上，且于M.求证：.‎ A P M Q B C ‎5、如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？‎ ‎6、如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长 ‎7、如图所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？‎ 课后练习二 ‎1． 已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，‎ 过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ ‎（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ D F B A C E 图③‎ F B A D C E G 图②‎ ‎ ‎ ‎2．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.‎ ‎ （1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ；‎ ‎ （2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.‎ 图②‎ ‎ 图①‎ ‎ 几何创新之——角平分线模型 ‎ ‎ 课堂随练 ‎【模型一】夹角模型 1. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A、∠C的角平分线AE、CF相交于O．‎ 求证：OE＝OF．‎ 1. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________.‎ 2. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是两个外角的平分线.‎ ‎（1）求证：AC=AD；‎ ‎（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.‎ ‎【模型二】角平分线加双垂直 3. 在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝‎ ‎∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．‎ ‎（1）当AB＝AC时（如图1），①∠EBF＝_______°；‎ ‎②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；‎ ‎（2）当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．‎ ‎【模型三】角平分线加平行线 4. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝‎7cm，BC＝‎8cm，则AB的长度是 _____cm．‎ 1. 如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.‎ ‎【模型四】四边形对角互补模型 2. 如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.‎ ‎（1）求证：EF=EG；‎ ‎（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ 课后练习 ‎1、阅读下列学习材料：‎ 如图2-5(a)所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB =OA，连接BC(如图2-5(b))，易证△AOC≌△BOC.‎ 请根据上面的学习材料，解答下列各题：‎ ‎(l)如图2-5(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．‎ ‎(2)如图2-5(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－ PB与AC－AB的大小，并说明理由．‎ ‎2、如图2-13(a)，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，‎ 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：‎ ‎(1)如图2-13(b)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的数量关系；‎ ‎(2)如图2-13(c)，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(l)中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎3、(1)如图2-7(a)，BD、CE分别是△‎ ABC的外角平分线，过点A作AD上BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE.‎ 求证：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)；‎ ‎(2)如图2-7(b)，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其它条件不变；‎ ‎(3)如图2-7(c)，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件不变，‎ 则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。‎ 几何创新之——图形的平分与等积变换 ‎ ‎ 课堂随练 一、图形面积的平分 ‎1、（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；‎ ‎（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等；‎ ‎（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．‎ ‎2、 如图①，等腰梯形中直线l将等腰梯形分成两部分，这两部分可以拼成一个与原等腰梯形面积相等的矩形．请仿照图①的做法，用一条直线将等腰梯形分成两部分，并将这两部分拼成与原等腰梯形面积相等的矩形、平行四边形、三角形．‎ 要求：用符号或文字简要说明直线l满足的条件，并分别在图②、图③、图④中画出来．‎ ‎3． （2012•贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．‎ ‎（1）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　 　条面积等分线；‎ ‎（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；‎ ‎（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．‎ 二、等积变换模型 ‎1、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .(说明理由)‎ ‎2、如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则 ( ) ‎ A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关 ‎3、正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为( ) ‎ A．10  B．12 C．14 D．16‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，‎ 则图中阴影部分的面积为_____‎ ‎5. 如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为 （ ）‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎6、九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为的主题的课题研究.‎ 第一学习小组发现：如图（1），点A、点B在直线上，点C、点D在直线上，若∥，则；反之亦成立。‎ 第二学习小组发现：如图（2），点P是反比例函数上任意一点，过点P作轴、轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积为定值。‎ 请利用上述结论解决下列问题：‎ ‎（1）如图（3），四边形ABCD、与四边形CEFG都是正方形点E在CD上，‎ 正方形ABCD边长为2，则 .‎ ‎（2）如图（4），点P点Q在反比例函数图象上，PQ过点O，过P作轴的平行线交轴于点F，过Q作轴的平行线交PH于点G，已知=4，则= ， = .‎ ‎（3）如图（5）点P、Q是第一象限的点，且在反比例函数图象上，过点P作轴垂线，过点Q作轴垂线，垂足分别是M 、N，试判断直线PQ与直线MN的位置关系，并说明理由.‎ 课后练习 图形面积的平分 ‎1、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：　 　，理由是　 　‎ ‎（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过　 　画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．‎ ‎（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．‎ ‎（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．‎ ‎①请你画出相应的图形．‎ ‎②说明方案设计的理由．‎ ‎2、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是　 ‎ ‎ 　‎ 规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．‎ ‎（1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线　 　（填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）‎ ‎（2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线　 　（填“是”或“否”）．‎ ‎（3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．‎ ‎3．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．‎ ‎（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有　 　；‎ ‎（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．‎ 等积变换模型 ‎1、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，‎ 则图中阴影部分的面积为_____‎ ‎2、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且的面积比的面积大6平方厘米。‎ C N B M O x y E A ‎(第1题图)‎ ‎3、如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2， ‎ ‎（1）△ABE的面积是 ．‎ ‎（2）经过点B的双曲线的解析式为 ‎ ‎4、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°，AD=a，BC=b，AB=c， ‎ 操作示例 ‎ 我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，裁掉△PEC，并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图2）．‎ 思考发现 小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上．又因为在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，则∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形．‎ 实践探究 ‎（1）矩形ABEF的面积是 ；（用含a，b，c的式子表示）‎ 图1‎ A B C P D E 1.1.1 A D C 1.1.2 B 图3‎ 图4‎ C D 1.1.3 A 1.1.4 B 图2‎ A B C P D E F ‎（2）类比图2的剪拼方法，请你就图3和图4的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图．‎ 联想拓展 小明通过探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．‎ 如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．‎ 1.1.1 C 1.1.2 E 1.1.3 B 1.1.4 D 1.1.5 A 图5‎ 几何创新之——共角模型 ‎ 课堂随练 ‎ ‎【问题1】如图：在三角形ABC中，DE分别是AB、AC上的点并且有AD：AB=2：5，AE：AC=4：7,若三角形ADE的面积为12, 则三角形ABC的 面积是 ‎ 简要说明你的理由。‎ ‎ ‎ ‎【问题2】如图：在三角形ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，并且有AB:AD=5:2，AE:EC=3:2，三角形ADE的面积为12，则三角形ABC的面积 ‎ ‎ ‎ S1‎ ‎ D ‎ ‎ A ‎ ‎ E ‎ B C ‎【问题3】如图：已知三角形DEF的面积为7，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,‎ ‎ 则三角形ABC的面积是 A ‎ 请说明理由。 F ‎ D ‎ ‎ ‎ B E C ‎【问题4】、如下图，三角形ABC的面积为1，将AB延长至D，使AB=BD,将BC延长至E，使CE=2BC,将CA延长至F,使AF=3CA,求三角形DEF的面积。‎ ‎ F A B ‎ C E D 课后练习 ‎1、如下图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB,BD=2BC,则三角形BDE的面积 ‎ ‎2、在三角形ABC中，DE分别是AB、AC上的点，并且有AD：AB=2：3，AE：AC=3：4,三角形ADE的面积为60平方厘米,则四边形DEBC的面积是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3、如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且，已知四边形EDAC的面积是35，‎ 则三角形ABC的面积 ‎ 4、 如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？‎ ‎5、如下图，长方形ABCD的面积为42平方厘米，并且有AE=EC,CF=BC,求阴影部分三角形DEF的面积。 ‎ 几何创新之——相似模型 ‎ ‎ 相似三角形判定的基本模型认识 ‎（一）A字型、反A字型（斜A字型）‎ ‎ （平行） （不平行） ‎ ‎（二）8字型、反8字型 ‎（蝴蝶型）‎ ‎ （平行） （不平行）‎ ‎（三）母子型 ‎ ‎ ‎（四）一线三等角型：‎ ‎ 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 ‎（五）一线三直角型：‎ （六） 双垂型 ‎ ‎ 相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展 共享性 ‎ 一线三等角的变形 ‎ 一线三直角的变形 几何创新之——相似模型 ‎ 课堂随练 一、母子型相似三角形 ‎1：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．‎ 求证：．‎ ‎ ‎ ‎2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°‎ ‎，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。‎ 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB 二、双垂型 ‎1、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。‎ 三、共享型相似三角形 ‎1、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．‎ 求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）．‎ 四、一线三等角型相似三角形 ‎1：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．‎ ‎（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．‎ ‎①求证；△ABP∽△DPC ‎②求AP的长．‎ C D A B P ‎（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ‎①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎②当CE＝1时，写出AP的长．‎ ‎2：如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．‎ ‎（1）求证：△∽△；‎ ‎（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；‎ ‎（3）若，求的长．‎ 五、一线三直角型相似三角形 ‎1、在直角中，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F ‎（1）、求AC和BC的长 ‎（2）、当时，求BE的长。‎ ‎（3）、连结EF,当和相似时，求BE的长。‎ ‎2、如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积.‎ 课后练习一 ‎1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．‎ ‎ ‎ ‎2、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。‎ 求证：EB·DF=AE·DB A C B P D E ‎（第25题图）‎ ‎3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．‎ ‎（1）求证：AE=2PE；‎ ‎（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．‎ ‎ 4、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．‎ ‎（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；‎ ‎（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．‎ ‎5、如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，‎ ‎（1）写出图中与相似的三角形；‎ ‎（2）证明其中一对三角形相似；‎ ‎（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（4）若，试求的面积．‎ 备用图 ‎ 课后练习二 ‎1.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。‎ ‎ 求证： ‎ ‎2、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．‎ A B C D E ‎(1) 求证：△ABD∽△DCE；‎ ‎(2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；‎ ‎(3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．‎ ‎3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．‎ ‎ （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；‎ ‎ （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 ‎ ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎ ②当时，求BP的长．‎ E D C B A ‎（备用图）‎ E D C B A P ‎（第25题图）‎ ‎4、在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.‎ ‎(1)、当点D是边AB的中点时，求证：‎ ‎(2)、当，求的值 ‎（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域 ‎5、如图,在梯形中，, ，是腰上一个动点(不含点、),作交于点.(图1)‎ ‎ (1)求的长与梯形的面积；‎ ‎ (2)当时,求的长；(图2)‎ Q P D C B A Q P D C B A ‎ (3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.‎ ‎（图1） （图2）‎ ‎ ‎ 几何创新之——相似特殊应用 燕尾、蝴蝶模型 ‎ ‎ 课堂随练 一、燕尾模型 ‎1、‎ ‎2、‎ ‎3、‎ 二、蝴蝶模型 ‎1、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎2、如图所示，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？‎ 课后练习 ‎3、‎ ‎4、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中三块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_________平方厘米。‎ ‎5、如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．‎