湖北省高考数学试卷理科及解析

湖北省高考数学试卷理科及解析

‎2007年湖北省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（　　）‎ A．3 B．5 C．6 D．10‎ ‎2．（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（　　）‎ A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}‎ ‎4．（5分）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：‎ ‎①m′⊥n′⇒m⊥n；‎ ‎②m⊥n⇒m′⊥n′；‎ ‎③m′与n′相交⇒m与n相交或重合；‎ ‎④m′与n′平行⇒m与n平行或重合．‎ 其中不正确的命题个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则=（　　）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎6．（5分）若数列{an}满足（p为正常数），则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则（　　）‎ A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ‎7．（5分）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于（　　）‎ A．﹣1 B．xOy C． D．‎ ‎8．（5分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（　　）‎ A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）已知函数y=2x﹣a的反函数是y=bx+3，则a=　　；b=　　．‎ ‎12．（5分）复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2﹣4bz是实数，则有序实数对（a，b）可以是　　．（写出一个有序实数对即可）‎ ‎13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数2x+y的最小值为　　．‎ ‎14．（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率　　．（用数值作答）‎ ‎15．（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为　　；‎ ‎（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过　　小时后，学生才能回到教室．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（12分）已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．‎ ‎（Ⅰ）求θ的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin2的最大值与最小值．‎ ‎17．（12分）‎ 分 组 频 数 ‎[1.30，1.34）‎ ‎4‎ ‎[1.34，1.38）‎ ‎25‎ ‎[1.38，1.42）‎ ‎30‎ ‎[1.42，1.46）‎ ‎29‎ ‎[1.46，1.50）‎ ‎10‎ ‎[1.50，1.54）‎ ‎2‎ 合 计 ‎100‎ 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：‎ ‎（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；‎ ‎（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30，1.34）的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．‎ ‎18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；‎ ‎（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．‎ ‎19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（13分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．‎ ‎（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；‎ ‎（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x） （x＞0）．‎ ‎21．（14分）已知m，n为正整数．‎ ‎（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx；‎ ‎（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；‎ ‎（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．‎ ‎　‎ ‎2007年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）‎ ‎【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n值即可．‎ ‎【解答】解：由展开式通项有=Cnr•3n﹣r•（﹣2）r•x2n﹣5r 由题意得，‎ 故当r=2时，正整数n的最小值为5，‎ 故选项为B ‎【点评】本题主要考查二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求．本题中“非零常数项”为干扰条件．‎ ‎2．（5分）‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 ‎【分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．‎ ‎【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P′（x′，y′），P（x，y），则=，代入到已知解析式中可得选A 法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识，‎ 易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选C．为简单题．‎ ‎3．（5分）‎ ‎【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可．‎ ‎【解答】解：∵‎ 化简得：P={x|0＜x＜2}‎ 而Q={x||x﹣2|＜1}‎ 化简得：Q={x|1＜x＜3}‎ ‎∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，‎ ‎∴P﹣Q={x|0＜x≤1}‎ 故选B ‎【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．‎ ‎4．（5分）‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 ‎【分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：‎ ‎∵AC⊥BD但A1C，BD1不垂直，故①错；‎ ‎∵A1B⊥AB1但在底面上的射影都是AB故②错；‎ ‎∵AC，BD相交，但A1C，BD异面，故③错；‎ ‎∵AB∥CD但A1B，C1D异面，故④错 故选D ‎【点评】本题主要考查空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解．关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同．要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力．‎ ‎5．（5分）‎ ‎【考点】极限及其运算．菁优网版权所有 ‎【分析】本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性．当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可．本题也体现了等比数列求和公式的逆用．‎ ‎【解答】解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，‎ 则，可见应选C 法二∵‎ ‎∴（1+x）m﹣1=x[1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）m﹣1]‎ 令，m分别取p和q，则原式化为 ‎∵，‎ 所以原式=（分子、分母1的个数分别为p个、q个）‎ 故选C．‎ ‎【点评】注意到本题的易错点：取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B，看错项数而错选D．‎ ‎6．（5分）‎ ‎【考点】数列的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意可知，乙⇒甲，但是，即甲成立，乙不一定成立，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．‎ ‎【解答】解：由等比数列的定义，若乙：{an}是等比数列，公比为q，即则甲命题成立；反之，若甲：数列{an}是等方比数列，即 即公比不一定为q，则命题乙不成立，‎ 故选B ‎【点评】本题是易错题．由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C ‎　‎ ‎7．（5分）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，进而联立方程可求得|MF1|和|MF2|，代入答案可得．‎ ‎【解答】解：由题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，‎ 且在双曲线右支上，故由定义可得 故原式=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性．‎ ‎8．（5分）‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．‎ ‎【解答】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈N*），‎ 故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选D ‎【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．‎ 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，则有如下关系=．‎ ‎9．（5分）‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的所有事件数6×6，‎ ‎∵m＞0，n＞0，‎ ‎∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．‎ ‎∴夹角θ≠0．‎ ‎∵θ∈（0，】‎ ‎•≥0，∴m﹣n≥0，‎ 即m≥n．‎ 当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；‎ 当m=5时，n=5，4，3，2，1；‎ 当m=4时，n=4，3，2，1；‎ 当m=3时，n=3，2，1；‎ 当m=2时，n=2，1；‎ 当m=1时，n=1．‎ ‎∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1‎ ‎∴概率P==．‎ 故选C．‎ ‎【点评】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．‎ ‎10．（5分）‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．‎ ‎【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，‎ 故选A ‎【点评】本题主要考查直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征．是较难问题．易错点：不能准确理解题意，甚至混淆．对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）‎ ‎【考点】反函数．菁优网版权所有 ‎【分析】本题考查对互为反函数的两个函数关系的理解，可有两种方法，其一，求出y=2x﹣a的反函数令其与y=bx+3的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，取特殊点求解．‎ ‎【解答】解：法一：函数y=2x﹣a的反函数为y=x+a，与y=bx+3对照可得a=6，b=‎ 法二：在y=bx+3上取点（0，3），得点（3，0）在y=2x﹣a上，‎ 故得a=6；又y=2x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=bx+3‎ 由此可得a=6，b=‎ 答案：a=6；b=‎ ‎【点评】本题主要考查反函数的概念及其对称性的应用．直接求反函数也可，较为简单．‎ 该题的易错点：运算错误导致填写其他错误答案．‎ ‎12．（5分）‎ ‎【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有 ‎【分析】本题主要考查复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题．在解答过程中要注意本题的易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出a=2b，不合题意要求．‎ ‎【解答】解：由复数运算法则可知 z2﹣4bz=a2﹣b2﹣4ab+（2ab﹣4b2）i，‎ 由题意得2ab﹣4b2=0（b≠0），‎ ‎∴a=2b（a≠0，b≠0），‎ 则有序实数对（a，b）可以是 （2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对 故答案为：（2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对 ‎【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．‎ ‎13．（5分）‎ ‎【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最小值．‎ ‎【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，‎ 令2x+y=z，y=﹣2x+z，‎ 显然当平行直线过点时，‎ z取得最小值为；‎ 故答案为：‎ ‎【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．‎ ‎14．（5分）‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有 ‎【分析】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响．‎ ‎【解答】解：∵由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值，投球10次 ‎∴本题是一个独立重复试验 ‎∴所求概率 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查n次独立重复试验中，某事件恰好发生k次的概率，直接用公式解决．易错点是把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性．‎ ‎15．（5分）‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt，把点（0.1，1）代入直线方程求得k，得到直线方程；当t＞0.1时，把点（0.1，1）代入求得a，曲线方程可得．最后综合可得答案．‎ ‎（2）根据题意可知y≤0.25，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得t的范围．‎ ‎【解答】解：（I）由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点（0.1，1）在直线上，∴k=10；‎ 同理，当t＞0.1时，可得 ‎（II）由题意可得，‎ 即得或或t≥0.6，‎ 由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．‎ ‎【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（12分）‎ ‎【考点】三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积，数量积的范围，推出关系式，然后求出θ的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）利用二倍角公式、两角差的正弦函数，化简函数f（θ）=2sin2为一个角的一个三角函数的形式，根据（Ⅰ）的范围，求出函数的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ 则由，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∵，，∴．‎ 即当时，f（θ）max=3；当时，f（θ）min=2．‎ ‎【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．‎ ‎17．（12分）‎ ‎【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．菁优网版权所有 ‎【分析】（I）条件的表中给出了分组和频数，要完成频率分布表，需要把频率做出来，列出频率分布表，写上每一个频数对应的频率．‎ ‎（II）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10，而要求的纤度小于1.40的数据有一部分需要把一个分组分成两部分，使得这两部分的概率相等，得到结果．‎ ‎（III）要做纤度的期望，需要有各组数据的平均值，同一组数据常用该组区间的中点值做平均值，利用期望的公式，写出这组数据的期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69，‎ 纤度小于1.40的概率约为．‎ ‎（Ⅲ）总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088．‎ ‎【点评】本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．‎ ‎18．（12分）‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 ‎【分析】法一：（Ⅰ）要证平面VAB⊥平面VCD，只需证明平面VAB内的直线AB，垂直平面VCD内的两条相交直线CD、VC即可；‎ ‎（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，说明∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．求出，使得直线BC与平面VAB所成的角为．‎ 法二：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，‎ ‎（Ⅰ） 建立如图所示的空间直角坐标系，证明，，推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD．‎ ‎（Ⅱ）求出平面VAB的一个法向量，利用，求出使得直线BC与平面VAB所成的角为的θ的值．‎ ‎【解答】解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，‎ 又D是AB的中点，∴CD⊥AB，‎ 又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，‎ 又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．‎ ‎（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面VAB．连接BH，‎ 于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，依题意，所以 在Rt△CHD中，；‎ 在Rt△BHC中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 故当时，‎ 直线BC与平面VAB所成得角为．‎ 解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，‎ 于是，，，．‎ 从而，即AB⊥CD．‎ 同理，‎ 即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．‎ 又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．‎ ‎（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z）‎ 则由，得 可取，‎ 又，‎ 于是=，‎ 即，‎ ‎∵，∴，‎ 故当时，直线BC与平面VAB所成得角为．‎ 解法3：（1）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），，，，，‎ 于是，，．‎ 从而，即AB⊥DC，‎ 同理，即AB⊥DV．‎ 又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．‎ 又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．‎ ‎（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），‎ 则由得 取n=（tanθ，0，1），‎ 又，于是，‎ 即．‎ 又∵，∴．‎ 故当时，直线BC与平面VAB所成的角为．‎ ‎【点评】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力 ‎19．（12分）‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 ‎【分析】解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，‎ 则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（，y1+），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．‎ 解法2：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．由此能求出△ANB面积的最小值．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x﹣x1）﹣（y﹣p）（y﹣y1）=0，‎ 将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，则．由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．‎ ‎【解答】解：法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），‎ 可设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得，‎ 消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．‎ 由韦达定理得x1+x2=2pk，x1x2=﹣2p2．‎ 于是 ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴当k=0时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，‎ AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，‎ 则O'H⊥PQ，O'点的坐标为（）．‎ ‎∵，，‎ ‎∴|PH|2=|O'P|2﹣|O'H|2==，‎ ‎∴|PQ|2=（2|PH|）2=．‎ 令，得，此时|PQ|=p为定值，‎ 故满足条件的直线l存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得=，‎ 又由点到直线的距离公式得．‎ 从而，∴当k=0时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x﹣x1）+（y﹣p）（y﹣y1）=0，‎ 将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，‎ 则|x1﹣x2|2=．‎ 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3，y3），Q（x4，y4），‎ 则有．‎ 令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．‎ ‎20．（13分）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为b的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F（x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）﹣g（x）大于等于0，得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．‎ ‎∵f'（x）=x+2a，，由题意f（x0）=g（x0），f'（x0）=g'（x0）．‎ 即由得：x0=a，或x0=﹣3a（舍去）．‎ 即有．‎ 令，则h'（t）=2t（1﹣3lnt）．‎ 于是当t（1﹣3lnt）＞0，即时，h'（t）＞0；当t（1﹣3lnt）＜0，即时，h'（t）＜0．‎ 故h（t）在为增函数，在为减函数，‎ 于是h（t）在（0，+∞）的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则F'（x）=．‎ 故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，‎ 于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=f（a）﹣g（a）=a2+2a2﹣3a2lna+a2﹣3a2lna=0，‎ 故当x＞0时，有f（x）﹣g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．‎ 21． ‎（14分）‎ ‎【考点】用数学归纳法证明不等式；数学归纳法．菁优网版权所有 ‎【分析】解法一：（Ⅰ）直接利用用数学归纳法证明的证明方法证明即可；‎ ‎（Ⅱ）对于n≥6，已知，利用指数函数的性质以及放缩法证，m=1，2…，n；‎ ‎（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，以及验证n=1，2，3，4，5时等式是否成立，即可求出满足等式3n+4m+…+（n+2）m=（n+3）n的所有正整数n．‎ 解法二：：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明．‎ ‎（Ⅱ）同解法一；‎ ‎（Ⅲ）利用反证法证明当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．验证同解法一．‎ ‎【解答】解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：‎ 当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，‎ x≠0时，证：用数学归纳法证明：‎ ‎（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；‎ 当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，‎ 因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；‎ ‎（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，‎ 则当m=k+1时，∵x＞﹣1，‎ ‎∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得 ‎（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，‎ 所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．‎ ‎（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得，‎ 于是=，m=1，2，n．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，，‎ ‎∴．‎ 即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．‎ 故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：‎ 当n=1时，3≠4，等式不成立；‎ 当n=2时，32+42=52，等式成立；‎ 当n=3时，33+43+53=63，等式成立；‎ 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；‎ 当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．‎ 综上，所求的n只有n=2，3．‎ 解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：‎ 当x＞﹣1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx． ①‎ ‎（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立；‎ ‎（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时，‎ 因为x＞﹣1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．‎ 于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，‎ 所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立．‎ 综上所述，所证不等式成立．‎ ‎（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵，‎ ‎∴，‎ 而由（Ⅰ），，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅲ）解：假设存在正整数n0≥6使等式成立，‎ 即有． ②‎ 又由（Ⅱ）可得 ‎=，与②式矛盾．‎ 故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．‎ 下同解法1．‎ ‎【点评】本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．注意放缩法的应用．‎ ‎　‎