高考数学专题复习解析几何精选例题

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高考数学专题复习解析几何精选例题

高考数学专题复习 解析几何 精选例题 第一课时 高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的,因此第一问的训练对于普通学校来说还是非常重要的,而第一问常考查动点的轨迹,求直线方程 ,圆锥曲线方程中的基本量,近年来,又加入了向量,但只是考察向量知识为主,以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。‎ 例一.(2004. 辽宁卷)(本小题满分12分)‎ 设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,‎ 点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求:‎ ‎ (1)动点P的轨迹方程;‎ ‎ ‎ 解答:.本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. ‎ ‎(1)解法一:直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为 记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 ‎②‎ ‎①‎ ‎ 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得,,所以 于是 ‎…………6分 设点P的坐标为则 消去参数k得 ③‎ 当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方 程为………………8分 解法二:设点P的坐标为,因、在椭圆上,所以 ‎ ④ ⑤‎ ‎④—⑤得,所以 当时,有 ⑥‎ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧‎ 当时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点P的坐标为(0,0)‎ 也满足⑧,所以点P的轨迹方程为 ‎………………8分 例二(2004.湖南理)(本小题满分12分)‎ 如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.‎ ‎(I)设点P分有向线段所成的比为,证明:;‎ 解:(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ‎ ‎ ①‎ 设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.‎ 所以 ‎ 由点P(0,m)分有向线段所成的比为,‎ 得 又点Q是点P关于原点的对称点,‎ 故点Q的坐标是(0,-m),从而.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 例三.(2004. 天津卷)(本小题满分14分) 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点的准线与轴相交于点A,,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I) 求椭圆的方程及离心率; ‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算:‎ ‎ (I)解:由题意,可设椭圆的方程为 由已知得解得 所以椭圆的方程为,离心率 ‎ ‎(课后训练)‎ ‎1.(2004.江苏)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程;:答案:(1)‎ ‎ 2.(2004. 福建理)(本小题满分12分)‎ 如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交 于另一点Q.‎ ‎(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;‎ 答案:. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法 解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.‎ 由y=x2, ①得y'=x.∴过点P的切线的斜率k切= x1,‎ ‎∴直线l的斜率kl=-=-,∴直线l的方程为y-x12=- (x-x1),‎ 方法一:联立①②消去y,得x2+x-x12-2=0.∵M是PQ的中点 ‎ x0==-,‎ ‎∴‎ ‎ y0=x12-(x0-x1).消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).‎ 方法二:由y1=x12,y2=x22,x0=,得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),‎ 则x0==kl=-,∴x1=-,将上式代入②并整理,得y0=x02++1(x0≠0),‎ ‎∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).‎ ‎3.(2004.湖北理)(本小题满分12分)直线的右支交于不同的两点A、B.(I)求实数k的取值范围;‎ 答案:.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力,满分12分.‎ 解:(Ⅰ)将直线 ‎……①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故 ‎5. (04.‎ ‎ 上海春季高考)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知倾斜角为的直线过点和点,在第一象限,.(1) 求点的坐标;若直线与双曲线相交于、两点,且线段的中点坐标为,求的值;‎ 答案: (1) 直线方程为,设点,由及,得,,点的坐标为。‎ ‎(2)由得,设,则,得。‎ 第二课时 ‎ 例一椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12.‎ (1) 求椭圆C的离心率; ‎ 答案:设, 对 由余弦定理, 得 ‎,解出 ‎ ‎ 例二知直线与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线上(1)求此椭圆的离心率;‎ 答案:设A、B两点的坐标分别为 得 ‎, 根据韦达定理,得 ‎ ‎ ∴线段AB的中点坐标为(). 由已知得 ‎ 故椭圆的离心率为 . ‎ ‎ 例三线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A两点.‎ (1) 求证:; ‎ ‎ 讲解: (1)易求得抛物线的焦点. 若l⊥x轴,则l的方程为.若l不垂直于x轴,可设,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 .‎ ‎(课后练习)‎ ‎04 北京·文史第17题,本小题满分14分) 如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(),B()均在抛物线上。 ‎ ‎(I)写出该抛物线的方程及其准线方程 ‎ ‎(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值及直线AB的斜率 ‎22.<2004年天津高考·理工第22题,文史第22题[只做第(1)和(2)问],本小题满分14分> 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)()的准线与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 ‎ ‎(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若,求直线PQ的方程;‎
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