2021年中考数学专题复习 专题30 尺规作图问题（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题30 尺规作图问题（教师版含解析）

专题 30 尺规作图问题 1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可 以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。 2.尺规作图的五种基本情况 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作已知线段的垂直平分线； (4)作已知角的角平分线； (5)过一点作已知直线的垂线。 3.对尺规作图题解法 写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。 4.中考要求 (1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直 平分线. (2)能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角 形；已知底边及底边上的高作等腰三角形. (3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. (4)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明). 【例题 1】(2020•台州)如图，已知线段 AB，分别以 A，B 为圆心，大于 AB 同样长为半径画弧，两弧交于点 C，D，连接 AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( ) A．AB 平分∠CAD B．CD 平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD 【答案】D 【分析】根据作图判断出四边形 ACBD 是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对 角线互相垂直平分可得出答案． 【解析】由作图知 AC＝AD＝BC＝BD， ∴四边形 ACBD 是菱形， ∴AB 平分∠CAD、CD 平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断 AB＝CD 【对点练习】(2019•丽水模拟题)如图，小红在作线段 AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点 A，B 为圆心，大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点 C，D，则直线 CD 即为所求．连结 AC，BC，AD， BD，根据她的作图方法可知，四边形 ADBC 一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形 ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形。 ∵分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 C、D， ∴AC=AD=BD=BC， ∴四边形 ADBC 一定是菱形。 【例题 2】(2020•辽阳)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE，若 CE＝3，则 BE 的长为 ． 【答案】5． 【分析】设 BE＝AE＝x，在 Rt△BEC 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解析】由作图可知，MN 垂直平分线段 AB， ∴AE＝EB， 设 AE＝EB＝x， ∵EC＝3，AC＝2BC， ∴BC (x+3)， 在 Rt△BCE 中，∵BE2 ＝BC2 +EC2 ， ∴x2 ＝3 2 +[ (x+3)]2 ， 解得，x＝5 或﹣3(舍弃)， ∴BE＝5 【对点练习】(2019 武汉)如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BE＝BF；分 别以 E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧在∠ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP ＝3，则点 P 到 BD 的距离为 ． 【答案】3 【解析】结合作图的过程知：BP 平分∠ABD， ∵∠A＝90°，AP＝3， ∴点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3。 【例题 3】(2020•武威)如图，在△ABC 中，D是 BC 边上一点，且 BD＝BA． (1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)： ①作∠ABC 的角平分线交 AD 于点 E； ②作线段 DC 的垂直平分线交 DC 于点 F． (2)连接 EF，直接写出线段 EF 和 AC 的数量关系及位置关系． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据尺规作基本图形的方法： ①作∠ABC 的角平分线交 AD 于点 E 即可； ②作线段 DC 的垂直平分线交 DC 于点 F 即可． (2)连接 EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段 EF 和 AC 的数量关系及位置关系． 【解析】(1)如图，①BE 即为所求； ②如图，线段 DC 的垂直平分线交 DC 于点 F． (2)∵BD＝BA，BE 平分∠ABD， ∴点 E 是 AD 的中点， ∵点 F 是 CD 的中点， ∴EF 是△ADC 的中位线， ∴线段 EF 和 AC 的数量关系为：EF AC， 位置关系为：EF∥AC． 【对点练习】( 2019•广东模拟题)如图，点 D 在△ABC 的 AB 边上，且∠ACD=∠A． (1)作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系(不要求证明)． 【答案】见解析。 【解析】(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可； (2)根据角平分线的性质可得∠BDE= ∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A= ∠BDE，再根据同位角 相等两直线平行可得结论． DE∥AC ∵DE 平分∠BDC， ∴∠BDE= ∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A= ∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 一、选择题 1．(2020•河北)如图 1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线． 如图 2，步骤如下， 第一步：以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E； 第二步：分别以 D，E 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧在∠ABC 内部交于点 P； 第三步：画射线 BP．射线 BP 即为所求． 下列正确的是( ) A．a，b 均无限制 B．a＞0，b＞ DE 的长 C．a有最小限制，b 无限制 D．a≥0，b＜ DE 的长 【答案】B 【分析】根据角平分线的画法判断即可． 【解析】以 B为圆心画弧时，半径 a必须大于 0，分别以 D，E 为圆心，以 b为半径画弧时，b必须大于 DE， 否则没有交点. 2．(2020•襄阳)如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是( ) A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C 【答案】D 【分析】证明△ADE≌△ADB 即可判断 A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC 即可． 【解析】由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°， ∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADB(AAS)， ∴DB＝DE，AB＝AE， ∵∠AEB+∠B＝180° ∴∠BAC+∠BDE＝180°， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝∠BAC， 故 A，B，C 正确. 3．(2020•贵阳)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BE＝BD；分别 以 D，E为圆心、以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点 F；作射线 BF 交 AC 于点 G．若 CG＝1， P为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为( ) A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】如图，过点 G 作 GH⊥AB 于 H．根据角平分线的性质定理证明 GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解 决问题． 【解析】如图，过点 G 作 GH⊥AB 于 H． 由作图可知，GB 平分∠ABC， ∵GH⊥BA，GC⊥BC， ∴GH＝GC＝1， 根据垂线段最短可知，GP 的最小值为 1 4.(2019•河北模拟题)如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在 BC 上确定一点 P，使 PA+PC=BC，则符合要求的 作图痕迹是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使 PA+PC=BC，必有 PA=PB，所以选项中只有作 AB 的中垂线才能满足这个条件，故 D 正确 D选项中作的是 AB 的中垂线， ∴PA=PB， ∵PB+PC=BC， ∴PA+PC=BC 5.(2019•湖南益阳)已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧； 再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】依据作图即可得到 AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到 AC2 +BC2 ＝AB2 ，即可得出△ABC 是直角三角形． 如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选 B． 6.(2019•湖南长沙)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长 为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数是( ) A．20° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知 DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案． 在△ABC 中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。 7.(2019 年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB 的依据 是( ) A．(SAS) B．(SSS) C． (ASA) D． (AAS) 【答案】B 【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运 用 SSS，答案可得． 作图的步骤： ①以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 C、D； ②任意作一点 O′，作射线 O′A′，以 O′为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′于点 C′； ③以 C′为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D′； ④过点 D′作射线 O′B′． 所以∠A′O′B′就是与∠AOB 相等的角； 作图完毕． 在△OCD 与△O′C′D′， ， ∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是 SSS． 二、填空题 8．(2020•苏州)如图，已知∠MON 是一个锐角，以点 O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OM、ON 于点 A、 B，再分别以点 A、B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC．过点 A 作 AD∥ON，交射 线 OC 于点 D，过点 D 作 DE⊥OC，交 ON 于点 E．设 OA＝10，DE＝12，则 sin∠MON＝ ． 【答案】 ． 【分析】如图，连接 DB，过点 D 作 DH⊥ON 于 H．首先证明四边形 AOBD 是菱形，解直角三角形求出 DH 即可 解决问题． 【解析】如图，连接 DB，过点 D作 DH⊥ON 于 H． 由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB， ∵AD∥EO， ∴∠ADO＝∠DOE， ∴∠AOD＝∠ADO， ∴AO＝AD， ∴AD＝OB，AD∥OB， ∴四边形 AOBD 是平行四边形， ∵OA＝OB， ∴四边形 AOBD 是菱形， ∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA， ∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO， ∵DE⊥OD， ∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE＝10， ∴OE＝2OB＝20， ∴OD 16， ∵DH⊥OE， ∴DH ， ∴sin∠MON＝sin∠DBH ． 9．(2019 济南)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB，BC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D．若 ∠A＝30°，则 ＝ ． 【答案】 ． 【解析】由作法得 BD 平分∠ABC， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴DA＝DB， 在 Rt△BCD 中，BD＝2CD， ∴AD＝2CD， ∴ ＝1/2 10. ( 2019 甘肃省兰州市) 如图， 矩形 ABCD， ∠BAC＝600. 以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB.AC 于点 M、N 两点，再分别以点 M、N 为圆心，以大于 2 1 MN 的长为半径作弧交于点 P ，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE＝1，则矩形 ABCD 的面积等于___________. 【答案】3 3 ． 【解析】 由题可知 AP 是∠BAC 的角平分线 ∵∠BAC＝60 0 ∴∠BAE＝∠EAC＝30 0 ∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝ 3 ∴∠AEB＝60 0 又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC＝∠ECA＝30 0 ∴AE＝EC＝2 ∴BC＝3 ∴S 矩形ABCD＝3 3 ． 三、解答题(一) 11．(2020•陕西)如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在 AC 边上求作一点 P，使∠PBC ＝45°．(保留作图痕迹．不写作法) 【答案】见解析。 【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在 AC 边上求作一点 P，使∠PBC＝45°即可． 【解析】如图，点 P 即为所求． 12．(2020•长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB． 求作：∠AOB 的平分线． 作法：(1)以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N． (2)分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C． (3)画射线 OC，射线 OC 即为所求(如图)． 请你根据提供的材料完成下面问题． (1)这种作已知角的平分线的方法的依据是 ．(填序号) ①SSS②SAS③AAS④ASA (2)请你证明 OC 为∠AOB 的平分线． 【答案】见解析。 【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出基本依据； (2)直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案． 【解析】(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS． 故答案为：① (2)由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC， 则在△OMC 和△ONC 中， ܯ ܥ ܥ ܥܯ ܥ ， ∴△OMC≌△ONC(SSS)， ∴∠AOC＝∠BOC， 即 OC 为∠AOB 的平分线． 13．(2020•福建)如图，C 为线段 AB 外一点． (1)求作四边形 ABCD，使得 CD∥AB，且 CD＝2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 P，AB，CD 的中点分别为 M，N，求证：M，P，N三点在同一条 直线上． 【答案】见解析。 【分析】(1)利用尺规作图作 CD∥AB，且 CD＝2AB，即可作出四边形 ABCD； (2)在(1)的四边形 ABCD 中，根据相似三角形的判定与性质即可证明 M，P，N 三点在同一条直线上． 【解析】(1)如图，四边形 ABCD 即为所求； (2)如图， ∵CD∥AB， ∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP， ∴△ABP∽△CDP， ∴ ܥ ܥ ， ∵AB，CD 的中点分别为 M，N， ∴AB＝2AM，CD＝2CN， ∴ ܯ ܥ ܥ ， 连接 MP，NP， ∵∠BAP＝∠DCP， ∴△APM∽△CPN， ∴∠APM＝∠CPN， ∵点 P 在 AC 上， ∴∠APM+∠CPM＝180°， ∴∠CPN+∠CPM＝180°， ∴M，P，N三点在同一条直线上． 14．(2020•北京)已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB． 求作：线段 BP，使得点 P 在直线 CD 上，且∠ABP ∠BAC． 作法：①以点 A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C，P 两点； ②连接 BP． 线段 BP 就是所求作的线段． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP＝ ． ∵AB＝AC， ∴点 B 在⊙A 上． 又∵点 C，P 都在⊙A 上， ∴∠BPC ∠BAC( )(填推理的依据)． ∴∠ABP ∠BAC． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据作法即可补全图形； (2)根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明． 【解析】(1)如图，即为补全的图形； (2)证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP＝∠BPC． ∵AB＝AC， ∴点 B 在⊙A 上． 又∵点 C，P 都在⊙A 上， ∴∠BPC ∠BAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)， ∴∠ABP ∠BAC． 故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 15．(2020•达州)如图，点 O 在∠ABC 的边 BC 上，以 OB 为半径作⊙O，∠ABC 的平分线 BM 交⊙O 于点 D，过 点 D 作 DE⊥BA 于点 E． (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形； (2)判断⊙O 与 DE 交点的个数，并说明理由． 【答案】见解析。 【分析】(1)根据要求，利用尺规作出图形即可． (2)证明直线 AE 是⊙O 的切线即可解决问题． 【解析】(1)如图，⊙O，射线 BM，直线 DE 即为所求． (2)直线 DE 与⊙O 相切，交点只有一个． 理由：∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴AE⊥OD， ∴直线 AE 是⊙O 的切线， ∴⊙O与直线 AE 只有一个交点． 16．(2019•六盘水模拟题)如图，在△ABC 中，利用尺规作图，画出△ABC 的外接圆或内切圆(任选一个．不 写作法，必须保留作图痕迹) 【答案】见解析。 【解析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可。 如图所示： 17.(2020 大连模拟)请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图①，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形 ABCD 的对称轴 m； (2)如图②，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出 BC 边的垂直平分线 n． 【答案】见解析。 【解析】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可 画出直线． (1)连接 AC，AC 所在直线即为对称轴 m． 如图①，直线 m 即为所求 (2)(2)延长 BA，CD 交于一点，连接 AC，BC 交于一点，连接两点获得垂直平分线 n． 如图②，直线 n 即为所求 18.(2019•四川省达州市)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3． (1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D； ②过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E． (2)在(1)作出的图形中，求 DE 的长． 【答案】见解析。 【解析】(1)利用基本作图，先画出 CD 平分∠ACB，然后作 DE⊥BC 于 E。 如图，DE 为所作； (2)利用 CD 平分∠ACB 得到∠BCD＝45°，再判断△CDE 为等腰直角三角形，所以 DE＝CE，然后证明△BDE ∽△BAC，从而利用相似比计算出 DE． ∵CD 平分∠ACB， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝45°， ∵DE⊥BC， ∴△CDE 为等腰直角三角形，∴DE＝CE， ∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴DE＝ ． 19.(2019•广东)如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点． (1)请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE 交 AC 于 E；(不要 求写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若 DB AD =2，求 EC AE 的值． 【答案】见解析。 【解析】(1)如图所示，∠ADE 为所求. (2)∵∠ADE=∠B ∴DE∥BC ∴ EC AE = DB AD ∵ DB AD =2 ∴ EC AE =2 20.(2019•广西贵港)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)： 如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC． 【答案】见解析。 【解析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 先作一个∠D＝∠A，然后在∠D 的两边分别截取 ED＝BA，DF＝AC，连接 EF 即可得到△DEF。如图， △DEF 即为所求． 21.(2019 山东枣庄)如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，∠CBD＝75°， (1)请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)条件下，连接 BF，求∠DBF 的度数． 【答案】见解析。 【解析】(1)分别以 A.B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。 如图所示，直线 EF 即为所求； (2)根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF 计算即可。 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C． ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°， ∵EF 垂直平分线段 AB， ∴AF＝FB， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 22.(2019•湖北孝感)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点 C 为圆心，以 CB 为半径画弧，交 AB 于点 G；分别以点 G、B为圆心，以大于 GB 的长为半径画弧， 两弧交点 K，作射线 CK； ②以点 B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 BC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N；分别以点 M、N 为圆心， 以大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作直线 BP 交 AC 的延长线于点 D，交射线 CK 于点 E． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； (1)线段 CD 与 CE 的大小关系是 ； (2)过点 D作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，若 AC＝12，BC＝5，求 tan∠DBF 的值． 【答案】见解析。 【解析】(1)由作图知 CE⊥AB，BD 平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90° 知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案； CD＝CE， 由作图知 CE⊥AB，BD 平分∠CBF， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°， ∴∠CEB＝∠CDE， ∴CD＝CE， 故答案为：CD＝CE； (2)证△BCD≌△BFD 得 CD＝DF，从而设 CD＝DF＝x，求出 AB＝ ＝13，知 sin∠DAF＝ ＝ ， 即 ＝ ，解之求得 x＝ ，结合 BC＝BF＝5 可得答案． ∵BD 平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF， ∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD， 在△BCD 和△BFD 中， ∵ ， ∴△BCD≌△BFD(AAS)， ∴CD＝DF， 设 CD＝DF＝x， 在 Rt△ACB 中，AB＝ ＝13， ∴sin∠DAF＝ ＝ ，即 ＝ ， 解得 x＝ ， ∵BC＝BF＝5， ∴tan∠DBF＝ ＝ × ＝ ． 23.(2019 平谷二模)下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：如图 1，直线 l 和 l 外一点 P． 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P． 作法：如图 2， (1)在直线 l 上任取一点 A； (2)连接 AP，以点 P为圆心，AP 长为半径作弧，交直线 l 于点 B(点 A，B 不重合)； (3)连接 BP，作∠APB 的角平分线，交 AB 于点 H； (4)作直线 PH，交直线 l于点 H． 所以直线 PH 就是所求作的垂线． 根据小元设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明. 证明：∵PH 平分∠APB， ∴∠APH= ． ∵PA= ， ∴PH⊥直线 l于 H．( )(填推理的依据) 【答案】见解析。 【解析】(1)如图所示。 (2)证明：∵PH 平分∠APB， ∴∠APH=∠BPH． ∵PA=PB， ∴PH⊥直线 l于 H．( 等腰三角形三线合一 ) 24.(2019•甘肃庆阳)已知：在△ABC 中，AB＝AC． (1)求作：△ABC 的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)若△ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC＝6，则 S⊙O＝ ． 【答案】见解析。 【解析】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型． (1)作线段 AB，BC 的垂直平分线，两线交于点 O，以 O 为圆心，OB 为半径作⊙O，⊙O 即为所求．如图⊙O 即为所求． (2)在 Rt△OBE 中，利用勾股定理求出 OB 即可解决问题． 设线段 BC 的垂直平分线交 BC 于点 E． 由题意 OE＝4，BE＝EC＝3， 在 Rt△OBE 中，OB＝ ＝5， ∴S 圆O＝π•5 2 ＝25π． 25.(2019•广东广州)如图，⊙O的直径 AB＝10，弦 AC＝8，连接 BC． (1)尺规作图：作弦 CD，使 CD＝BC(点 D 不与 B重合)，连接 AD；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求四边形 ABCD 的周长． 【答案】见解析。 【解析】(1)以 C 为圆心，CB 为半径画弧，交⊙O 于 D，线段 CD 即为所求． 如图，线段 CD 即为所求． (2)连接 BD，OC 交于点 E，设 OE＝x，构建方程求出 x 即可解决问题． 连接 BD，OC 交于点 E，设 OE＝x． ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝ ＝ ＝6， ∵BC＝CD， ∴ ＝ ， ∴OC⊥BD 于 E． ∴BE＝DE， ∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2， ∴6 2 ﹣(5﹣x)2 ＝5 2 ﹣x2 ， 解得 x＝ ， ∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE＝ ， ∴四边形 ABCD 的周长＝6+6+10+ ＝ ． 四、解答题(二) 26.已知线段 a、b，画一条线段，使其等于 ba 2 ． 【解析】所要画的线段等于 ba 2 ，实质上就是 bba  ． 画法： (1)画线段 aAB  ． (2)在 AB 的延长线上截取 bBC 2 ．线段 AC 就是所画的线段． 【点拨】尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．其它作图都可以通过画基本 作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图． 27.如下图，已知线段 a和 b，求作一条线段 AD 使它的长度等于 2a－b． 【解析】如图， （1）作射线 AM； (2)在射线 AM 上，顺次截取 AB=BC=a； (3)在线段 CA 上截取 CD=b，则线段 AD 就是所求作的线段． 28.求作一个角等于已知角∠MON(如图 1)． 图(1) 图(2) 【解析】(1)作射线 11MO ； （2）在图(1)上，以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OM 于点 A，交 ON 于点 B； (3)以 1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交 11MO 于点 C； (4)以 C 为圆心，以 AB 的长为半径作弧，交前弧于点 D；(5)过点 D 作射线 DO1 ． 则∠ DCO1 就是所要求作的角． 29.如下图，已知∠α及线段 a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为 a． 【解析】先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边 BC=a，故可 以先作∠B=∠α，或先作底边 BC=a． 作法 如下图 （1）∠MBN=∠α； （2）在射线 BM 上截取 BC=a； (3)以 C 为顶点作∠PCB=∠α，射线 CP 交 BN 于点 A．△ABC 就是所要求作的等腰三角形． 【点拨】画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行 分析，逐步寻找画图步骤． 30.如图(1)，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，过点 C 作 CD∥AB(写出作法，画出图形) 图(1) 图(2) 【解析】根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB 即可． 作法：如图(2)． (1)过点 C作直线 EF，交 AB 于点 F； (2)以点 F为圆心，以任意长为半径作弧，交 FB 于点 P，交 EF 于点 Q； (3)以点 C为圆心，以 FP 为半径作弧，交 CE 于 M 点； (4)以点 M为圆心，以 PQ 为半径作弧，交前弧于点 D； (5)过点 D作直线 CD，CD 就是所求的直线． 【点拨】作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由． 31.正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点 A出发，将△ABC 分成面积相 等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案(保留作图痕迹，不写作法)． (2003 年，桂林) 【解析】这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从 A 点出发， 说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出 BC 边的三等分点即 可． 作法：如下图， 找三等分点的依据是平行线等分线段定理． 32.已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线 OC． 图(1) 图(2) 【解析】如图(2) (1)以点 O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 D、E 两点； (2)分别以 D、E 为圆心，以大于 2 1 DE 的长为半径作弧，两弧交于 C点； (3)作射线 OC，则 OC 为∠AOB 的平分线． 33.如图(1)所示，已知线段 a、b、h(h＜b)． 求作△ABC，使 BC=a，AB=b， BC 边上的高 AD=h． 图(1) 图(2) 【解析】如图(2)． (1)作直线 PQ，在直线 PQ 上任取一点 D，作 DM⊥PQ； (2)在 DM 上截取线段 DA=h； (3)以 A 为圆心，以 b 为半径画弧交射线 DP 于 B； (4)以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BP 和射线 BQ 于 1C 和 2C ； (5)连结 1AC 、 2AC ，则△ 1ABC (或△ 2ABC )都是所求作的三角形． 34.如图，已知线段 a，b，求作 Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)． 【解析】本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定 A、B 两点的位置，作出△ABC． 作法：如下图 (1)作直线 MN： (2)在 MN 上任取一点 C，过点 C 作 CE⊥MN； (3)在 CE 上截取 CA=b，在 CM 上截取 CB=a； (4)连结 AB，△ABC 就是所求作的直角三角形． 【点拨】利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序， 要先画出假设图形． 35.如图，已知钝角△ABC，∠B是钝角． 求作：(1)BC 边上的高；(2)BC 边上的中线(写出作法，画出图形)． 【解析】(1)作 BC 边上的高，就是过已知点 A 作 BC 边所在直线的垂线；(2)作 BC 边上的中线，要先确定出 BC 边的中点，即作出 BC 边的垂直平分线． 作法：如下图 (1)①在直线 CB 外取一点 P，使 A、P在直线 CB 的两旁； ②以点 A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线 CB 于 G、H 两点； ③分别以 G、H为圆心，以大于 2 1 GH 的长为半径画弧，两弧交于 E 点； ④作射线 AE，交直线 CB 于 D点，则线段 AD 就是所要求作的△ABC 中 BC 边上的高． (2)①分别以 B、C 为圆心，以大于 2 1 BC 的长为半径画弧，两弧分别交于 M、N两点； ②作直线 MN，交 BC 于点 F； ③连结 AF，则线段 AF 就是所要求作的△ABC 中边 BC 上的中线． 【点拨】在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是 三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．