山东高考理科数学试题及详细解析

山东高考理科数学试题及详细解析

‎2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。‎ 1. 已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ 答案：D 解析：与互为共轭复数，‎ 2. 设集合则 ‎(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) ‎ 答案：C 解析：‎ 3. 函数的定义域为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案：C 解析：‎ 或 ‎ 或。‎ ‎4. 用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是 ‎(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 ‎(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根 5. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案：D 解析：‎ ‎，排除A,B，对于C ，是周期函数，排除C。‎ ‎6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ‎（A）（B）（C）2（D）4‎ 答案：D 解析：‎ ‎，‎ 第一象限 ‎7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 答案：C 解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4‎ ‎8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 答案：B 解析：画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与的斜率一致。‎ ‎9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 答案：B 解析：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方。‎ ‎10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 答案：A 解析：‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。‎ 11. 执行下面的程序框图，若输入的的值为1，‎ 则输出的的值为。‎ 答案：3‎ 解析：根据判断条件，得，‎ 输入 第一次判断后循环，‎ 第二次判断后循环，‎ 第三次判断后循环，‎ 第四次判断不满足条件，退出循环，输出 12. 在中，已知，当时，的面积为。‎ 答案：‎ 解析：由条件可知，‎ ‎ 当，‎ 13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则。‎ 答案：‎ 解析：分别过向平面做高，由为的中点得，‎ 由为的中点得，所以 14. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为。‎ 答案：2‎ 解析：将展开，得到，令.‎ 由，得，所以.‎ 15. 已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是。‎ 答案：‎ 解析：根据图像分析得，当与在第二象限相切时，‎ ‎，由恒成立得.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知向量，函数，且的图像过 点和点.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若 图像上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间.‎ 解：（Ⅰ）已知，‎ 过点 ‎ ‎ 解得 ‎（Ⅱ）‎ 左移后得到 设的对称轴为，解得 ‎，解得 ‎ ‎ 的单调增区间为 ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点. ‎ ‎（I）求证：； ‎ ‎（II）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.‎ 解：（Ⅰ）连接 为四棱柱， ‎ 又为的中点，‎ ‎,‎ ‎,‎ 为平行四边形 又 ‎ ‎（Ⅱ）方法一： ‎ ‎ 作,连接 则即为所求二面角 在中， ‎ 在中，, ‎ 方法二：作于点 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，‎ 设平面的法向量为 ‎ ‎ 显然平面的法向量为 显然二面角为锐角，‎ 所以平面和平面所成角的余弦值为 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：‎ ‎（I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；‎ ‎（II）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.‎ 解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为 ‎（II）‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎19.(本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列。‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）令=求数列的前项和。‎ 解：（I）‎ 解得 ‎（II）‎ ‎20.( 本小题满分13分）‎ ‎ 设函数（为常数，是自然对数的底数）‎ ‎（I）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围。‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有|，当点的横坐标为3时，为正三角形。‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎ （i）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ （ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。‎