高考数学一轮复习专题09椭圆与双曲线的离心率特色训练

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高考数学一轮复习专题09椭圆与双曲线的离心率特色训练

九、椭圆与双曲线的离心率 一、选择题 1.【2017 年浙江卷】椭圆 2 2 19 4 x y  的离心率是 A. 13 3 B. 5 3 C. 2 3 D. 5 9 【答案】B 【解析】椭圆 2 2 19 4 x y  中 2 2 2 2 29 4 5a b c a b    , , . 离心率 5e 3 c a   ,故选 B. 2.已知焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   的离心率为 1 2 ,则 m  ( ) A. 6 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 3.【2018 届南宁市高三摸底联考】已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 ,弦的中点坐标是 ,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设直线与椭圆交点为 ,分别代入椭圆方程,由点差法可知 代入 k=1,M(-4,1),解得 ,选 C. 4.【2018 届浙江省温州市高三 9 月测试】正方形 的四个顶点都在椭圆 上,若 椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 5.【2018 届江西省南昌市高三上学期摸底】已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左右 焦点分别为 1 2,F F , P 为双曲线C 上第二象限内一点,若直线 by xa  恰为线段 2PF 的垂直 平分线,则双曲线 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】设  2 ,0F c ,渐近线方程为 by xa  ,对称点为  ,P m n ,即有 n a m c b   ,且  1 1 2 2 b m cn a    ,解得 2 2 2,a b abm nc c   ,将 2 2 2,a b abP c c       ,即 2 22 2,a c ab c c       ,代入双曲线的方程可得  22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 a c a b a c c b    ,化简可得 2 2 4 1c a   , 即有 e2=5,解得 5e  ,故选 C. 6.【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】已知 为椭圆与双曲线的公共焦点, 是 它们的一个公共点,且 ,则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 在△PF1F2 中由余弦定理得, 4c2=(a1+a2)2+(a1﹣a2)2﹣2(a1+a2)(a1﹣a2)cos , 化简得:( )a1 2+( )a2 2=4c2, 即 , 又∵ 9 , ∴ ,即 ≥ , 即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 . 故选:B. 7.【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     , 若存在过右焦点 F 的直线与双曲线交于 A , B 两点,且 3AF BF  ,则双曲线离心率的最 小值为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 2 【答案】C 【解析】因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于 A、B 两点,且 3AF BF  ,故直线与双曲线 相交只能交于左右两只,即 A 在左支,B 在右支,设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,右焦点  ,0F c , 因为 3AF BF  ,所以  1 23c x c x   , 2 13 2x x c  ,由于 1 2,x a x a   ,所以 1 2,3 3x a x a   ,故 2 13 4x x a  ,即 2 4 , 2,cc a a   即 2e  ,选 C. 8.【2018 届甘肃省兰州第一中学高三 9 月月考】设点 P 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )上 一点,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,则该椭 圆的离心率是 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 4 【答案】A 9.【2018 届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆 关于直线 对称,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆的半径为: ,满足题意时,直线过圆心,即 , 双曲线的离心率为: . 本题选择 C 选项. 10.【2018 届广西钦州市高三上第一次检测】已知双曲线 ( , )的左、右 焦点分别为 、 ,焦距为 ( ),抛物线 的准线交双曲线左支于 , 两点,且 ( 为坐标原点),则该双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 11.【2017 届湖北省黄冈中学高三三模】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且 左、右焦点分别为 1 2,F F ,这两条曲线在第一象限的交点为 P , 1 2PF F 是以 1PF 为底边的 等腰三角形.若 1 10PF  ,记椭圆与双曲线的离心率分别为 1 2,e e ,则 1 2e e 的取值范围是 ( ) A. 1 ,3     B. 1 ,5     C. 1 ,9     D.  0, 【答案】A 【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n), 由于△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形。若|PF1|=10, 即有 m=10,n=2c, 由椭圆的定义可得 m+n=2a1, 由双曲线的定义可得 m−n=2a2, 即有 a1=5+c, a2=5−c,(c<5), 再由三角形的两边之和大于第三边,可得 2c+2c>10, 可得 c> 5 2 ,即有 5 2 由离心率公式可得 2 1 2 2 1 2 2 1 2525 1 c c ce e a a c c       由于 2 251 4c   ,则有 2 1 1 25 31c   . 则 1 2,e e 的取值范围为( 1 3 ,+∞). 故选:A. 12.【2018 届山西省名校高三五校模拟联考一】设双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、 右焦点分别为 1F , 2F , 1 2 2F F c ,过 2F 作 x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A , 已知 3, 2 aQ c     , 2 2F Q F A ,点 P 是双曲线C 右支上的动点,且 1 1 2 3 2PF PQ F F  恒 成立,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 10 ,2      B. 71, 6      C. 7 10,6 2       D. 101, 2       【答案】B 二、填空题 13.【2018 届浙江省温州市高三 9 月测试】双曲线的焦点在 轴上,实轴长为 4,离心率为 , 则该双曲线的标准方程为__________,渐进线方程为__________. 【答案】 【解析】 实轴 ,又 离心率 , , , 双 曲线方程为 ,渐进线方程为 ,故答案为 , . 14.【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知双曲线 的焦 点与抛物线 的焦点重合,则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】由题意知, ,∴ ,∴双曲线的离心率 . 15.【2018 届江苏省仪征中学高三 10 月检测】设 P 为有公共焦点 1 2,F F 的椭圆 1C 与双曲线 2C 的一个交点,且 1 2PF PF ,椭圆 1C 的离心率为 1e ,双曲线 2C 的离心率为 2e ,若 2 13e e , 则 1e  ______________. 【答案】 5 3 2 2 ce a  , 2 2 2 ca e   2 2 2 2 2 2 2 2 11b c a c e          2 2 2 2 1 2 1 11 1c ce e               即 1 2, 12 2 1 2 1 1 52 3 3e e ee e     , 故答案为 5 3 . 16.【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知椭圆 的两个焦 点分别为 , , 为椭圆上一点,且 ,则此椭圆离心率的取值范 围是__________. 【答案】 三、解答题 17.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     过点  0,2M ,离心率是 6 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ)直线l 过点  2,0N 且交椭圆C 于 A 、B 两点,若 90AOB  (其中O 为坐标原点), 求直线l 的方程. 【答案】(1) 2 2 112 4 x y  (2) 3 2 3y x  或 2 3y x   . 【解析】试题分析:(1)根据椭圆几何意义得 2 4b  ,再根据离心率求得 2 12a  (2)设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,则由 90AOB   得 1 2 1 2 0x x y y  ,再设直线方程,化简得 1 2x x, 和与积的关系,最后联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代人关系式,求解得斜率,注 意验证斜率不存在时是否满足条件 试题解析:(Ⅰ)将  0,2M 代入方程可得 2 4b  , 离心率 2 2 2 2 2 2 2 3 c a be a a    , ∴ 2 12a  , ∴C 的方程为: 2 2 112 4 x y  . 可得  2 2 2 21 3 12 12 12 0k x k x k     , ∴ 2 1 2 2 12 1 3 kx x k    , 2 1 2 2 12 12 1 3 kx x k    ,   2 1 2 1 22 2y y k x x     2 1 2 1 22 4k x x x x      2 2 8 1 3 k k   ∵ 1 2 1 2 0x x y y  , ∴ 2 2 2 2 12 12 8 01 3 1 3 k k k k     , ∴ 24 12 0k   , ∴ 3k   . ∴直线l 的方程为 3 2 3y x  或 2 3y x   . 18.【2018 届云南师范大学附属中学月考一】已知椭圆 ( )的两个顶 点分别为 , ,点 为椭圆上异于 的点,设直线 的斜率为 ,直线 的斜率 为 , . (1)求椭圆 的离心率; (2)若 ,设直线 与 轴交于点 ,与椭圆交于 两点,求 的面积的最大值. 【答案】(1) ;(2)面积的最大值为 . 试题解析:(1) , 整理得: , 又 , ,所以 , . (2)由(Ⅰ)知 ,又 , 所以椭圆 C 的方程为 . 设直线 的方程为: 代入椭圆的方程有: , 设 , , 令 ,则有 , 代入上式有 , 当且仅当 即 时等号成立, 所以 的面积的最大值为 . 19.【2018 届湖北省武汉市学部分学校新高三起点调研】设 为坐标原点,动点 在椭圆 ( , )上,过 的直线交椭圆 于 两点, 为椭圆 的左焦点. (1)若三角形 的面积的最大值为 1,求 的值; (2)若直线 的斜率乘积等于 ,求椭圆 的离心率. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析: 试题解析: (1) ,所以 (2)由题意可设 , , ,则 , , 所以 ,所以 所以离心率 . 20.【2018 届陕西省西安中学高三 10 月月考】已知椭圆 的右焦点为 ,离心率为 . (1)若 ,求椭圆的方程; (2)设直线 与椭圆相交于 两点, 分别为线段 的中点,若坐标原点 在以 为直径的圆上,且 ,求 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) 【解析】试题分析: 试题解析: (1)由题意得 ,∴ . 又因为 ,∴ . 所以椭圆的方程为 . (2)由 得 . 设 .所以 , 依题意, ,易知,四边形 为平行四边形,所以 . 因为 , , 所以 . 即 , 将其整理为 . 因为 ,所以 , . 所以 ,即 . 21.【2018 届湖南省岳阳市一中高三上第一次月考】已知点 P 是直线 : 2l y x  与椭圆   2 2 2 1 1x y aa    的一个公共点, 1 2,F F 分别为该椭圆的左右焦点,设 1 2PF PF 取得最 小值时椭圆为 C . (1)求椭圆C 的标准方程及离心率; (2)已知 ,A B 为椭圆C 上关于 y 轴对称的两点, Q 是椭圆C 上异于 ,A B 的任意一点,直 线 ,QA QB 分别与 y 轴交于点    0, , 0,M m N n ,试判断 mn 是否为定值;如果为定值,求出 该定值;如果不是,请说明理由. 【答案】(1) 2 2 13 x y  ;(2)1 . 试题解析:(1)联立 2 2 2 2 { 1 y x x ya     ,得  2 2 2 21 4 3 0a x a x a    , ∵直线 2y x  与椭圆有公共点, ∴  4 2 216 4 1 3 0a a a      ,解得 2 3a  ,∴ 3a  , 又由椭圆定义知 1 2 2PF PF a  , 故当 3a  时, 1 2PF PF 取得最小值, 此时椭圆 C 的方程为 2 2 13 x y  ;离心率为 6 3 ; 同理,得 0 1 1 0 0 1 x y x yn x x   , ∴ 2 2 2 2 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 1 0 1 0 1 x y x y x y x y x y x ymn x x x x x x        , 又 2 2 2 20 1 0 11, 13 3 x xy y    , ∴ 2 2 2 20 1 0 11 , 13 3 x xy y    , ∴ 22 2 2 01 0 1 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 0 1 1 13 3 1 xxx x x xmn x x x x               , ∴ mn 为定值 1. 22.【2018 届河北省定州中学高三上第二次月考】已知 是椭圆 的左、 右焦点,点 在椭圆上, 为椭圆的离心率,且点 为椭圆短半轴的上顶点, 为 等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 作不与坐标轴垂直的直线 ,设 与圆 相交于 两点,与椭圆相交 于 两点,当 且 时,求 的面积 的取值范围. 【答案】(1) (2) 试题解析:(Ⅰ)由 是等腰直角三角形,得 , 从而得到 ,故而椭圆经过 , 代入椭圆方程得 ,解得 , 所求的椭圆方程为 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,由题意,设直线 的方程为 , , 由 得 , 则 . ∵ ,∴ ,解得 . 由 消 得 . 设 , , ,
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