高考数学一轮复习专题09椭圆与双曲线的离心率特色训练

高考数学一轮复习专题09椭圆与双曲线的离心率特色训练

九、椭圆与双曲线的离心率 一、选择题 1．【2017 年浙江卷】椭圆 2 2 19 4 x y  的离心率是 A. 13 3 B. 5 3 C. 2 3 D. 5 9 【答案】B 【解析】椭圆 2 2 19 4 x y  中 2 2 2 2 29 4 5a b c a b    ， ， . 离心率 5e 3 c a   ，故选 B. 2．已知焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 13 x y m   的离心率为 1 2 ，则 m  （ ） A. 6 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 3．【2018 届南宁市高三摸底联考】已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 ，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆方程，由点差法可知 代入 k=1,M(-4,1),解得 ，选 C. 4．【2018 届浙江省温州市高三 9 月测试】正方形 的四个顶点都在椭圆 上，若 椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5．【2018 届江西省南昌市高三上学期摸底】已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左右 焦点分别为 1 2,F F ， P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线 by xa  恰为线段 2PF 的垂直 平分线，则双曲线 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】设  2 ,0F c ，渐近线方程为 by xa  ，对称点为  ,P m n ，即有 n a m c b   ，且  1 1 2 2 b m cn a    ，解得 2 2 2,a b abm nc c   ，将 2 2 2,a b abP c c       ，即 2 22 2,a c ab c c       ，代入双曲线的方程可得  22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 a c a b a c c b    ，化简可得 2 2 4 1c a   ， 即有 e2=5，解得 5e  ，故选 C． 6．【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】已知 为椭圆与双曲线的公共焦点， 是 它们的一个公共点，且 ，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 在△PF1F2 中由余弦定理得， 4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ， 化简得：（ ）a1 2+（ ）a2 2=4c2， 即 ， 又∵ 9 ， ∴ ，即 ≥ ， 即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ． 故选：B． 7．【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ， 若存在过右焦点 F 的直线与双曲线交于 A ， B 两点，且 3AF BF  ，则双曲线离心率的最 小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 2 【答案】C 【解析】因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于 A、B 两点，且 3AF BF  ，故直线与双曲线 相交只能交于左右两只，即 A 在左支，B 在右支，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，右焦点  ,0F c ， 因为 3AF BF  ，所以  1 23c x c x   ， 2 13 2x x c  ，由于 1 2,x a x a   ，所以 1 2,3 3x a x a   ，故 2 13 4x x a  ，即 2 4 , 2,cc a a   即 2e  ，选 C. 8．【2018 届甘肃省兰州第一中学高三 9 月月考】设点 P 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）上 一点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF1F2 的内心，若 S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭 圆的离心率是 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 4 【答案】A 9．【2018 届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆 关于直线 对称，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆的半径为： ，满足题意时，直线过圆心，即 ， 双曲线的离心率为： . 本题选择 C 选项. 10．【2018 届广西钦州市高三上第一次检测】已知双曲线 （ ， ）的左、右 焦点分别为 、 ，焦距为 （ ），抛物线 的准线交双曲线左支于 ， 两点，且 （ 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 11．【2017 届湖北省黄冈中学高三三模】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且 左、右焦点分别为 1 2,F F ，这两条曲线在第一象限的交点为 P ， 1 2PF F 是以 1PF 为底边的 等腰三角形.若 1 10PF  ，记椭圆与双曲线的离心率分别为 1 2,e e ，则 1 2e e 的取值范围是 （ ） A. 1 ,3     B. 1 ,5     C. 1 ,9     D.  0, 【答案】A 【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n)， 由于△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形。若|PF1|=10， 即有 m=10，n=2c， 由椭圆的定义可得 m+n=2a1， 由双曲线的定义可得 m−n=2a2， 即有 a1=5+c, a2=5−c,(c<5)， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c>10， 可得 c> 5 2 ,即有 5 2 由离心率公式可得 2 1 2 2 1 2 2 1 2525 1 c c ce e a a c c       由于 2 251 4c   ,则有 2 1 1 25 31c   . 则 1 2,e e 的取值范围为( 1 3 ,+∞). 故选：A. 12．【2018 届山西省名校高三五校模拟联考一】设双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、 右焦点分别为 1F ， 2F ， 1 2 2F F c ，过 2F 作 x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A ， 已知 3, 2 aQ c     ， 2 2F Q F A ，点 P 是双曲线C 右支上的动点，且 1 1 2 3 2PF PQ F F  恒 成立，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 10 ,2      B. 71, 6      C. 7 10,6 2       D. 101, 2       【答案】B 二、填空题 13．【2018 届浙江省温州市高三 9 月测试】双曲线的焦点在 轴上，实轴长为 4，离心率为 ， 则该双曲线的标准方程为__________，渐进线方程为__________． 【答案】 【解析】 实轴 ，又 离心率 ， ， ， 双 曲线方程为 ，渐进线方程为 ，故答案为 ， . 14．【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知双曲线 的焦 点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】由题意知， ，∴ ，∴双曲线的离心率 ． 15．【2018 届江苏省仪征中学高三 10 月检测】设 P 为有公共焦点 1 2,F F 的椭圆 1C 与双曲线 2C 的一个交点，且 1 2PF PF ，椭圆 1C 的离心率为 1e ，双曲线 2C 的离心率为 2e ，若 2 13e e ， 则 1e  ______________. 【答案】 5 3 2 2 ce a  , 2 2 2 ca e   2 2 2 2 2 2 2 2 11b c a c e          2 2 2 2 1 2 1 11 1c ce e               即 1 2, 12 2 1 2 1 1 52 3 3e e ee e     ， 故答案为 5 3 . 16．【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知椭圆 的两个焦 点分别为 ， ， 为椭圆上一点，且 ，则此椭圆离心率的取值范 围是__________． 【答案】 三、解答题 17．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     过点  0,2M ，离心率是 6 3 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程． （Ⅱ）直线l 过点  2,0N 且交椭圆C 于 A 、B 两点，若 90AOB  （其中O 为坐标原点）， 求直线l 的方程． 【答案】（1） 2 2 112 4 x y  （2） 3 2 3y x  或 2 3y x   ． 【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得 2 4b  ，再根据离心率求得 2 12a  （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则由 90AOB   得 1 2 1 2 0x x y y  ，再设直线方程，化简得 1 2x x， 和与积的关系，最后联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人关系式，求解得斜率，注 意验证斜率不存在时是否满足条件 试题解析：（Ⅰ）将  0,2M 代入方程可得 2 4b  ， 离心率 2 2 2 2 2 2 2 3 c a be a a    ， ∴ 2 12a  ， ∴C 的方程为： 2 2 112 4 x y  ． 可得  2 2 2 21 3 12 12 12 0k x k x k     ， ∴ 2 1 2 2 12 1 3 kx x k    ， 2 1 2 2 12 12 1 3 kx x k    ，   2 1 2 1 22 2y y k x x     2 1 2 1 22 4k x x x x      2 2 8 1 3 k k   ∵ 1 2 1 2 0x x y y  ， ∴ 2 2 2 2 12 12 8 01 3 1 3 k k k k     ， ∴ 24 12 0k   ， ∴ 3k   ． ∴直线l 的方程为 3 2 3y x  或 2 3y x   ． 18．【2018 届云南师范大学附属中学月考一】已知椭圆 （ ）的两个顶 点分别为 ， ，点 为椭圆上异于 的点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率 为 ， . （1）求椭圆 的离心率； （2）若 ，设直线 与 轴交于点 ，与椭圆交于 两点，求 的面积的最大值. 【答案】(1) ;（2）面积的最大值为 . 试题解析：（1） ， 整理得： ， 又 ， ，所以 ， ． （2）由（Ⅰ）知 ，又 ， 所以椭圆 C 的方程为 . 设直线 的方程为： 代入椭圆的方程有： ， 设 ， ， 令 ，则有 ， 代入上式有 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以 的面积的最大值为 ． 19．【2018 届湖北省武汉市学部分学校新高三起点调研】设 为坐标原点，动点 在椭圆 （ ， ）上，过 的直线交椭圆 于 两点， 为椭圆 的左焦点. （1）若三角形 的面积的最大值为 1，求 的值； （2）若直线 的斜率乘积等于 ，求椭圆 的离心率. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析： 试题解析： （1） ，所以 （2）由题意可设 ， ， ，则 ， ， 所以 ，所以 所以离心率 . 20．【2018 届陕西省西安中学高三 10 月月考】已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 . （1）若 ，求椭圆的方程； （2）设直线 与椭圆相交于 两点， 分别为线段 的中点，若坐标原点 在以 为直径的圆上，且 ，求 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析： 试题解析： （1）由题意得 ，∴ . 又因为 ，∴ . 所以椭圆的方程为 . （2）由 得 . 设 .所以 ， 依题意， ，易知，四边形 为平行四边形，所以 . 因为 ， ， 所以 . 即 ， 将其整理为 . 因为 ，所以 ， . 所以 ，即 . 21．【2018 届湖南省岳阳市一中高三上第一次月考】已知点 P 是直线 : 2l y x  与椭圆   2 2 2 1 1x y aa    的一个公共点， 1 2,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设 1 2PF PF 取得最 小值时椭圆为 C . （1）求椭圆C 的标准方程及离心率； （2）已知 ,A B 为椭圆C 上关于 y 轴对称的两点， Q 是椭圆C 上异于 ,A B 的任意一点，直 线 ,QA QB 分别与 y 轴交于点    0, , 0,M m N n ，试判断 mn 是否为定值；如果为定值，求出 该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1) 2 2 13 x y  ；（2）1 . 试题解析：（1）联立 2 2 2 2 { 1 y x x ya     ，得  2 2 2 21 4 3 0a x a x a    ， ∵直线 2y x  与椭圆有公共点， ∴  4 2 216 4 1 3 0a a a      ，解得 2 3a  ，∴ 3a  ， 又由椭圆定义知 1 2 2PF PF a  ， 故当 3a  时， 1 2PF PF 取得最小值， 此时椭圆 C 的方程为 2 2 13 x y  ；离心率为 6 3 ； 同理，得 0 1 1 0 0 1 x y x yn x x   ， ∴ 2 2 2 2 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 1 0 1 0 1 x y x y x y x y x y x ymn x x x x x x        ， 又 2 2 2 20 1 0 11, 13 3 x xy y    ， ∴ 2 2 2 20 1 0 11 , 13 3 x xy y    ， ∴ 22 2 2 01 0 1 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 0 1 1 13 3 1 xxx x x xmn x x x x               ， ∴ mn 为定值 1. 22．【2018 届河北省定州中学高三上第二次月考】已知 是椭圆 的左、 右焦点，点 在椭圆上， 为椭圆的离心率，且点 为椭圆短半轴的上顶点， 为 等腰直角三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 作不与坐标轴垂直的直线 ，设 与圆 相交于 两点，与椭圆相交 于 两点，当 且 时，求 的面积 的取值范围. 【答案】（1） （2） 试题解析：（Ⅰ）由 是等腰直角三角形，得 ， 从而得到 ，故而椭圆经过 ， 代入椭圆方程得 ，解得 ， 所求的椭圆方程为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由题意，设直线 的方程为 ， ， 由 得 ， 则 ． ∵ ，∴ ，解得 ． 由 消 得 ． 设 ， ， ，