高考数学试题分类详解一
2010 年高考数学试题
分类详解
汇编（一）
2010-6-17
2010 年高考数学试题分类汇编——集合与逻辑
（2010 上海文数）16.“ 2 4x k k Z ”是“ tan 1x ”成立的 [答]（ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
解析： 14tan)42tan( k ，所以充分；但反之不成立，如 14
5tan
（2010 湖南文数）2. 下列命题中的假命题．．．是
A. ,lg 0x R x B. ,tan 1x R x
C. 3, 0x R x D. ,2 0xx R
【答案】C
【解析】对于 C 选项 x＝1 时， 1 0x 2 = ，故选 C
（2010 浙江理数）（1）设 P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱ 2x <4｝，则
（A）p Q （B）Q P （C） Rp QC （D） RQ PC
解析： 22 ＜＜xxQ ，可知 B 正确，本题主要考察了集合的基
本运算，属容易题
（2010 陕西文数）6.“a＞0”是“ a ＞0”的 [A]
(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：本题考查充要条件的判断
00,00 aaaa ， a＞0”是“ a ＞0”的充分不必要条件
（2010 陕西文数）1.集合 A={x －1≤x≤2}，B＝｛x x＜1｝,则 A∩B= [D]
(A){x x＜1} （B）{x －1≤x≤2}
(C) {x －1≤x≤1} (D) {x －1≤x＜1}
解析：本题考查集合的基本运算
由交集定义得{x －1≤x≤2}∩｛x x＜1｝={x －1≤x＜1}
（2010 辽宁文数）（1）已知集合 1,3,5,7,9U ， 1,5,7A ，则 UC A
（A） 1,3 （B） 3,7,9 （C） 3,5,9 （D） 3,9
解析：选 D. 在集合U 中，去掉1,5,7 ，剩下的元素构成 .UC A
（2010 辽宁理数）(11)已知 a>0，则 x0 满足关于 x 的方程 ax=6 的充要条件是
(A) 2 2
0 0
1 1, 2 2x R ax bx ax bx (B) 2 2
0 0
1 1, 2 2x R ax bx ax bx
(C) 2 2
0 0
1 1, 2 2x R ax bx ax bx (D) 2 2
0 0
1 1, 2 2x R ax bx ax bx
【答案】C
【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造
二次函数解决问题的能力。
【解析】由于 a>0,令函数
2
2 21 1 ( )2 2 2
b by ax bx a x a a
，此时函数对应的开口向
上 ， 当 x= b
a
时 ， 取 得 最 小 值
2
2
b
a
， 而 x0 满 足 关 于 x 的 方 程 ax=b, 那 么
x0== b
a
,ymin=
2
2
0 0
1
2 2
bax bx a
， 那 么 对 于 任 意 的 x ∈ R, 都 有 21
2y ax bx ≥
2
2
b
a
= 2
0 0
1
2 ax bx
（2010 辽宁理数）1.已知 A，B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集，且 A∩B={3}, uð B∩A={9},
则 A=
（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
【答案】D
【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合
的交集、补集的运算，考查了同学们借助于 Venn
图解决集合问题的能力。
【解析】因为 A∩B={3}，所以 3∈A，又因为
uð B∩A={9}，所以 9∈A，所以选 D。本题也可
以用 Venn 图的方法帮助理解。
（2010 全国卷 2 文数）
（A） 1,4 （B） 1,5 （C） 2,4 （D） 2,5
【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ {1,3,5}A B ，∴ ( ) {2,4}UC A B 故选 C .
（2010 江西理数）2.若集合 A= | 1x x x R ， ， 2B= |y y x x R ， ，则 A B =
（ ）
A. | 1 1x x B. | 0x x
C. | 0 1x x D.
【答案】 C
【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B；
{ | 1 1}A x x ， { | 0}B y y ,解得 A B={x|0 1}x 。在应试中可采用特值检
验完成。
（2010 安徽文数）(1)若 A= | 1 0x x ，B= | 3 0x x ，则 A B =
(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)
C
【解析】 (1, ), ( ,3)A B ， ( 1,3)A B ，故选 C.
【方法总结】先求集合 A、B，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.
（2010 浙江文数）（6）设 0＜x＜
2
π，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：因为 0＜x＜
2
π，所以 sinx＜1，故 xsin2x＜xsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同，
可知答案选 B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处
理不等关系的能力，属中档题
（2010 浙江文数）（1）设 2{ | 1}, { | 4},P x x Q x x 则 P Q
(A){ | 1 2}x x (B){ | 3 1}x x
(C){ |1 4}x x (D){ | 2 1}x x
解析： 22 ＜＜xxQ ,故答案选 D，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题
（2010 山东文数）(7)设 na 是首项大于零的等比数列，则“ 1 2a a ”是“数列 na 是递
增数列”的
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
答案：C
（2010 山东文数）（1）已知全集U R ，集合 2 4 0M x x ，则 UC M =
A. 2 2x x B. 2 2x x
C． 2 2x x x 或 D. 2 2x x x 或
答案：C
（2010 北京文数）⑴ 集合 2{ 0 3}, { 9}P x Z x M x Z x ，则 P MI =
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}
答案：B
（2010 北京理数）（6）a、b 为非零向量。“ a b ”是“函数 ( ) ( ) ( )f x xa b xb a 为一
次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
答案：B
（2010 北京理数）（1） 集合 2{ 0 3}, { 9}P x Z x M x Z x ，则 P MI =
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3}
答案：B
（ 2010 天 津 文 数 ） (7) 设 集 合
A x||x-a|<1,x R , |1 5, . A BB x x x R 若 ，则实数 a 的取值范围是
(A) a | 0 a 6 (B) | 2,a a 或a 4
(C) | 0, 6a a 或a (D) | 2 4a a
【答案】C
【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。
由|x-a|<1 得-1
b+2}
因为 A B,所以 a+1 b-2 或 a-1 b+2，即 a-b -3 或 a-b 3，即|a-b| 3
【温馨提示】处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解。
（2010 广东理数）5. “ 1
4m ”是“一元二次方程 2 0x x m ”有实数解的
A．充分非必要条件 B.充分必要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
5．A．由 2 0x x m 知， 21 1 4( ) 02 4
mx 1
4m ．[来
（2010 广东理数）1.若集合 A={ x -2＜ x ＜1}，B={ x 0＜ x ＜2}则集合 A ∩ B=（ ）
A. { x -1＜ x ＜1} B. { x -2＜ x ＜1}
C. { x -2＜ x ＜2} D. { x 0＜ x ＜1}
1. D. { | 2 1} { | 0 2} { | 0 1}A B x x x x x x ．
（2010 广东文数）10.在集合 dcba ,,, 上定义两种运算○+ 和○* 如下
○+ a b c d
a a b c d
0
b b b b b
c c b c b
d d b b d
那么 d ○* a( ○+ )c
A. a B.b C. c D. d
解：由上表可知： a( ○+ cc ) ,故 d ○* a( ○+ )c d ○* ac ，选 A
（2010 广东文数）
（2010 广东文数）1.若集合 3,2,1,0A ， 4,2,1B 则集合 BA
A. 4,3,2,1,0 B. 4,3,2,1 C. 2,1 D.
解：并集，选 A.
（2010 福建文数）12．设非空集合 | | |S x m x l 满足：当 x S 时，有 2x S 。给出
如下三个命题工：①若 1m ，则 |1|S ；②若 1
2m ，则 1 14 l ；③若 1
2l ，则
2 02 m 。其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
（2010 福建文数）1．若集合 A= x|1 x 3 ， B= x|x>2 ，则 A B 等于（ ）
○* a b c d
a a a a a
b a b c d
c a c c a
d a d a d
A． x|22
【答案】A
【解析】 A B = x|1 x 3 x|x>2 = x|23} (D){x|x -1 或 x 3}
【答案】C
【 解 析 】 因 为 集 合 M= x|x-1| 2 x|-1 x 3 , 全 集 U=R ， 所 以
UC M= x|x<-1 x>3或
【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题.
1.（2010 安徽理数）2、若集合 1
2
1log 2A x x
，则 A Rð
A、 2( ,0] ,2
B、 2 ,2
C、 2( ,0] [ , )2
D、 2[ , )2
2.A
2. （2010 湖北理数）10.记实数 1x ， 2x ，…… nx 中的最大数为 max 1 2, ,...... nx x x ，最小数
为 min 1 2, ,...... nx x x 。已知 ABC 的三边长位 a,b,c（ a b c ），定义它的亲倾斜度为
max , , .min , , ,a b c a b cl b c a b c a
则“l =1”是“ ABC 为等边三角形”的
A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.【答案】A
【解析】若△ABC 为等边三角形时，即 a=b=c，则 max , , 1 min , ,a b c a b c
b c a b c a
则 l=1；
若△ABC 为等腰三角形，如 a=2,b=2,c=3 时，
则 3 2max , , ,min , ,2 3
a b c a b c
b c a b c a
，此时 l=1 仍成立但△ABC 不为等边三角形,
所以 A 正确.
（2010 湖南理数）1.已知集合 M={1,2,3}，N={2,3,4}，则
A． M N B. N M
C． {2,3}M N D. {1,4}M N
（2010 湖南理数）2.下列命题中的假命题是
A． x R , 12 0x 2x-1>0 B. *x N , 2( 1) 0x
C． x R , lg 1x D. x R , tan 2x
（2010 湖北理数）2．设集合
2 2
{ , | 1}4 16
x yA x y ， {( , ) | 3 }xB x y y ，则 A B 的
子集的个数是
A．4 B．3 C ．2 D．1
2．【答案】A
【解析】画出椭圆
2 2
14 16
x y 和指数函数 3xy 图象，可知其有两个不同交点，记为
A1、A2，则 A B 的子集应为 1 2 1 2, , , ,A A A A 共四种，故选 A.
2010 年高考数学试题分类汇编——集合与逻辑
（2010 上 海 文数 ） 1.已知 集合 1,3,A m ， 3,4B ， 1,2,3,4A B 则 m
2 。
解析：考查并集的概念，显然 m=2
（2010 湖南文数）15.若规定 E= 1, 2 10...a a a 的子集 1 2
..., nk k ka a a 为 E 的第 k 个子集，其中
k= 1 2 112 2 2 nkk k ，则
（1） 1, 3,a a 是 E 的第___5_个子集；
（2）E 的第 211 个子集是___ ____
（2010 湖南文数）9.已知集合 A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则 m= 3
（2010 安徽文数）(11)命题“存在 x R ，使得 2 2 5 0x x ”的否定是
11.对任意 x R ，都有 2 2 5 0x x .
【解析】特称命题的否定时全称命题，“存在”对应“任意”.
【误区警示】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定
用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.
（2010 重庆文数）（11）设 | 1 0 , | 0A x x B x x ，则 A B =____________ .
解析： | 1 | 0 | 1 0x x x x x x
（2010 重庆理数）(12)设 U= 0,1,2,3 ，A= 2 0x U x mx ，若 1,2U A ，则实数
m=_________.
解析： 1,2U A ，A={0,3},故 m= -3
（ 2010 四 川 理 数 ）（ 16 ） 设 S 为 复 数 集 C 的 非 空 子 集 . 若 对 任 意 x,y S ， 都 有
x y,x y,xy S ，则称 S 为封闭集。下列命题：
①集合 S＝{a＋bi|（ a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；w_w_w.k*s 5*u.c o*m
②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；
③封闭集一定是无限集；
④若 S 为封闭集，则满足 S T C 的任意集合T 也是封闭集. w_w w.k#s5_u.c o*m
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确.
当 S 为封闭集时，因为 x－y∈S，取 x＝y，得 0∈S，②正确
对于集合 S＝{0}，显然满足素有条件，但 S 是有限集,③错误
取 S＝{0}，T＝{0,1}，满足 S T C ,但由于 0－1＝－1T，故 T 不是封闭集，④
错误
答案：①②
（2010 福建文数）15． 对于平面上的点集
，如果连接 中任意两点的线段必定包含
于 ，则称 为平面上的凸集，给出平面上
4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：
其中为凸集的是 （写出所
有凸集相应图形的序号）。
【答案】②③
（ 2010 四 川 文 数 ）（ 16 ） 设 S 为 复 数 集 C 的 非 空 子 集 . 若 对 任 意 x,y S ， 都 有
x y,x y,xy S ，则称 S 为封闭集。下列命题：w_w w.k#s5_u.c o*m
①集合 S＝{a＋bi|（ a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；
②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；
③封闭集一定是无限集；
④若 S 为封闭集，则满足 S T C 的任意集合T 也是封闭集.
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确.
当 S 为封闭集时，因为 x－y∈S，取 x＝y，得 0∈S，②正确
对于集合 S＝{0}，显然满足素有条件，但 S 是有限集,③错误
取 S＝{0}，T＝{0,1}，满足 S T C ,但由于 0－1＝－1T，故 T 不是封闭集，④
错误
答案：①②w_w w. k#s5_u.c o*m
（2010 江苏卷）1、设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数 a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.
2010 年高考数学试题分类汇编——数列
（2010 浙江理数）（3）设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和， 2 58 0a a ，则 5
2
S
S
（A）11 （B）5 （C） 8 （D） 11
解析：解析：通过 2 58 0a a ，设公比为 q ，将该式转化为 08 3
22 qaa ，解得 q =-2，
带入所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和
公式，属中档题
（ 2010 全 国 卷 2 理 数 ）（ 4 ） . 如 果 等 差 数 列 na 中 ， 3 4 5 12a a a ， 那 么
1 2 7...a a a
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】 1 7
3 4 5 4 4 1 2 7 4
7( )3 12, 4, 7 282
a aa a a a a a a a a
（2010 辽宁文数）（3）设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，已知 3 43 2S a ， 2 33 2S a ，
则公比 q
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
解析：选 B. 两式相减得， 3 4 33a a a ， 4
4 3
3
4 , 4aa a q a
.
（2010 辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列， nS 为其前 n 项和。已知 a2a4=1,
3 7S ,则 5S
（A） 15
2 (B) 31
4 (C) 33
4 (D) 17
2
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决
问题的能力。
【解析】由 a2a4=1 可得 2 4
1 1a q ，因此 1 2
1a q
，又因为 2
3 1(1 ) 7S a q q ，
联力两式有 1 1( 3)( 2) 0q q
，所以 q= 1
2 ,所以
5
5
14 (1 ) 312
1 41 2
S
，故选 B。
（2010 全国卷 2 文数）(6)如果等差数列 na 中， 3a + 4a + 5a =12，那么 1a + 2a +•••…+ 7a =
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【解析】C：本题考查了数列的基础知识。
∵ 3 4 5 12a a a ，∴ 4 4a 1 2 7 1 7 4
1 7 ( ) 7 282a a a a a a
（ 2010 江 西 理 数 ） 5. 等 比 数 列 na 中 ， 1 2a ， 8a =4 ， 函 数
1 2 8( )( ) ( )f x x x a x a x a ，则 ' 0f （ ）
A． 62 B. 92 C. 122 D. 152
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数
学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则 ' 0f 只与函数 f x 的一次项
有关；得： 4 12
1 2 3 8 1 8( ) 2a a a a a a 。
（2010 江西理数）4.
2
1 1 1lim 1 3 3 3nx
（ ）
A.
5
3 B.
3
2 C. 2 D. 不存在
【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。
11 33lim ( )1 21 3
n
n
（2010 安徽文数）(5)设数列{ }na 的前 n 项和 2
nS n ，则 8a 的值为
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
5.A
【解析】 8 8 7 64 49 15a S S .
【方法技巧】直接根据 1( 2)n n na S S n 即可得出结论.
（2010 重庆文数）（2）在等差数列 na 中， 1 9 10a a ，则 5a 的值为
（A）5 （B）6[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]
（C）8 （D）10
解析：由角标性质得 1 9 52a a a ，所以 5a =5
（2010 浙江文数）(5)设 ns 为等比数列{ }na 的前 n 项和， 2 58 0a a 则 5
2
S
S
(A)-11 (B)-8
(C)5 (D)11
解析：通过 2 58 0a a ，设公比为 q ，将该式转化为 08 3
22 qaa ，解得 q =-2，带入所
求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式
（2010 重庆理数）（1）在等比数列 na 中， 2010 20078a a ，则公比 q 的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
解析： 83
2007
2010 qa
a 2q
（2010 北京理数）（2）在等比数列 na 中， 1 1a ，公比 1q .若 1 2 3 4 5ma a a a a a ，则
m=
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
答案：C
（2010 四川理数）（8）已知数列 na 的首项 1 0a ，其前 n 项的和为 nS ，且 1 12n nS S a ，
则 lim n
n
n
a
S
（A）0 （B） 1
2
（C） 1 （D）2
解析：由 1 12n nS S a ,且 2 1 12n nS S a w_w_w.k*s 5*u.c o*m
作差得 an＋2＝2an＋1
又 S2＝2S1＋a1，即 a2＋a1＝2a1＋a1 a2＝2a1w_w w. k#s5_u.c o*m
故{an}是公比为 2 的等比数列
Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1
则
1
1
1
2 1lim lim (2 1) 2
n
n
nn n
n
a a
S a
答案：B
（2010 天津理数）（6）已知 na 是首项为 1 的等比数列， ns 是 na 的前 n 项和，且
3 69s s ，则数列 1
na
的前 5 项和为
（A）15
8
或 5 （B） 31
16
或 5 （C） 31
16
（D）15
8
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。
显然 q 1，所以
3 6
39(1 q ) 1-= 1 21-q 1
q q qq
，所以 1{ }
na
是首项为 1，公比为 1
2
的
等比数列， 前 5 项和
5
5
11 ( ) 312
1 161 2
T
.
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量
法的应用。
（2010 广东理数）4. 已知{ }na 为等比数列，Sn 是它的前 n 项和。若 2 3 12a a a ， 且 4a 与
2 7a 的等差中项为 5
4
，则 5S =
A．35 B.33 C.31 D.29
4．C．设{ na }的公比为 q ，则由等比数列的性质知， 2 3 1 4 12a a a a a ，即 4 2a 。由 4a
与 2 7a 的等差中项为 5
4
知， 4 7
52 2 4a a ，即 7 4
1 5 1 5 1(2 ) (2 2)2 4 2 4 4a a ．
∴ 3 7
4
1
8
aq a
，即 1
2q ． 3
4 1 1
1 28a a q a ，即 1 16a ．[来源:高考资源网 K
（2010 广东文数）
（2010 全国卷 1 文数）（4）已知各项均为正数的等比数列{ na }， 1 2 3a a a =5， 7 8 9a a a =10，
则 4 5 6a a a =
(A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2
4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等
知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【 解 析 】 由 等 比 数 列 的 性 质 知 3
1 2 3 1 3 2 2( ) 5a a a a a a a ，
3
7 8 9 7 9 8 8( )a a a a a a a 10,所以
1
3
2 8 50a a ,
所以
1
3 3 36
4 5 6 4 6 5 5 2 8( ) ( ) (50 ) 5 2a a a a a a a a a
（2010 全国卷 1 理数）（4）已知各项均为正数的等比数列{ na }中， 1 2 3a a a =5， 7 8 9a a a =10，
则 4 5 6a a a =
(A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2
（2010 湖北文数）7.已知等比数列{ ma }中，各项都是正数，且 1a ， 3 2
1 ,22 a a 成等差数列，
则 9 10
7 8
a a
a a
A.1 2 B. 1 2 C. 3 2 2 D3 2 2
（2010 山东理数）
1.（2010 安徽理数）10、设 na 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前3n 项和
分别为 , ,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是
A、 2X Z Y B、 Y Y X Z Z X
C、 2Y XZ D、 Y Y X X Z X
10.D
【分析】取等比数列1,2,4 ,令 1n 得 1, 3, 7X Y Z 代入验算，只有选项 D 满足。
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若
能排除 3 个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续
排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论.
（2010 湖北理数）7、如图，在半径为 r 的园内作内接正六边形，再作正六
边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 ns 为前 n 个圆的
面积之和，则 limn ns =
A． 2 2r B. 8
3
2r C.4 2r D.6 2r
（2010 福建理数）3．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 1 11a , 4 6 6a a ,则当 nS
取最小值时,n 等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为 d ，则 4 6 12 8 2 ( 11) 8 6a a a d d ，解得
2d ，
所以 2 2( 1)11 2 12 ( 6) 362n
n nS n n n n ，所以当 6n 时， nS 取最小
值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，考查二次函数最
值的求法及计算能力。
2010 年高考数学试题分类汇编——数列
（2010 浙江理数）（14）设 1 12, ,(2 ) (3 )2 3
n nn n N x x
2
0 1 2
n
na a x a x a x ，
将 (0 )ka k n 的最小值记为 nT ，则
2 3 4 53 3 5 5
1 1 1 10, , 0, , , ,2 3 2 3 nT T T T T
其中 nT =__________________ .
解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题
（2010 陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋
23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为 13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）
2（或 152）.
解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1 到 i+1 和的完全平方
所以第四个等式．．．．．为 13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或 152）.
（2010 辽宁文数）（14）设 nS 为等差数列 { }na 的前 n 项和，若 3 63 24S S ， ，则
9a 。
解析：填 15.
3 1
6 1
3 23 32
6 56 242
S a d
S a d
,解得 1 1
2
a
d
， 9 1 8 15.a a d
（2010 辽宁理数）（16）已知数列 na 满足 1 133, 2 ,n na a a n 则 na
n
的最小值为
__________.
【答案】 21
2
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函
数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以 33 1na nn n
设 ( )f n 33 1nn
，令 ( )f n 2
33 1 0n
，则 ( )f n 在 ( 33, ) 上是单调递增，
在 (0, 33) 上是递减的，因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 ( )f n 有最小值。
又因为 5 53
5 5
a ， 6 63 21
6 6 2
a ，所以， na
n
的最小值为 6 21
6 2
a
（2010 浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，
那么，位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。
答案： 2n n
（2010 天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比 2q ，Sn 为{an}的前 n 项和。记
*2
1
17 , .n n
n
n
S ST n Na
设
0nT 为数列{ nT }的最大项，则 0n = 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等
题。
2
1 1
2
1
17 [1 ( 2) ] [1 ( 2) ]
1 ( 2) 17( 2) 161 2 1 2
( 2) 1 2 ( 2)
n n
n n
n n n
a a
T
a
1 16[( 2) 17]
1 2 ( 2)
n
n
因为 16( 2)
( 2)
n
n ≧8，当且仅当 ( 2)n =4，即 n=4 时取
等号，所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。
【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值，求解时为便于运算可以对 ( 2)n 进
行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
（2010 湖南理数）15．若数列 na 满足：对任意的 n N ，只有有限个正整数 m 使得 ma n＜
成立，记这样的 m 的个数为 ( )na ，则得到一个新数列 ( )na ．例如，若数列 na 是
1,2,3 ,n…， …，则数列 ( )na 是 0,1,2, 1,n …， …．已知对任意的 Nn ， 2
na n ，
则 5( )a ，
(( ) )na ．
（2010 福建理数）11．在等比数列 na 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的
通项公式 na ．
【答案】 n-14
【解析】由题意知 1 1 14 16 21a a a ，解得 1 1a ，所以通项 na n-14 。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。
3. （2010 江苏卷）8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k
为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为： 2 2 ( ),k k ky a a x a 当 0y 时，解得
2
kax ，
所以 1 1 3 5, 16 4 1 212
k
k
aa a a a 。
2010 年高考数学试题分类汇编——数列
（2010 上海文数）21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个
小题满分 8 分。
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 5 85n nS n a ， *n N
(1)证明： 1na 是等比数列；
(2)求数列 nS 的通项公式，并求出使得 1n nS S 成立的最小正整数 n .
解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n≥2 时，anSnSn15an5an11，所以 1
51 ( 1)6n na a ，
又 a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；
(2) 由(1)知：
151 15 6
n
na
，得
151 15 6
n
na
，从而
1575 906
n
nS n
(nN*)；
由 Sn1>Sn，得
15 2
6 5
n
， 5
6
2log 1 14.925n ，最小正整数 n15．
（2010 湖南文数）20.（本小题满分 13 分）
给出下面的数表序列：
其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2n-1，从第 2 行起，每行中
的每个数都等于它肩上的两数之和。
（I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广
到表 n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12，记此数列为
nb 求和： 3 24
1 2 2 3 1
n
n n
b bb
b b b b b b
（2010 全国卷 2 理数）（18）（本小题满分 12 分）
已知数列 na 的前 n 项和 2( ) 3n
nS n n ．
（Ⅰ）求 lim n
n n
a
S
；
（Ⅱ）证明： 1 2
2 2 2 31 2
nnaa a
n
… ＞ ．
【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 1
1
( 1)
( 2)n
n n
s na s s n
的运用，数列极限和数列
不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】2010 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不
等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本
方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、
数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
（2010 陕西文数）16.（本小题满分 12 分）
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且 a1，a3，a9 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前 n 项和 Sn.
解 （Ⅰ）由题设知公差 d≠0，
由 a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列得1 2
1
d ＝ 1 8
1 2
d
d
，
解得 d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项 an＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知 2 ma =2n，由等比数列前 n 项和公式得
Sm=2+22+23+…+2n= 2(1 2 )
1 2
n
=2n+1-2.
（2010 全国卷 2 文数）（18）（本小题满分 12 分）
已知{ }na 是各项均为正数的等比数列，且
1 2
1 2
1 12( )a a a a
， 3 4 5
3 4 5
1 1 164( )a a a a a a
（Ⅰ）求{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）设 21( )n n
n
b a a
，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT 。
【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。
（1）设出公比根据条件列出关于 1a 与 d 的方程求得 1a 与 d ，可求得数列的通项公式。
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分
成两个等比数列分别求和即可求得。
（2010 江西理数）22. （本小题满分 14 分）
证明以下命题：
（1） 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b0，y>0，函数 f(x)满足 f（x
＋y）＝f（x）f（y）”的是 [C]
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
解析：本题考查幂的运算性质
)()()( yxfaaayfxf yxyx
（2010 辽宁文数）（12）已知点 P 在曲线 4
1xy e
上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，
则 的取值范围是
(A)[0,
4
) (B)[ , )4 2
（C） 3( , ]2 4
(D) 3[ , )4
解析：选 D. 2
4 4
12 1 2
x
x x
x
x
ey e e e e
， 1 2, 1 0x
xe ye
，
即 1 tan 0 ， 3[ , )4
（2010 辽宁文数）（10）设 2 5a b m ，且 1 1 2a b
，则 m
（A） 10 （B）10 （C）20 （D）100
解析：选 A. 21 1 log 2 log 5 log 10 2, 10,m m m ma b
又 0, 10.m m
（2010 辽宁文数）（4）已知 0a ，函数 2( )f x ax bx c ，若 0x 满足关于 x 的方程
2 0ax b ，则下列选项的命题中为假命题的是
（A） 0, ( ) ( )x R f x f x （B） 0, ( ) ( )x R f x f x
（C） 0, ( ) ( )x R f x f x （D） 0, ( ) ( )x R f x f x
解析：选 C.函数 ( )f x 的最小值是 0( ) ( )2
bf f xa
等价于 0, ( ) ( )x R f x f x ，所以命题C 错误.
（2010 辽宁理数）(1O)已知点 P 在曲线 y= 4
1xe
上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，
则 a 的取值
范围是
(A)[0,
4
) (B)[ , )4 2
3( , ]2 4
(D) 3[ , )4
【答案】D
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。
【解析】因为 '
2
4 4 1( 1) 2
x
x x x
ey e e e
，即 tan a≥-1,所以 3
4
（2010 全国卷 2 文数）（7）若曲线 2y x ax b 在点 (0, )b 处的切线方程是 1 0x y ，
则
（A） 1, 1a b (B) 1, 1a b
(C) 1, 1a b (D) 1, 1a b
【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ 02 xy x a a ，∴ 1a ， (0, )b 在切线 1 0x y ，∴ 1b
（2010 全国卷 2 文数）（4）函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y= 1xe -1(x>0) (B) y= 1xe +1(x>0)
(C) y= 1xe -1(x R) (D）y= 1xe +1 (x R)
【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数 Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴
1 1ln( 1) 1, 1 , 1y xx y x e y e
（2010 江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，
记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 0 0S t S ，则导函数 'y S t 的图像大
致为
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究
能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除 C；总面积一直保
持增加，没有负的改变量，排除 B；考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑
到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择 A。
（2010 江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数 1 1 cosln2 1 cos
xy x
与 ln tan 2
xy 是同一函数；
②若函数 y f x 与 y g x 的图像关于直线 y x 对称，则函数
2y f x 与 1
2y g x 的图像也关于直线 y x 对称；
③若奇函数 f x 对定义域内任意 x 都有 (2 )f x f x ，则 f x 为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除
A、B，验证③, [2 ( )] (2 )f x f x f x ,又通过奇函数得 ( )f x f x ，所以 f
（x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。
（2010 安徽文数）（7）设
2 3 2
5 5 53 2 2
5 5 5a b c （ ）, （ ）， （ ），则 a，b，c 的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
7.A
【解析】
2
5y x 在 0x 时是增函数，所以 a c ， 2( )5
xy 在 0x 时是减函数，所以 c b 。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
（2010 安徽文数）（6）设 0abc ,二次函数 2( )f x ax bx c 的图像可能是
6.D
【解析】当 0a 时，b 、 c 同号，（C）（D）两图中 0c ，故 0, 02
bb a
，选项（D）
符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 0a 或 0a 两种情况分类考虑.另外
还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010 重庆文数）（4）函数 16 4xy 的值域是
（A）[0, ) （B）[0,4]
（C）[0,4) （D） (0,4)
解析： 4 0, 0 16 4 16 16 4 0,4x x x
（2010 浙江文数）（9）已知 x 是函数 f(x)=2x+ 1
1 x
的一个零点.若 1x ∈（1， 0x ），
2x ∈（ 0x ，+ ），则
（A）f( 1x )＜0，f( 2x )＜0 （B）f( 1x )＜0，f( 2x )＞0
（C）f( 1x )＞0，f( 2x )＜0 （D）f( 1x )＞0，f( 2x )＞0
解析：选 B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
（2010 浙江文数）2.已知函数 1( ) log ( 1),f x x 若 ( ) 1,f =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析： +1=2，故 =1，选 B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
（2010 重庆理数）(5) 函数 4 1
2
x
xf x 的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称
解析： )(
2
41
2
14)( xfxf x
x
x
x
)(xf 是偶函数，图像关于 y 轴对称
（2010 山东文数）（11）函数 22xy x 的图像大致是
答案：A
（2010 山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单位：万
件）的函数关系式为 31 81 2343y x x ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
（A）13 万件 (B)11 万件
(C) 9 万件 (D)7 万件
答案：C
（2010 山东文数）（5）设 ( )f x 为定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， ( ) 2 2xf x x b （b
为常数），则 ( 1)f
（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3
答案：A
（2010 山东文数）(3)函数 2log 3 1xf x 的值域为
A. 0, B. 0, C. 1, D. 1,
答案：A
（2010 北京文数）(6)给定函数①
1
2y x ，② 1
2
log ( 1)y x ，③ | 1|y x ，④ 12xy ，
期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
答案：B
（2010 北京文数）⑷若 a,b 是非零向量，且 a b ，a b ，则函数 ( ) ( ) ( )f x xa b xb a
是
（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数
答案：A
（2010 四川理数）（4）函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像关于直线 x＝1 对称的充要条件是
（A） 2m （B） 2m （C） 1m （D） 1m
解析：函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴为 x＝－
2
m
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
于是－
2
m ＝1 m＝－2
答案：A
（2010 四川理数）（3）2log510＋log50.25＝w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4w_w w. k#s5_u.c o*m
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
（2010 四川理数）（2）下列四个图像所表示的函数，在点 0x 处连续的是
（A） （B） （C） （D）
解析：由图象及函数连续的性质知，D 正确.
答案：D
（2010 天津文数）（10）设函数 2( ) 2( )g x x x R ，
( ) 4, ( ),
( ) , ( ).( ) {g x x x g x
g x x x g xf x
则
( )f x 的值域是
（A） 9 ,0 (1, )4
（B）[0, ) （C） 9[ , )4
（D） 9 ,0 (2, )4
【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难
题。
依 题 意 知
2 2
2 2
2 ( 4), 2( )
2 , 2
x x x xf x
x x x x
，
2
2
2, 1 2( )
2 , 1 2
x x xf x
x x x
或
（ 2010 天 津 文 数 ） (6) 设
5
5 4a log 4 b log c log 2
5， （ 3）， ，则
(A)a0,所以零点在区间（0，1）上，选 C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010 天津理数）（8）若函数 f(x)=
2
1
2
log , 0,
log ( ), 0
x x
x x
,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围
是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。
2 1 1 2
2 2
0 a<0
( ) ( ) log log log ( ) log ( )
a
f a f a a a a a
或
00
1 -1 011
2
aa
a a
aa a
或 或
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大
于 0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
（2010 天津理数）（3）命题“若 f(x)是奇函数，则 f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若 f(x) 是偶函数，则 f(-x)是偶函数
（B）若 f(x)不是奇函数，则 f(-x)不是奇函数
（C）若 f(-x)是奇函数，则 f(x)是奇函数
（D）若 f(-x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数
【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。
否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知 B 项是正确的。
【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。
（2010 天津理数）（2）函数 f(x)= 2 3x x 的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由 1( 1) 3 0, (0) 1 02f f 及零点定理知 f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010 广东理数）3．若函数 f（x）=3x+3-x 与 g（x）=3x-3-x 的定义域均为 R，则
A．f（x）与 g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与 g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
3．D． ( ) 3 3 ( ), ( ) 3 3 ( )x x x xf x f x g x g x ．
（2010 广东文数）3.若函数 xxxf 33)( 与 xxxg 33)( 的定义域均为 R，则
A. )(xf 与 )(xg 与均为偶函数 B. )(xf 为奇函数， )(xg 为偶函数
C. )(xf 与 )(xg 与均为奇函数 D. )(xf 为偶函数， )(xg 为奇函数
解:由于 )(33)( )( xfxf xx ,故 )(xf 是偶函数,排除 B、C
由题意知，圆心在 y 轴左侧，排除 A、C
在 AORt 0 ，
2
1
0
kA
OA ，故 50
5
1
0
5
0
0 OOO
A ，选 D
（2010 广东文数）2.函数 )1lg()( xxf 的定义域是
A. ),2( B. ),1( C. ),1[ D. ),2[
解： 01 x ，得 1x ，选 B.
（2010 福建文数）7．函数
2x +2x-3,x 0x)=
-2+ln x,x>0
f
（ 的零点个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】当 0x 时，令 2 2 3 0x x 解得 3x ；
当 0x 时，令 2 ln 0x 解得 100x ，所以已知函数有两个零点，选 C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
（2010 全国卷 1 文数）(7)已知函数 ( ) | lg |f x x .若 a b 且， ( ) ( )f a f b ，则 a b 的
取值范围是
(A)(1, ) (B)[1, ) (C) (2, ) (D) [2, )
7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做
本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= 1 2a a
,从而错选 D,这也是
命题者的用苦良心之处.
【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 1b a
，所以 a+b= 1a a
又 0f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).
【解析 2】由 00
f
（ 的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当 0x 时，令 2 2 3 0x x 解得 3x ；
当 0x 时，令 2 ln 0x 解得 100x ，所以已知函数有两个零点，选 C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2010 年高考数学试题分类汇编——三角函数
（2010 上海文数）18.若△ ABC 的三个内角满足 sin :sin :sin 5:11:13A B C ，则△ ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13
由余弦定理得 01152
13115cos
222
c ，所以角 C 为钝角
（2010 湖南文数）7.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C=120°，
c= 2 a，则
A.a＞b B.a＜b
C. a＝b D.a 与 b 的大小关系不能确定
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
（2010 浙江理数）（9）设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x ，则在下列区间中函数 ( )f x 不．存在
零点的是
（A） 4, 2 （B） 2,0 （C） 0,2 （D） 2,4
解析：将 xf 的零点转化为函数 xxhxxg 与12sin4 的交点，数形结合可知答
案选 A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思
想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题
（2010 浙江理数）（4）设 0 2x ＜ ＜ ，则“ 2sin 1x x＜ ”是“ sin 1x x＜ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：因为 0＜x＜
2
π，所以 sinx＜1，故 xsin2x＜xsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同，
可知答案选 B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处
理不等关系的能力，属中档题
（ 2010 全 国 卷 2 理 数 ）（ 7 ） 为 了 得 到 函 数 sin(2 )3y x 的 图 像 ， 只 需 把 函 数
sin(2 )6y x 的图像
（A）向左平移
4
个长度单位 （B）向右平移
4
个长度单位
（C）向左平移
2
个长度单位 （D）向右平移
2
个长度单位
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.
【 解 析 】 sin(2 )6y x = sin 2( )12x ， sin(2 )3y x = sin 2( )6x ， 所 以 将
sin(2 )6y x 的图像向右平移
4
个长度单位得到 sin(2 )3y x 的图像，故选 B.
（2010 陕西文数）3.函数 f (x)=2sinxcosx 是
[C]
(A)最小正周期为 2π的奇函数 （B）最小正周期为 2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数
解析：本题考查三角函数的性质
f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数
（2010 辽宁文数）（6）设 0 ,函数 sin( ) 23y x 的图像向右平移 4
3
个单位后与
原图像重合，则 的最小值是
（A） 2
3
（B） 4
3
（C） 3
2
（D） 3
解析：选 C.由已知，周期 2 4 3, .3 2T
（2010 辽宁理数）（5）设 >0,函数 y=sin( x+
3
)+2 的图像向右平移
3
4 个单位后与原图
像重合，则 的最小值是
（A） 2
3 (B) 4
3 (C) 3
2 (D)3
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同
学们对知识灵活掌握的程度。
【 解 析 】 将 y=sin( x+
3
)+2 的 图 像 向 右 平 移
3
4 个 单 位 后 为
4sin[ ( ) ] 23 3y x 4sin( ) 23 3x ， 所 以 有 4
3
=2k , 即
3
2
k ，又因为 0 ，所以 k≥1,故 3
2
k ≥ 3
2
，所以选 C
（2010 全国卷 2 文数）（3）已知 2sin 3
，则 cos( 2 )x
（A） 5
3
（B） 1
9
（C） 1
9
（D） 5
3
【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，
∴
2 1cos( 2 ) cos2 (1 2sin ) 9
（2010 江西理数）7.E，F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan ECF （ ）
A.
16
27 B.
2
3 C.
3
3 D.
3
4
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法 1：约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦
定理得 4cos 5ECF ，
解得 3tan 4ECF
解法 2：坐标化。约定 AB=6,AC=BC=3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）
利用向量的夹角公式得
4cos 5ECF ，解得 3tan 4ECF 。
（2010 重庆文数）（6）下列函数中，周期为 ，且在[ , ]4 2
上为减函数的是
（A） sin(2 )2y x （B） cos(2 )2y x
（C） sin( )2y x （D） cos( )2y x
解析：C、D 中函数周期为 2 ，所以错误
当 [ , ]4 2x 时， 32 ,2 2x
，函数 sin(2 )2y x 为减函数
而函数 cos(2 )2y x 为增函数，所以选 A
（2010 重庆理数）
（6）已知函数
sin ( 0, )2y x
的部分图
象如题（6）图所示，则
A. =1 = 6
B. =1 =- 6
C. =2
= 6
D. =2 = - 6
解析： 2 T 由五点作图法知
232
， = - 6
（2010 山东文数）（10）观察 2 '( ) 2x x ， 4 ' 3( ) 4x x ， '(cos ) sinx x ，由归纳推理可得：若定义在 R
上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x ，记 ( )g x 为 ( )f x 的导函数，则 ( )g x =
（A） ( )f x (B) ( )f x (C) ( )g x (D) ( )g x
答案：D
（2010 北京文数）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如 图），它由腰长
为 1，
顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组 成，
该八边形的面积为
（A） 2sin 2cos 2 ； （B）sin 3 cos 3
（C）3sin 3 cos 1 ； （D） 2sin cos 1
答案：A
（2010 四川理数）（6）将函数 siny x 的图像上所有的点向右平行移动
10
个单位长度，再把所得各点的
横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 w_w w. k#s5_u.c o*m
（A） sin(2 )10y x （B） sin(2 )5y x w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（C） 1sin( )2 10y x （D） 1sin( )2 20y x
解析：将函数 siny x 的图像上所有的点向右平行移动
10
个单位长度，所得函数图象的解析式为 y＝sin(x
－
10
) w_w_w.k*s 5*u.c o*m
再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 1sin( )2 10y x .
答案：C
（2010 天津文数）（8）
5y Asin x x R 6 6
右图是函数 （ + ）（ ）在区间 - ， 上的图象，为了得到这个函数的图象，只
要将 y sin x x R （ ）的图象上所有的点
(A)向左平移
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到 原
来的 1
2
倍，纵坐标不变
(B) 向左平移
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
(C) 向左平移
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵坐标不变
(D) 向左平移
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为 ，振幅为 1，所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ).代入（-
6
，0）可得 的
一个值为
3
，故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+
3
)，即 y=sin2(x+
6
)，所以只需将 y=sinx（x∈R）
的图像上所有的点向左平移
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵坐标不变。
【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求 。三角函数图像进行平移变换
时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 1
（ 2010 天 津 理 数 ）（ 7 ） 在 △ ABC 中 ， 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c ， 若 2 2 3a b bc ，
sin 2 3sinC B ，则 A=
（A） 030 （B） 060 （C） 0120 （D） 0150
【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得
2 3 2 32 2
c b c bR R
，
所以 cosA=
2 2 2 2+c -a 3
2 2
b bc c
bc bc
= 3 2 3 3
2 2
bc bc
bc
，所以 A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
（2010 福建文数）
（2010 福建文数）2．计算1 2sin 22.5 的结果等于( )
A． 1
2
B． 2
2
C． 3
3
D． 3
2
【答案】B
【解析】原式= 2cos45 = 2
,故选 B．
【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值
（2010 全国卷 1 文数） (1)cos300
(A) 3
2
(B)- 1
2
(C) 1
2
(D) 3
2
1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【解析】 1cos300 cos 360 60 cos60 2
（2010 全国卷 1 理数）(2)记 cos( 80 ) k ,那么 tan100
A.
21 k
k
B. -
21 k
k
C.
21
k
k
D. -
21
k
k
（2010 四川文数）（7）将函数 siny x 的图像上所有的点向右平行移动
10
个单位长度，再把所得各
点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是高^考#资*源^网
（A） sin(2 )10y x （B） y sin(2 )5x
（C） y 1sin( )2 10x （D） 1sin( )2 20y x
解析：将函数 siny x 的图像上所有的点向右平行移动
10
个单位长度，所得函数图象的解析式为 y＝sin(x
－
10
)w_w w.k#s5_u.c o*m
再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 1sin( )2 10y x .
答案：C
（2010 湖北文数）2.函数 f(x)= 3sin( ),2 4
x x R 的最小正周期为
A.
2
B.x C.2 D.4
【答案】D
【解析】由 T=| 2
1
2
|=4π，故 D 正确.
（2010 湖南理数）6、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a,b,c，若∠C=120°， 2c a ,则
A、a>b B、a0)6
和 g(x)=2cos(2x+ )+1 的图象的对称轴完
全相同。若 x [0, ]2
，则 f(x) 的取值范围是 。
【答案】 3[- ,3]2
【解析】由题意知， 2 ，因为 x [0, ]2
，所以 52x- [- , ]6 6 6
，由三角函数图象知：
f(x) 的最小值为 33sin (- )=-6 2
，最大值为3sin =32
，所以 f(x) 的取值范围是 3[- ,3]2
。
2.（2010 江苏卷）10、定义在区间
20 , 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P
作 PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，
且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 2
3
。线段 P1P2 的长为 2
3
3.（2010 江苏卷）13、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 6cosb a Ca b
，则
tan tan
tan tan
C C
A B
=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。
当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： 1cos 3C ， 2 1 cos 1tan 2 1 cos 2
C C
C
， 2tan 2 2
C ，
1tan tan 2
tan 2
A B C ， tan tan
tan tan
C C
A B
= 4。
（方法二） 2 26cos 6 cosb a C ab C a ba b
，
2 2 2 2
2 2 2 2 36 ,2 2
a b c cab a b a bab
2tan tan sin cos sin sin cos sin sin( ) 1 sin
tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin
C C C B A B A C A B C
A B C A B C A B C A B
2010 年高考数学试题分类汇编——三角函数
（2010 上海文数）19.（本题满分 12 分）
已知 0 2x ，化简：
2lg(cos tan 1 2sin ) lg[ 2 cos( )] lg(1 sin 2 )2 2
xx x x x .
解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．
（2010 湖南文数）16. （本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) sin 2 2sinf x x x
（I）求函数 ( )f x 的最小正周期。
(II) 求函数 ( )f x 的最大值及 ( )f x 取最大值时 x 的集合。
（2010 浙江理数）（18）(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知 1cos2 4C
(I)求 sinC 的值；
(Ⅱ)当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（Ⅰ）解：因为 cos2C=1-2sin2C= 1
4
，及 0＜C＜π
所以 sinC= 10
4 .
（Ⅱ）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 a c
sin A sin C
，得
c=4
由 cos2C=2cos2C-1= 1
4
，J 及 0＜C＜π得
cosC=± 6
4
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得
b2± 6 b-12=0
解得 b= 6 或 2 6
所以 b= 6 b= 6
c=4 或 c=4
（2010 全国卷 2 理数）（17）（本小题满分 10 分）
ABC 中， D 为边 BC 上的一点， 33BD ， 5sin 13B ， 3cos 5ADC ，求 AD ．
【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考
生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【参考答案】
由 cos∠ADC= ＞0，知 B＜ .
由已知得 cosB= ，sin∠ADC= .
从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB= = .
由正弦定理得 ，所以 = .
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难
度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此
类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
（2010 陕西文数）17.（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长.
解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos
2 2 2
2
AD DC AC
AD DC
=100 36 196 1
2 10 6 2
,
ADC=120°, ADB=60°
在△ABD 中，AD=10, B=45°, ADB=60°，
由正弦定理得
sin sin
AB AD
ADB B
,
AB=
310sin 10sin 60 2 5 6sin sin 45 2
2
AD ADB
B
.
（2010 辽宁文数）（17）（本小题满分 12 分）
在 ABC 中， a b c、 、 分别为内角 A B C、 、 的对边，
且 2 sin (2 )sin (2 )sina A b c B c b C
（Ⅰ）求 A 的大小；
（Ⅱ）若 sin sin 1B C ，试判断 ABC 的形状.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 cbcbcba )2()2(2 2
即 bccba 222
由余弦定理得 Abccba cos2222
故 120,2
1cos AA
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .sinsinsinsinsin 222 CBCBA
又 1sinsin CB ，得
2
1sinsin CB
因为 900,900 CB ，
故 B C
所以 ABC 是等腰的钝角三角形。
（2010 辽宁理数）（17）（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且
2 sin (2 )sin (2 )sin .a A a c B c b C
（Ⅰ）求 A 的大小；
（Ⅱ）求 sin sinB C 的最大值.
解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 22 (2 ) (2 )a b c b c b c
即 2 2 2a b c bc
由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A
故 1cos 2A ，A=120° ……6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
sin sin sin sin(60 )B C B B
3 1cos sin2 2
sin(60 )
B B
B
故当 B=30°时，sinB+sinC 取得最大值 1。 ……12 分
（2010 全国卷 2 文数）（17）（本小题满分 10 分）
ABC 中， D 为边 BC 上的一点， 33BD ， 5sin 13B ， 3cos 5ADC ，求 AD 。
【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由 ADC 与 B 的差求出 BAD ，根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦，在三角形 ABD 中，由
正弦定理可求得 AD。
（2010 江西理数）17.（本小题满分 12 分）
已知函数
21 cot sin sin sin4 4f x x x m x x 。
(1) 当 m=0 时，求 f x 在区间
3
8 4
，
上的取值范围；
(2) 当 tan 2a 时，
3
5f a
，求 m 的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，
考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
解：（1）当 m=0 时， 2 2cos 1 cos2 sin 2( ) (1 )sin sin sin cossin 2
x x xf x x x x xx
1[ 2 sin(2 ) 1]2 4x ，由已知 3[ , ]8 4x ，得 22 [ ,1]4 2x
从而得： ( )f x 的值域为 1 2[0, ]2
（2） 2cos( ) (1 )sin sin( )sin( )sin 4 4
xf x x m x xx
化简得： 1 1( ) [sin 2 (1 )cos2 ]2 2f x x m x
当 tan 2 ，得： 2 2 2
2sin cos 2tan 4sin 2 sin cos 1 tan 5
a a aa a a a
， 3cos2 5a ，
代入上式，m=-2.
（2010 安徽文数）16、（本小题满分 12 分）
ABC 的面积是 30，内角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c ， 12cos 13A 。
(Ⅰ)求 AB AC
；
(Ⅱ)若 1c b ，求 a 的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角
形以及运算求解能力.
【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由 12cos 13A 得sin A 的值，再根据 ABC 面积公式得 156bc ；
直接求数量积 AB AC
.由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，代入已知条件 1c b ，及 156bc 求 a 的
值.
解：由 12cos 13A ，得 212 5sin 1 ( )13 13A .
又 1 sin 302 bc A ，∴ 156bc .
（Ⅰ） 12cos 156 14413AB AC bc A
.
（Ⅱ） 2 2 2 2 cosa b c bc A 2 12( ) 2 (1 cos ) 1 2 156 (1 ) 2513c b bc A ，
∴ 5a .
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求 bc 的值，考虑已知 ABC 的面积是 30，
12cos 13A ，所以先求sin A 的值，然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问中求 a 的值，根据第一问
中的结论可知，直接利用余弦定理即可.
（2010 重庆文数）(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分，(Ⅱ)小问 8 分.)
设 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 2b +3 2c -3 2a =4 2 bc .
(Ⅰ) 求 sinA 的值；
(Ⅱ)求
2sin( )sin( )4 4
1 cos2
A B C
A
的值.
（2010 浙江文数）（18）（本题满分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积，
满足 2 2 23 ( )4S a b c 。
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）求 sin sinA B 的最大值。
（2010 重庆理数）（16）（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
设函数 22cos 2cos ,3 2
xf x x x R
。
（I） 求 f x 的值域；
（II） 记 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c，若 f B =1，b=1,c= 3 ，求 a 的值。
（2010 山东文数）(17)（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) sin( )cos cosf x x x x （ 0 ）的最小正周期为 ，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数 ( )y f x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
，纵坐标不变，得到函数 ( )y g x 的
图像，求函数 ( )y g x 在区间 0,16
上的最小值.
（2010 北京文数）（15）（本小题共 13 分）
已知函数 2( ) 2cos2 sinf x x x
（Ⅰ）求 ( )3f 的值；
（Ⅱ）求 ( )f x 的最大值和最小值
解：（Ⅰ） 22( ) 2cos sin3 3 3f = 3 11 4 4
（Ⅱ） 2 2( ) 2(2cos 1) (1 cos )f x x x
23cos 1,x x R
因为 cos 1,1x ,所以，当 cos 1x 时 ( )f x 取最大值 2；当 cos 0x 时， ( )f x 去最小值
-1。
（2010 北京理数）（15）（本小题共 13 分）www.@ks@5u.com
已知函数 (x)f 22cos2 sin 4cosx x x 。
（Ⅰ）求 ( )3f 的值；
（Ⅱ）求 (x)f 的最大值和最小值。
解：（I） 22 3 9( ) 2cos sin 4cos 13 3 3 3 4 4f
（II） 2 2( ) 2(2cos 1) (1 cos ) 4cosf x x x x
= 23cos 4cos 1x x
= 22 73(cos )3 3x , x R
因为 cos x [ 1,1] ，
所以，当 cos 1x 时， ( )f x 取最大值 6；当 2cos 3x 时， ( )f x 取最小值 7
3
（2010 四川理数）（19）（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）○1 证明两角和的余弦公式 C : cos( ) cos cos sin sin ；
○2 由C 推导两角和的正弦公式 S : sin( ) sin cos cos sin .
（Ⅱ）已知△ABC 的面积 1 , 32S AB AC ，且 3
5cos B ，求 cosC.
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。
解：(1)①如图，在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为 Ox，交⊙O 于点
P1，终边交⊙O 于 P2；角β的始边为 OP2，终边交⊙O 于 P3；角－β的始边为 OP1，终边交⊙O 于 P4.
则 P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) w_w w. k#s5_u.c o*m
由 P1P3＝P2P4 及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4 分
②由①易得 cos(
2
－α)＝sinα,sin(
2
－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[
2
－(α＋β)]＝cos[(
2
－α)＋(－β)]
＝cos(
2
－α)cos(－β)－sin(
2
－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6 分
(2)由题意，设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c
则 S＝ 1
2 bcsinA＝ 1
2
AB AC ＝bccosA＝3＞0w_w w. k#s5_u.c o*m
∴A∈(0,
2
),cosA＝3sinA
又 sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝ 10
10
,cosA＝ 3 10
10
由题意，cosB＝ 3
5
,得 sinB＝ 4
5
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ 10
10
w_w w.k#s5_u.c o*m
故 cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－ 10
10
…………………………12 分
（2010 天津文数）（17）（本小题满分 12 分）
在 ABC 中， cos
cos
AC B
AB C
。
（Ⅰ）证明 B=C：
（Ⅱ）若 cos A=- 1
3
，求 sin 4B 3
的值。
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦
等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分.
（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B
sin C
= cosB
cosC
.于是 sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin
（B-C）=0.因为 B C ，从而 B-C=0.
所以 B=C.
（Ⅱ）解：由 A+B+C= 和（Ⅰ）得 A= -2B,故 cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= 1
3
.
又 0<2B< ,于是 sin2B= 21 cos 2B = 2 2
3
.
从而 sin4B=2sin2Bcos2B= 4 2
9
，cos4B= 2 2 7cos 2 sin 2 9B B .
所以 4 2 7 3sin(4 ) sin 4 cos cos4 sin3 3 3 18B B B
（2010 天津理数）（17）（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) 2 3sin cos 2cos 1( )f x x x x x R
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期及在区间 0, 2
上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 0 0
6( ) , ,5 4 2f x x
，求 0cos2x 的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 sin( )y A x 的性质、同角三角
函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 12 分。
（1）解：由 2( ) 2 3sin cos 2cos 1f x x x x ，得
2( ) 3(2sin cos ) (2cos 1) 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x x x x x x x
所以函数 ( )f x 的最小正周期为
因为 ( ) 2sin 2 6f x x
在区间 0, 6
上为增函数，在区间 ,6 2
上为减函数，又
(0) 1, 2, 16 2f f f
，所以函数 ( )f x 在区间 0, 2
上的最大值为 2，最小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知 0 0( ) 2sin 2 6f x x
又因为 0
6( ) 5f x ，所以 0
3sin 2 6 5x
由 0 ,4 2x
，得 0
2 72 ,6 3 6x
从而 2
0 0
4cos 2 1 sin 26 6 5x x
所以
0 0 0 0
3 4 3cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 10x x x x
（2010 广东理数）16、（本小题满分 14 分）
已知函数 ( ) sin(3 )( 0, ( , ),0f x A x A x 在
12x 时取得最大值 4．
(1) 求 ( )f x 的最小正周期；
(2) 求 ( )f x 的解析式；
(3) 若 f ( 2
3 α +
12
)=12
5
,求 sinα．[来源:高考资源网 KS5U.COM]
3sin(2 )2 5
， 3cos2 5
， 2 31 2sin 5
， 2 1sin 5
， 5sin 5
．[来
（2010 广东文数）
（2010 全国卷 1 理数）(17)(本小题满分 10 分)
已知 ABCV 的内角 A ， B 及其对边 a ，b 满足 cot cota b a A b B ，求内角 C ．
（2010 四川文数）（19）（本小题满分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*
（Ⅰ）○1 证明两角和的余弦公式 C : cos( ) cos cos sin sin ；
○2 由C 推导两角和的正弦公式 S : sin( ) sin cos cos sin .
（Ⅱ）已知 4 3 1cos , ( , ),tan , ( , ),cos( )5 2 3 2
，求 cos( )
（2010 湖北文数）16.（本小题满分 12 分）
已经函数
2 2cos sin 1 1( ) , ( ) sin 2 .2 2 4
x xf x g x x
(Ⅰ)函数 ( )f x 的图象可由函数 ( )g x 的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x 的最小值，并求使用 ( )h x 取得最小值的 x 的集合。
（2010 山东理数）
（2010 湖南理数）16．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) 3sin 2 2sinf x x x ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最大值；
（II）求函数 ( )f x 的零点的集合。
（2010 湖北理数） 16．（本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)= 1 1cos( )cos( ), ( ) sin 23 3 2 4x x g x x
（Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。
（2010 福建理数）19．（本小题满分 13 分）
O某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时 ，轮船位于港口
O 北偏西30 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该
小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的
大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由（1）得
10 3,AC=10, > , , >ACOC OC AC AC 故 且对于线段 上任意点P 有OP OC ，而小艇的最高航行速度只
能 达 到 30 海 里 / 小 时 ， 故 轮 船 与 小 艇 不 可 能 在 A 、 C （ 包 含 C ） 的 任 意 位 置 相 遇 ， 设
COD= (0 < <90 ), 10 3 tanRt COD CD 则在 中， ，OD=10 3
cos
，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 10 10 3 tan
30t 和 10 3
cost v ，
所以 10 10 3 tan
30
10 3
cosv ，解得 15 3 3, 30, sin ( +30 )sin ( +30 ) 2v v
又 故 ，
从而 30 <90 , 30 tan 由于 时， 取得最小 值，且最小值为 3
3
，于是
当 30 时， 10 10 3 tan
30t 取得最小值，且最小值为 2
3
。
此时，在 OAB 中， 20OA OB AB ，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东 30 ，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
（2010 安徽理数）16、（本小题满分 12 分）
设 ABC 是锐角三角形， , ,a b c 分别是内角 , ,A B C 所对边长，并且
2 2sin sin( ) sin( ) sin3 3A B B B 。
(Ⅰ)求角 A 的值；
(Ⅱ)若 12, 2 7AB AC a
，求 ,b c （其中b c ）。
（2010 江苏卷）17、（本小题满分 14 分）
某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角∠ABE= ，
∠ADE= 。
(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d
（单位：m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为 125m，试问 d 为多少时， - 最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1） tan tan
H HADAD
，同理：
tan
HAB ，
tan
hBD 。
AD—AB=DB，故得
tan tan tan
H H h
，解得： tan 4 1.24 124tan tan 1.24 1.20
hH
。
因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。
（2）由题设知 d AB ，得 tan ,tanH H h H h
d AD DB d
，
2
tan tantan( ) ( )1 tan tan ( )1
H H h
hd hd d
H H h H H hd H H h dd d d
( ) 2 ( )H H hd H H hd
，（当且仅当 ( ) 125 121 55 5d H H h 时，取等号）
故当 55 5d 时， tan( ) 最大。
因为 0 2
，则 0 2
，所以当 55 5d 时， - 最大。
故所求的 d 是55 5 m。
（2010 江苏卷）23.（本小题满分 10 分）
已知△ABC 的三边长都是有理数。
（1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能
力。满分 10 分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为 , ,a b c ，
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，∵ , ,a b c 是有理数，
2 2 2b c a 是有理数，分母 2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴
2 2 2
2
b c a
bc
必为有理数，∴cosA 是有理数。
（2）①当 1n 时，显然 cosA 是有理数；
当 2n 时，∵ 2cos2 2cos 1A A ，因为 cosA 是有理数， ∴ cos2A 也是有理数；
②假设当 ( 2)n k k 时，结论成立，即 coskA、 cos( 1)k A 均是有理数。
当 1n k 时， cos( 1) cos cos sin sink A kA A kA A ，
1cos( 1) cos cos [cos( ) cos( )]2k A kA A kA A kA A ，
1 1cos( 1) cos cos cos( 1) cos( 1)2 2k A kA A k A k A ，
解得： cos( 1) 2cos cos cos( 1)k A kA A k A
∵cosA， coskA ， cos( 1)k A 均是有理数，∴ 2cos cos cos( 1)kA A k A 是有理数，
∴ cos( 1)k A 是有理数。
即当 1n k 时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。
（方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知
2 2 2
cos 2
AB AC BCA AB AC
是有理数。
（2）用数学归纳法证明 cosnA 和sin sinA nA 都是有理数。
①当 1n 时，由（1）知 cos A是有理数，从而有 2sin sin 1 cosA A A 也是有理数。
②假设当 ( 1)n k k 时， coskA 和sin sinA kA 都是有理数。
当 1n k 时，由 cos( 1) cos cos sin sink A A kA A kA ，
sin sin( 1) sin (sin cos cos sin ) (sin sin ) cos (sin sin ) cosA k A A A kA A kA A A kA A kA A ，
及①和归纳假设，知 cos( 1)k A 和sin sin( 1)A k A 都是有理数。
即当 1n k 时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。
