2019届二轮复习平面向量的数量积学案(江苏专用)

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文档介绍

2019届二轮复习平面向量的数量积学案(江苏专用)

‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A  ‎ B  ‎ C  ‎ 平面向量 平面向量的数量积 ‎ ‎   ‎ ‎  ‎ ‎√   ‎ ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角.‎ ‎5.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎【直击考点】‎ 题组一 常识题 ‎1.已知在△ABC中,B是最大内角,·<0,则△ABC的形状是 .‎ ‎[解析] 设与的夹角为θ,则·=||·||cos θ<0,得cos θ <0,所以cos B=cos(π-θ)>0,所以B为锐角.又B是三角形的最大内角,所以△ABC为锐角三角形.‎ ‎2.在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,则·= .‎ ‎3.已知向量a=(4,2),b=(1,-1),则向量b在向量a上的投影为 .‎ ‎[解析] ∵向量a=(4,2),b=(1,-1),‎ ‎∴向量b在向量a上的投影为==.‎ ‎4.已知力F1和F2的合力为12 N,F1为24 N,力F2与合力F的夹角为90°,则力F1与F2的夹角的大小为 .‎ ‎[解析] 由向量加法的平行四边形法则知,α=β=90°,|F|=12 N,|F1|=24 N,所以θ=60°,所以β+‎ ‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A  ‎ B  ‎ C  ‎ 平面向量 平面向量的数量积 ‎ ‎   ‎ ‎  ‎ ‎√   ‎ ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角.‎ ‎5.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎【直击考点】‎ 题组一 常识题 ‎1.已知在△ABC中,B是最大内角,·<0,则△ABC的形状是 .‎ ‎[解析] 设与的夹角为θ,则·=||·||cos θ<0,得cos θ <0,所以cos B=cos(π-θ)>0,所以B为锐角.又B是三角形的最大内角,所以△ABC为锐角三角形.‎ ‎2.在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,则·= .‎ ‎3.已知向量a=(4,2),b=(1,-1),则向量b在向量a上的投影为 .‎ ‎[解析] ∵向量a=(4,2),b=(1,-1),‎ ‎∴向量b在向量a上的投影为==.‎ ‎4.已知力F1和F2的合力为12 N,F1为24 N,力F2与合力F的夹角为90°,则力F1与F2的夹角的大小为 .‎ ‎[解析] 由向量加法的平行四边形法则知,α=β=90°,|F|=12 N,|F1|=24 N,所以θ=60°,所以β+‎ θ=150°. ‎ 题组二 常错题 ‎5.在△ABC中,若=1,=2,则AB边的长度为 .‎ ‎6.已知 =(2,-1),=(3,3),则向量在上的投影为 .‎ ‎ [解析] 向量在上的投影为==. ‎ 题组三 常考题 ‎7. 已知向量=,=,则∠ABC= .‎ ‎[解析] 因为cos∠ABC==-,所以∠ABC=150°.‎ ‎8.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a+b|=,则|b|= .‎ ‎[解析] 由|2a+b|=,两边同时平方得4a2+4a·b+b2=7,即|b|2+2|b|-3=0,解得|b|=1或|b|=-3(舍去).‎ ‎9. 已知向量a=(3,4),b=(x,1),且(a+b)·b=|a|,则实数x= .‎ ‎【知识清单】‎ 考点1 平面向量数量积的运算 一、两个向量的夹角 ‎1.定义 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.‎ ‎2.范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°.‎ ‎3.向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作a⊥b.‎ 二、平面向量数量积 ‎1.已知两个非零向量a与b,则数量|a b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a b|cos θ,其中θ是a与b的夹角.‎ 规定0·a=0.‎ 当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.‎ ‎2.a·b的几何意义:‎ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.‎ 三、向量数量积的性质 . ]‎ ‎1.如果e是单位向量,则a·e=e·a. ]‎ ‎2.a⊥ba·b=0.‎ ‎3.a·a=|a|2,.‎ ‎4.cos θ=.(θ为a与b的夹角)‎ ‎5.|a·b|≤|a b|.‎ 四、数量积的运算律 ‎1.交换律:a·b=b·a.‎ ‎2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎3.对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).‎ 五、数量积的坐标运算 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则:‎ ‎1.a·b=a1b1+a2b2.‎ ‎2.a⊥ba1b1+a2b2=0.‎ ‎3.|a|=.‎ ‎4.cos θ==.(θ为a与b的夹角)‎ 考点2 向量的夹角与向量的模 ‎1. a·a=|a|2,.‎ ‎2.cos θ=.(θ为a与b的夹角)‎ ‎3. a⊥ba1b1+a2b2=0.‎ ‎4.|a·b|≤|a b|.‎ 考点3 向量数量积的综合应用 ‎1. a·a=|a|2,.‎ ‎2.cos θ=.(θ为a与b的夹角)‎ ‎3. a⊥ba1b1+a2b2=0.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 这部分知识是向量的核心内容,向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量的数量特征,是必考的重要内容之一. + +k ]‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 平面向量数量积的运算 ‎【1-1】已知则向量在向量上的投影等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,而在上的投影为.‎ ‎【1-2】已知平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则·= .‎ ‎【答案】8‎ ‎【思想方法】‎ ‎1.平面向量数量积的计算方法 ‎①已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a b|cosθ求解;‎ ‎②已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.‎ ‎2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算 ‎【温馨提醒】平面向量的数量积计算问题,往往有有两种形式,一是利用数量积的定义式;二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.‎ 考点2 向量的夹角与向量的模 ‎【2-1】是两个向量,且,则与的夹角为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由知,==0,所以=-1,所以==,所以与的夹角为.‎ ‎【2-2】若同一平面内向量,,两两所成的角相等,且,,,则等于 .‎ ‎【答案】2或5‎ ‎【解析】因为同一平面内向量,,两两所成的角相等,‎ 所以当三个向量所成的角都是时,‎ ‎,即,‎ 所以当三个向量所成的角都是时,, ]‎ 故或.‎ ‎【2-3】△ABC中,||=5,||=8,·=20,则||为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由||=5,||=8,·=20,,又,‎ ‎,由余弦定理得 ‎【思想方法】‎ 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.‎ ‎【温馨提醒】涉及几何图形问题,灵活应用勾股定理、余弦定理等,有助于模的确定.‎ 考点3 向量数量积的综合应用 ‎【3-1】已知为坐标原点,向量,,‎ ,且,则值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【3-2】已知A,B,C三点的坐标分别是A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈,若=-1,则的值为 .‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】由=(cos α-3,sin α),‎ ‎=(cos α,sin α-3),‎ 得=(cosα-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,‎ ‎∴sin α+cos α=,∴2sin αcos α=-,‎ ‎===-.‎ ‎【3-3】已知函数,实数x,y满足,若点,,则当时,的最大值为 (其中O为坐标原点)‎ ‎【答案】‎ ‎【思想方法】对向量与三角函数的综合问题,可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题,从而可利用三角公式求解.‎ ‎【温馨提醒】在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ ‎ (1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC中,与的夹角应为120°而不是60°. (2)在平面向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0成立.实际上由a·b=0可推出以下四种结论: ①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,a⊥b. (3)实数运算满足消去律:若bc=ca,c≠0,则有b=a.在向量数量积的运算中,若a·b=a·c (a≠0),则不一定有b=c. (4)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·‎ c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线. ‎
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