2020届二轮复习轨迹与轨迹方程学案（全国通用）
轨迹与轨迹方程
· 求轨迹方程常用的方法
（1）定义法（又称待定系数法）：适用于根据题目条件，可以直接判断轨迹是何种曲线，并且可知其方程的形式．
（2）直接法（又称直译法）：利用解析几何基本公式直接将题目给出的几何条件“翻译”为方程式．这种方法适用于给出的条件可以直译成代数方程的形式．
（3）相关点法（又称代入法）：如果轨迹点 Px,y 依赖于另一点 Qa,b，而 Qa,b 又在某已知曲线上，则可以先列出关于 x，y，a，b 的方程组，利用 x，y 表示出 a，b 再代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程．
（4）参数法：如果轨迹动点 Px,y 的坐标 x，y 之间的关系不易找到，也没有相互可用时，可先考虑将 x，y 用一个或几个参数来表示，再消去参数得轨迹方程．
精选例题
轨迹与轨迹方程
1. 平面内动点 P 到点 F0,2 的距离和到直线 l:y=-2 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为是 ．
【答案】 x2=8y
2. 已知点 A-1,0，B2,4，△ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程为 ．
【答案】 4x-3y+24=0，4x-3y-16=0
3. 打开“几何画板”进行如下操作：① 用画图工具在工作区画一个圆 C（圆 C 为圆心）；② 用取点工具分别在圆 C 上和圆外各取一点 A，B；③ 用构造菜单下对应命令作出线段 AB 的垂直平分线；④ 做直线 AC；设直线 AC 与 l 相交于点 P，当 A 在圆 C 上运动时，点 P 的轨迹是 ．
【答案】 双曲线
【分析】 由题意画出图形，如图，
因为线段 AB 的垂直平分线为 l，
所以 PA=PB．
所以 PC-PB=PC-PA=AC定值<BC．
所以由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是双曲线．
4. 已知点 M 到双曲线 x216-y29=1 的左、右焦点的距离之比为 2:3，则点 M 的轨迹方程为 ．
【答案】 x2+y2+26x+25=0
【分析】 设点 M 的坐标为 x,y，由题意得双曲线的左、右焦点分别为 -5,0，5,0，则 x+52+y2x-52+y2=49，即 9x2+90x+225+9y2=4x2-40x+100+4y2，化简得 x2+y2+26x+25=0．
所以点 M 的轨迹方程为 x2+y2+26x+25=0．
5. 已知 △ABC 的两个顶点为 A-2,0，B2,0，第三个顶点 C 在直线 2x-3y+5=0 上，则 △ABC 重心 G 的轨迹方程为 ．
【答案】 6x-9y+5=0y≠0
【分析】 设 Gx,y，AB 的中点恰好为 O0,0，由 OG=13OC，得 C3x,3y，代入 2x-3y+5=0，得 6x-9y+5=0y≠0．
6. 点 M 到 F4,0 的距离比它到直线 l:x+3=0 的距离大 7，则 M 的轨迹方程为 ．
【答案】 y=0,x<-3,y2=28x+3,x⩾-3,
【分析】 x<-3 时，y=0，
x⩾-3 时，y2=28x+3．
7. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 为正方形边上的动点，现将 △ADE 所在平面沿 AE 折起，使点 D 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AE 上，当 E 从点 D 运动到 C，再从 C 运动到 B，则点 H 所形成轨迹的长度为 ．
【答案】 π
8. 已知过定点 -1,0 的动圆与直线 x=1 相切，则此动圆圆心轨迹方程是 ．
【答案】 y2=-4x
【分析】 设动圆圆心为 Px,y，则有 x+12+y2=1-x，化简整理后得 y2=-4x．
9. 曲线 C 是平面内到定点 F0,1 和定直线 l:y=-1 的距离之和等于 4 的点的轨迹，给出下列三个结论：
① 曲线 C 关于 y 轴对称；
② 若点 Px,y 在曲线 C 上，则 y⩽2；
③ 若点 P 在曲线 C 上，则 1⩽PF⩽4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】 ①②③
【分析】 设曲线 C 上的动点为 Px,y，则 ∣y+1∣+x2+y-12=4，整理得 x2=16+4y-8∣y+1∣．
对于①：显然 -x,y 也满足曲线 C 方程，所以曲线 C 关于 y 轴对称；
对于②：当 y⩾-1 时，y=2-x24⩽2，所以 -1⩽y⩽2，当 y<-1 时，y=x212-2⩾-2，所以 -2⩽y<-1，故 ∣y∣⩽2；
对于③：因为 ∣PF∣=x2+y-12=4-∣y+1∣，且 -2⩽y⩽2，所以 0⩽∣y+1∣⩽3，故 1⩽∣PF∣⩽4．
综上，①②③均正确．
10. 直线 xa+y2-a=1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是 ．
【答案】 x+y=1x≠0,x≠1
【分析】 直线 xa+y2-a=1 与 x、y 轴的交点为 Aa,0,B0,2-a ．
设 AB 的中点为 Mx,y ，则 x=a2,y=1-a2, 消去 a ，得 x+y=1 ．
因为 a≠0,a≠2 ，所以 x≠0,x≠1 ．
11. 设圆 C:x-k2+y-2k+12=1，则圆 C 的圆心轨迹方程是 ，若直线 l:3x+ty-1=0 截圆 C 所得的弦长与 k 无关，则 t= ．
【答案】 y=2x-1；-32．
12. 到直线 2x-y=0 和 x-2y=0 的距离相等的动点的轨迹方程是 ．
【答案】 y=x 与 y=-x
【分析】 设 Px,y 为任意一点，根据题意，得 ∣2x-y5∣=∣x-2y5∣ ，
即 ∣x-2y∣=∣2x-y∣ ，两边平方后化简，得 x-yx+y=0 ，
故所求的轨迹方程是 y=x 与 y=-x ．
13. 若 Rt△ABC 的斜边的两端点 A，B 的坐标分别为 -3,0 和 7,0，则直角顶点 C 的轨迹方程为 ．
【答案】 x-22+y2=25y≠0
【分析】 线段 AB 的中点为 2,0，因为 △ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以 C 到点 2,0 的距离为 12AB=5，所以点 Cx,y 满足 x-22+y2=5y≠0，即 x-22+y2=25y≠0．
14. 已知两点 M-2,0，N2,0，点 P 为坐标平面内的动点，满足 ∣MN∣⋅∣MP∣+MN⋅NP=0，则动点 Px,y 的轨迹方程为 ．
【答案】 y2=-8x
15. 与圆 A:x+52+y2=49 和圆 B:x-52+y2=1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为 ．
【答案】 x29-y216=1（x>0）
【分析】 设圆 P 的半径为 r，由圆的几何性质，得
∣PA∣=7+r,∣PB∣=1+r,
则
∣PA∣-∣PB∣=7+r-1+r=6,
所以 P 点的轨迹是以 A-5,0，B5,0 为焦点的双曲线的右支．
由双曲线的定义，得
a=3,c=5,b=4.
因此，P 点的轨迹方程为
x29-y216=1x>0.
16. 已知动圆 P 过点 N-2,0，且与圆 M：x-22+y2=8 外切，则动圆 P 的圆心 Px,y 的轨迹方程为 ．
【答案】 x22-y22=1x⩽-2
【分析】 因为动圆 P 过点 N，
所以 ∣PN∣ 是该圆的半径，
又因为动圆 P 与圆 M 外切，
所以 ∣PM∣=∣PN∣+22，即 ∣PM∣-∣PN∣=22．
故点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，实半轴长为 2 的双曲线的左支．
因为实半轴长 a=2，半焦距 c=2．
所以虚半轴长 b=c2-a2=2．
从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 x22-y22=1x⩽-2．
17. 一动点在圆 x2+y2=1 上移动时，它与定点 B3,0 连线的中点轨迹方程是 ．
【答案】 x-322+y2=14
18. 已知圆 C1 方程为 x+12+y2=18，圆 C2 的方程为 x-12+y2=498，动圆 M 与 C1 外切且与 C2 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是 ．
【答案】 x22+y2=1
【分析】 设动圆的圆心为 x,y，则有 x+12+y2=18+rx-12+y2=78-r，得 x+12+y2+x-12+y2=22，所以动圆圆心的轨迹是以 -1,0，1,0 为焦点，以 22 长为长轴的椭圆，所以动圆圆心的轨迹方程是 x22+y2=1．
19. 平面上有三个点 A -2,y 、 B0,y2 、 Cx,y，若 AB⊥BC，则动点 C 的轨迹方程为 ．
【答案】 y2=8x
20. 已知椭圆 x24+y23=1 上一动点 P，与圆 x-12+y2=1 上一动点 Q，及圆 x-12+y2=1 上一动点 R，则 ∣PQ∣+∣PR∣ 的最大值为 ．
【答案】 6
21. 已知点 A，B 都在抛物线 y2=2pxp>0 上（A，B 不同于原点），OA⊥OB，OM⊥AB,M 为垂足．
(1)求 M 的轨迹 E 的方程；
【解】 设 AyA22p,yA，ByB22p,yB，
因为 OA⊥OB，
所以 OA⋅OB=0，故 yAyB24p2+yAyB=0．
又因为 yAyB≠0，
所以 yAyB=-4p2，
因此 kAB=yA-yByA22p-yB22p=2pyA+yB．
从而 AB 的方程为 y-yA=2pyA+yBx-yA22p, ⋯⋯①
OM 的方程为 y=-yA+yB2px. ⋯⋯②
①×② 得 y2-yAy=-x2+yA22px．
由 yAy=-yA2+yAyB2px=-yA2-4p22px 代入上式可知
x2+y2=-yA22p+2px+yA22p=2px，
即轨迹 E 的方程为 x-p2+y2=p2x≠0．
(2)求证：曲线 E 与抛物线 y2=4px 没有公共点．
【解】 因为 E 的圆心为 Cp,0，抛物线上点 Mx,y 满足 y2=2px，
所以 ∣CM∣2=x-p2+y2=x2-2px+p2+2px=x2+p2⩾p2，
当且仅当 x=0 时，∣CM∣最小=p．
由（1）圆 C 不过 0,0 点且半径为 p，
故曲线与抛物线没有公共点．
22. 已知点 x,y 在以原点为圆心，半径为 1 的圆上运动，求点 Mx+y,x-y 的轨迹方程．
【解】 设 Mxʹ,yʹ，则 xʹ=x+y,yʹ=x-y, 解得 x=12xʹ+yʹ,y=12xʹ-yʹ.
由 x,y 在圆 x2+y2=1 上，得点 M 的轨迹方程为 xʹ2+yʹ2=2．
23. 点 Px,y，A4,0，N1,0 满足 AN⋅AP=6PN，求点 P 的坐标满足的二元方程．
【解】 因为 AN=-3,0，AP=x-4,y，PN=1-x,-y，
由 AN⋅AP=6PN，得 -3x-4=6x-12+y2，
即 2x-12+y2=4-x，
化简，得 x24+y23=1x⩽4．
24. △ABC 中，B-3,0，C3,0，D 在 BC 上，AD⋅BC=0，H 是 △ABC 垂心，AH=3HD，求 H 的轨迹方程．
【解】 设垂心 H 坐标为 x,y，且 Dx,0，Ax,y0，
则 CA=x-3,y0-0，BH=x+3,y-0．
因为 H 为垂心，
所以 CA⋅BH=0，即 x2-9+y0y=0．
又 AH=3HD，
因此 y-y0=30-y，即 y0=4y，
从而有 x2+4y2-9=0y≠0．
25. 一个动点到直线 x=8 的距离是它到点 A2,0 的距离的 2 倍，求动点的轨迹方程．
【解】 设动点 Mx,y，则依题意得 ∣x-8∣=2x-22+y2，
两边平方得 3x2+4y2=48．
这就是动点的轨迹方程．
26. 求平面内到两定点 -2,0，1,0 的距离之比等于 2 的动点 M 的轨迹方程．
【解】 设 Mx,y，根据题意可得 x+22+y2x-12+y2=2，化简整理得 x2+y2-4x=0．
27. 已知 M-2,0，N2,0，求以 MN 为斜边的直角三角形顶点P的轨迹方程．
【解】 设 P 点坐标为 x,y，由已知得点 P∈P∣MP⊥NP，即 MP⋅NP=0，x--2,y⋅x-2,y=0，整理得
x2+y2=4,
检验：P，M，N 三点要构成直角三角形，所以 P 点不能与 M，N 重合，即 x≠±2．
综上：点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4x≠±2．
28. 已知直线 l:x4+y3=1，M 是直线 l 上的一个动点，过点 M 作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 A 、 B，求把有向线段 AB 分成的比 λ=2 的动点 P 的轨迹方程．
【解】 设 Mx0,y0，Px,y，则 Ax0,0，B0,y0 且 x04+y03=1．
因为 P 分有向线段 AB 所成的比 λ=2，
所以 x=x0+01+2,y=0+2y01+2,得x0=3x,y0=32y,
代入 x04+y03=1 得 34x+32y3=1．
即动点 P 的轨迹方程为 3x+2y-4=0．
29. 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，O1O2=4，过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的切线 PM，PN（M，N 分别为切点），使得 PM=2PN．试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．
【解】 如图所示，以直线 O1O2 为 x 轴，线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为 O1-2,0，O22,0．
设 Px,y，则 PM2=O1P2-O1M2=x+22+y2-1，同理 PN2=x-22+y2-1．
因为 PM=2PN，
所以 x+22+y2-1=2x-22+y2-1，
即 x2-12x+y2+3=0，即 x-62+y2=33．
这就是动点 P 的轨迹方程．
30. 已知曲线 C:y=x2 与直线 l:x-y+2=0 交于两点 AxA,yA 和 BxB,yB，且 xA<xB．记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D．设点 Ps,t 是 L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合．
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程；
【解】 如图所示，
由题意可得出 A-1,1，B2,4，Q12,52，-1
b>0 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、 y 轴分别交于 R 、 S，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程．
【解】 由题意，得直线 l 不过椭圆的四个顶点，则可设直线 l 的方程为 y=kx+mk≠0．
由 y=kx+m,b2x2+a2y2=a2b2, 得
a2k2+b2x2+2ka2mx+a2m2-a2b2=0.
Δ=2ka2m2-4a2k2+b2a2m2-a2b2=4a2b2a2k2+b2-m2．
由直线 l 与椭圆相切，得 Δ=0，即 a2k2+b2=m2．⋯⋯①
在 y=kx+m 中，分别令 y=0，x=0，可得 R-mk,0，S0,m．
令顶点 P 的坐标为 x,y，则 x=-mk,y=m,
解得 k=-yx,m=y, 代入 ① 并整理，得 a2x2+b2y2=1．
因此，顶点 P 的轨迹方程是 a2x2+b2y2=1．
33. 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y=433，离心率 e=32，M 是椭圆上的动点．
(1)若 C，D 的坐标分别是 0,-3，0,3，求 ∣MC∣⋅∣MD∣ 的最大值；
【解】 由题设条件知焦点在 y 轴上，故可设椭圆方程为
x2b2+y2a2=1a>b>0,
设 c=a2-b2，由准线方程 y=433 得
a2c=433,
由 e=32 得
ca=32,
解得
a=2,c=3,
从而
b=1,
椭圆的方程为
x2+y24=1.
又易知 C，D 两点是椭圆 x2+y24=1 的焦点，所以
MC+MD=2a=4,
从而
MC⋅MD⩽MC+MD22=4,
当且仅当 MC=MD，即点 M 的坐标为 ±1,0 时上式取等号，MC⋅MD 的最大值为 4．
(2)如图，点 A 的坐标为 1,0，B 是圆 x2+y2=1 上的点，N 是点 M 在 x 轴上的射影，点 Q 满足条件：OQ=OM+ON，QA⋅BA=0．求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程．
【解】 设 MxM,yM，BxB,yB，QxQ,yQ．因为 NxM,0，
OM+ON=OQ,
故 xQ=2xM，yQ=yM，
xQ2+yQ2=2xM2+yM2=4. ⋯⋯①
因为 QA⋅BA=0，
1-xQ,-yQ⋅1-xB,-yB=1-xQ1-xB+yQyB=0,
所以
xQxB+yQyB=xB+xQ-1. ⋯⋯②
记 P 点的坐标为 xP,yP，因为 P 是 BQ 的中点，所以
2xP=xQ+xB,2yP=yQ+yB.
又因为 xB2+yB2=1，结合①，②得
xP2+yP2=14xQ+xB2+yQ+yB2=14xQ2+xB2+yQ2+yB2+2xQxB+yQyB=145+2xQ+xB-1=34+xP.
故动点 P 的轨迹方程为
x-122+y2=1.
34. 设 Fm,0（m>0）为定点，P，M，N 为动点，且 P，M 分别在 y 轴和 x 轴上，若 PM⋅PF=0，PM+PN=0，求点 N 的轨迹 C 的方程．
【解】 设 Nx,y，Ma,0，P0,b，又 Fm,0（m>0），
则 PM=a,-b，PF=m,-b，
又因为 PM⋅PF=0，所以 am+b2=0 ⋯⋯①，
又因为 PM+PN=0，所以 P 是 MN 的中点，
所以 a+x=00+y=2b，
则 a=-xb=12y 代入①可得点 N 的轨迹 C 的方程为 y2=4mx．
35. 已知 ⊙C1:x-42+y2=132，⊙C2:x+42+y2=32，动圆 C 与 ⊙C1 内切，同时与 ⊙C2 外切，求动圆圆心 C 的轨迹方程．
【解】 由已知可得圆 C1 与圆 C2 的圆心坐标与半径分别为 C14,0，r1=13；C2-4,0，r2=3．
设动圆的圆心为 C，其坐标为 x,y，动圆的半径为 r．
由于圆 C1 与圆 C 相内切，依据两圆内切的充要条件可得 C1C=r1-r. ⋯⋯①
由于圆 C2 与圆 C 相外切，依据两圆外切的充要条件可得 C2C=r2+r. ⋯⋯②
如图所示，由 ①+② 可得 CC1+CC2=r1+r2=13+3=16．
即点 C 到两定点 C1 与 C2 的距离之和为 16，且 C1C2=8，可知动点 C 的轨迹为椭圆，且以 C1 与 C2 为焦点．
由题意，c=4，a=8，
∴b2=a2-c2=64-16=48．
∴ 椭圆的方程为 x264+y248=1．
∴ 动圆圆心的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，其方程为 x264+y248=1．
36. 长为 2 的线段 AB 在抛物线 y=x2 上滑动，求 AB 中点的轨迹方程．
【解】 设 Ax1,y1，Bx2,y2 为抛物线 y=x2 上两点，那么：
y1=x12y2=x22⇒y1-y2=x1+x2x1-x2y1+y2=x1+x22-2x1x2
设 AB 中点为 Mx,y，那么：x1+x2=2xy1+y2=2y 有：
y1-y2=2xx1-x22y=4x2-2x1x2⇒y1-y22=4x2x1-x22x1x2=2x2-y
∴
∣AB∣2=x1-x22+y1-y22=1+4x2x1-x22=1+4x2x1+x22-4x1x2=1+4x24x2-42x2-y
已知 ∣AB∣=2．∴ 1+4x2y-x2=1 所求点 M 的轨迹方程为 y=x2+11+4x2．
37. 过定点 Aa,b 任作互相垂直的两直线 l1 与 l2，且 l1 与 x 轴交于 M 点，l2 与 y 轴交于 N 点，求线段 MN 中点 P 的轨迹方程．
【解】 设 Mx1,0，N0,y1，Px,y，则
x=x12,y=y12,⇒x1=2x,y1=2y. ⋯⋯①
因为 l1⊥l2，所以 x1-a2+b2+y1-b2+a2=x12+y12，化简得
ax1+by1-a2-b2=0. ⋯⋯②
① 代入 ②，得 2ax+2by-a2-b2=0．
即中点 P 的轨迹方程为 2ax+2by-a2-b2=0．
38. 已知 ⊙M：x2+y-22=1，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切 ⊙M 于 A，B 两点，
(1)如果 ∣AB∣=423，求直线 MQ 的方程；
【解】
设 MQ 和 AB 相交于点 P，又由题意可知 MQ⊥AB．
由 ∣AB∣=423 可得
∣MP∣=∣MA∣2-∣AB∣22=12-2232=13.
由射影定理知 ∣MB∣2=∣MP∣⋅∣MQ∣，求得 ∣MQ∣=3，在 Rt△MOQ 中，
∣OQ∣=∣MQ∣2-∣MO∣2=32-22=5,
故 a=5 或 a=-5．
所以直线 AB 方程是 2x+5y-25=0 或 2x-5y+25=0．
(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程．
【解】 连接 MB,MQ，设 Px,y，Qa,0，
由点 M,P,Q 在一直线上，得
2-a=y-2x ⋯⋯*
由射影定理得 ∣MB∣2=∣MP∣⋅∣MQ∣，即
x2+y-22⋅a2+4=1 ⋯⋯**
由 * 和 ** 消去 a，并注意到 y<2，可得
x2+y-742=116y≠2.
39. 已知点 F1,0，点 A 是直线 l1:x=-1 上的动点，过 A 作直线 l2，l1⊥l2，线段 AF 的垂直平分线与 l2 交于点 P．
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；
【解】 依题意，点 P 到点 F1,0 的距离等于它到直线 l1 的距离，
所以点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l1:x=-1 为准线的抛物线．
所以曲线 C 的方程为 y2=4x．
(2)若点 M，N 是直线 l1 上两个不同的点，且 △PMN 的内切圆方程为 x2+y2=1，直线 PF 的斜率为 k，求 ∣k∣∣MN∣ 的取值范围．
【解】 解法1：设点 Px0,y0，点 M-1,m，点 N-1,n，
直线 PM 方程为：y-m=y0-mx0+1x+1，
化简得，y0-mx-x0+1y+y0-m+mx0+1=0．
因为 △PMN 的内切圆方程为 x2+y2=1，
所以圆心 0,0 到直线 PM 的距离为 1，
即 ∣y0-m+mx0+1∣y0-m2+x0+12=1．
故 y0-m2+x0+12=y0-m2+2my0-mx0+1+m2x0+12．
易知 x0>1，上式化简得，x0-1m2+2y0m-x0+1=0．
同理，有 x0-1n2+2y0n-x0+1=0．
所以 m，n 是关于 t 的方程 x0-1t2+2y0t-x0+1=0 的两根．
所以 m+n=-2y0x0-1，mn=-x0+1x0-1．
所以 ∣MN∣=∣m-n∣=m+n2-4mn=4y02x0-12+4x0+1x0-1．
因为 y02=4x0，∣y0∣=2x0，
所以 ∣MN∣=16x0x0-12+4x0+1x0-1=2x02+4x0-1x0-12．
直线 PF 的斜率 k=y0x0-1，则 ∣k∣=y0x0-1=2x0∣x0-1∣．
所以 ∣k∣∣MN∣=x0x02+4x0-1=1x0-1x0+4．
因为函数 y=x-1x 在 1,+∞ 上单调递增，
所以 x0-1x0>1-1=0．
所以 x0-1x0+4>4．
所以 0<1x0-1x0+4<14．
所以 0<∣k∣∣MN∣<12．
所以 ∣k∣∣MN∣ 的取值范围为 0,12．
解法2：设点 Px0,y0，点 M-1,m，点 N-1,n，
直线 PM 的方程为 y-m=k1x+1，即 k1x-y+k1+m=0，
因为直线 PM 与圆 x2+y2=1 相切，
所以 ∣k1+m∣k12+1=1．
所以 k1=1-m22m．
所以直线 PM 的方程为 y-m=1-m22m⋅x+1．
因为点 P 在直线 PM 上，
所以 y0-m=1-m22m⋅x0+1．
易知 x0>1，上式化简得，x0-1m2+2y0m-x0+1=0．
同理，有 x0-1n2+2y0n-x0+1=0．
所以 m，n 是关于 t 的方程 x0-1t2+2y0t-x0+1=0 的两根．
所以 m+n=-2y0x0-1，mn=-x0+1x0-1．
所以 ∣MN∣=∣m-n∣=m+n2-4mn=4y02x0-12+4x0+1x0-1．
因为 y02=4x0，∣y0∣=2x0，
所以 ∣MN∣=16x0x0-12+4x0+1x0-1=2x02+4x0-1x0-12．
直线 PF 的斜率 k=y0x0-1，则 ∣k∣=y0x0-1=2x0∣x0-1∣．
因为函数 y=x-1x 在 1,+∞ 上单调递增，
所以 x0-1x0>1-1=0．
所以 x0-1x0+4>4．
所以 0<1x0-1x0+4<14．
所以 0<∣k∣∣MN∣<12．
所以 ∣k∣∣MN∣ 的取值范围为 0,12．
解法3：设点 Px0,y0，直线 PM 的方程为 y-y0=k1x-x0，
即 k1x-y-k1x0+y0=0，
令 x=-1，得 yM=y0-k11+x0，
所以 M-1,y0-k11+x0．
因为直线 PM 与圆 x2+y2=1 相切，
所以 ∣-k1x0+y0∣k12+1=1．
化简得，1-x02k12+2x0y0k1+1-y02=0．
同理，设直线 PN 的方程为 y-y0=k2x-x0，
则点 N-1,y0-k21+x0，且 1-x02k22+2x0y0k2+1-y02=0．
所以 k1，k2 是关于 k 的方程 1-x02k2+2x0y0k+1-y02=0 的两根．
所以 k1+k2=2x0y0x02-1，k1k2=y02-1x02-1．
依题意，x0>1，y02=4x0，
所以 ∣MN∣=∣1+x0k1-k2∣=1+x0k1+k22-4k1k2
=1+x02x0y0x02-12-4y02-1x02-1
=2x0-1x02+y02-1=2x0-1x02+4x0-1．
直线 PF 的斜率 k=y0x0-1，则 ∣k∣=y0x0-1=2x0∣x0-1∣．
所以 ∣k∣∣MN∣=x0x02+4x0-1=1x0-1x0+4．
因为函数 y=x-1x 在 1,+∞ 上单调递增，
所以 x0-1x0>1-1=0．
所以 x0-1x0+4>4．
所以 0<1x0-1x0+4<14．
所以 0<∣k∣∣MN∣<12．
所以 ∣k∣∣MN∣ 的取值范围为 0,12．
解法4：设点 Px0,y0，如图，设直线 PM，PN 与圆 O 相切的切点分别为 R，T，
依据平面几何性质，得 ∣PM∣+∣PN∣=2∣PR∣+∣MN∣，
由 S△PMN=12∣MN∣⋅x0+1=12∣MN∣+∣PM∣+∣PN∣⋅∣OR∣，
得 ∣MN∣⋅x0+1=∣MN∣+∣PM∣+∣PN∣，
得 ∣MN∣⋅x0+1=2∣PR∣+2∣MN∣．
得 ∣MN∣⋅x0-1=2∣PR∣=2∣PO∣2-1．
故 ∣MN∣=2x02+y02-1x0-1．
依题意，x0>1，y02=4x0．
所以 ∣MN∣=2x0-1x02+4x0-1．
直线 PF 的斜率 k=y0x0-1，则 ∣k∣=y0x0-1=2x0∣x0-1∣．
所以 ∣k∣∣MN∣=x0x02+4x0-1=1x0-1x0+4．
因为函数 y=x-1x 在 1,+∞ 上单调递增，
所以 x0-1x0>1-1=0．
所以 x0-1x0+4>4．
所以 0<1x0-1x0+4<14．
所以 0<∣k∣∣MN∣<12．
所以 ∣k∣∣MN∣ 的取值范围为 0,12．
40. 已知向量 c=0,2，d=1,0，经过原点 O 以 c+λd 为方向向量的直线 l1，与经过 A0,2 以 d-2λc 为方向向量的直线 l2，相交于 P，其中 λ∈R，求点 P 的轨迹方程．
【解】 设 Px,y，则 P 在 l1 上，且 c+λd=λ,2，
又因为 O 为 l1 上一点，
所以由 OP∥c+λd，得 λy-2x=0． ⋯⋯①
又 d-2λc=1,-4λ，且 P 为 l2 上一点，AP=x,y-2，
所以由 AP∥d-2λc，得 y-2+4λx=0． ⋯⋯②
由 ①② 消 λ，得 8x2+y2-2y=0，
因此 P 的轨迹方程为 8x2+y2-2y=0．
课后练习
1. 已知圆 E:x+12+y2=16，点 F1,0，P 是圆 E 上的任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于点 Q，则动点 Q 的轨迹方程为 ．
2. 与圆 x2+y2-4x=0 外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
3. 设 A 为圆 x-12+y2=1 上一动点， PA 为圆的切线，且 PA=1 ，则 P 点的轨迹方程为 ．
4. 如图，直角坐标系 xOy 所在的平面为 α，直角坐标系 xʹOyʹ（其中 yʹ 轴与 y 轴重合）所在的平面为 β，∠xOxʹ=45∘．
（1）已知平面 β 内有一点 Pʹ22,2，则点 Pʹ 在平面 α 内的射影 P 的坐标为 ．
（2）已知平面 β 内的曲线 Cʹ 的方程是 xʹ-22+2yʹ2-2=0，则曲线 Cʹ 在平面 α 内的射影 C 的方程是 ．
5. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，△PCD 为正三角形，底面为正方形，且边长均为 1，平面PCD⊥平面ABCD，M 为底面内一动点，当 AM=PM 时，点 M 在底面内的轨迹长度为 ．
6. 设二面角 α-AB-β 的大小为 60∘，在 AB 上选一点 O，以 O 为原点，AB 为 y 轴在两个半平面内分别建立坐标系 xOy 和 xʹOy，其中 x 轴的正半轴和 xʹ 轴的正半轴分别在半平面 α 和 β 内．已知 α 内的曲线 C 的方程为 y2=2px（p>0），则曲线 C 在 β 内的射影的曲线 Cʹ 的方程为 ．
7. 已知圆：x-12+y2=1，O 为原点，作弦 OA，则 OA 中点的轨迹方程是 ．
8. 已知 P 是抛物线 y=2x2-1 上的动点，定点 A0,-1，且点 P 不同于点 A，若点 M 分 PA 所成的比为 2，则 M 的轨迹方程是 ．
9. （1）已知点 A-12,0，点 B 是圆 F:x-122+y2=4 上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为 ．
（2）在平面直角坐标系中，A 、 B 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切，则动圆圆心 C 的轨迹为 ．
10. 已知点 M 与两个定点 O0,0，A3,0 的距离比为 12，则点 M 的轨迹方程为 ．
11. 设平面直角坐标系上的点 Ac,0 、点 B-c,0 为定点，l:x=m 为定直线，P 为动点．
（1）若 PA+PB=2a（2a>0），则点 P 的轨迹为 ；
（2）若 PA-PB=2a，则点 P 的轨迹为 ；
（3）若 P 到点 A 的距离与到直线 l 的距离之比为 e（e>0）则点 P 的轨迹为 ；
（4）若 c≠0，P 到点 A 与到点 B 的距离之比为 λ（λ≠1）则点 P 的轨迹为 ；
（5）若 c>m，P 到点 A 与到直线 l 的距离之和为 u（u>c-m），则点 P 的轨迹为 ；
（6）若 c>m，P 到点 A 与到直线 l 的距离之差的绝对值为 u（0b>0 的离心率为 22，则 b=c；
②双曲线 x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的焦点到渐近线的距离是 b；
③已知抛物线 y2=2px 上两点 Ax1,y1，Bx2,y2，且 OA⋅OB=0（O 为原点），则 y1y2=-p2；
④动点 M 到两定点 A，B 的距离之比为常数 λλ>0且λ≠1，则动点 M 的轨迹是圆．
其中的真命题是 ．（把你认为是真命题的序号都填上）
14. 若 F1，F2 是椭圆 x225+y216=1 的焦点，P 为椭圆上不在 x 轴上的点，则 △PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为 ．
15. 长为 3 的线段 AB 的端点 A，B 分别在 x，y 轴上移动，动点 Cx,y 满足 AC=2CB，则动点 C 的轨迹方程是 ．
16. 已知 A2,-1，B-1,1，O 为坐标原点，动点 M 满足 OM=mOA+nOB，其中 m,n∈R，且 2m2-n2=2，则 M 的轨迹方程为 ．
17. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且 AM=13，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨迹方程是 ．
18. 点 P 在双曲线 x2-y2=1 左支上运动，O 为坐标原点，线段 PO 中点 M 的轨迹方程是 ．
19. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A-1,1 关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积为 -13，则动点 P 的轨迹方程为 ．
20. 已知点 A0,3，点 Q 是圆 B:x2+y+32=16 圆 上的一个动点，线段 QA 的垂直平分线交 QB 于点 P，则点 P 的轨迹方程为 ．
21. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F-3,0，右顶点为 D2,0，设点 A1,12．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程．
22. 已知 △ABC 中，顶点 A-2,0，B0,-2，另一顶点 C 在曲线 y=3x2-1 上移动，求 △ABC 重心的轨迹方程．
23. 己知 ⊙O:x2+y2=6，P 为 ⊙O 上动点，过 P 作 PM⊥x 轴于 M,N 为 PM 上一点，且 PM=2NM．
(1)求点 N 的轨迹 C 的方程；
(2)若 A2,1,B3,0，过 B 的直线与曲线 C 相交于 D 、 E 两点，则 kAD+kAE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
24. 如图，抛物线 C:y2=4x，过点 A0,-2 的直线 l 交抛物线 C 于 P，Q 两点，以 OP，OQ 为邻边作平行四边形 OPRQ．求点 R 的轨迹方程．
25. 设 A-c,0 ， Bc,0c>0 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 aa>0 ，求 P 点的轨迹．
26. 直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A，B 两点，若 ∃λ∈R 使 OF=λOA+1-λOB：
(1)求 OA⋅OB 的值；
(2)求满足 OM=OA+OB 的动点 M 的轨迹方程．
27. 已知 A-2,0，B2,0，点 C，D 满足 AC=2，AD=12AB+AC．
(1)求点 D 的轨迹方程；
(2)过点 A 作直线 l 交以 A，B 为焦点的椭圆于 M，N 两点，线段 MN 的中点到 y 轴距离为 45，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．
28. 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 A0,2 为圆心， 1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y=x 对称．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若 Q 是双曲线 C 上的任一点， F1,F2 为双曲线 C 的左、右两个焦点，从 F1 引 ∠F1QF2 的平分线的垂线，垂足为 N ，试求点 N 的轨迹方程．
29. 已知点 A,B 分别是射线 l1:y=xx⩾0,l2:y=-xx⩾0 上的动点，O 为坐标原点，且 △OAB 的面积为定值 2，求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程．
30. 已知 k>0，直线 l1:y=kx,l2:y=-kx．
(1)证明：到 l1,l2 的距离的平方和为定值 aa>0 的点的轨迹是圆或椭圆；
(2)求到 l1,l2 的距离之和为定值 cc>0 的点的轨迹．
31. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，直线 l 过定点 A4,0 且与抛物线交于 P，Q 两点：
(1)若以 PQ 为直径的圆恒过原点 O，求 p 的值；
(2)在（1）的条件下，若 FP+FQ=FR，求动点 R 的轨迹方程．
32. 求到两条互相垂直的直线的距离之积等于常数 kk>0 的点的轨迹方程．
33. 已知定点 A2,4，B-2,4，动点 P 与 A，B 两点的连线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1=k2+4，求点 P 的轨迹方程．
34. 设 △ABC 的两顶点分别是 B1,1 和 C3,6，求第三个顶点 A 的轨迹方程，使 AB=BC．
35. 如图，已知点 P-3,0，点 Q 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，且 PA⋅AQ=0，QM=2AQ．当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程．
36. 设圆 C:x-12+y2=1，过原点作圆的弦 OA，求 OA 的中点 B 的轨迹方程．
37. 一动圆经过定点 M-4,0，且与已知圆 x-42+y2=9 相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
38. 已知点 P 是椭圆 x216+y27=1 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，OPOM=λ．求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
39. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 Pa,ba>b>0 为动点，F1，F2 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1 的左右焦点．已知 △F1PF2 为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率 e；
(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足 AM⋅BM=-2，求点 M 的轨迹方程．
40. 如图，已知点 A-1,0 与点 B1,0，C 是圆 x2+y2=1 上的动点，连结 BC 并延长至 D，使得 ∣CD∣=∣BC∣，求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程．
轨迹与轨迹方程-出门考
姓名 成绩
1. 直线 y=kx+3 与直线 y=-2kx-1 的交点轨迹方程是 ．
2. 设 Pa,b 是单位圆 x2+y2=1 上的动点，则 Qa+b,ab 的轨迹方程是 ．
3. 在平面直角坐标系 xOy 上，直线 l:x=-2 交 x 轴于点 A．设 P 是 l 上一点，M 是线段 OP 的垂直平分线上一点，且满足 ∠MPO=∠AOP．当点 P 在 l 上运动时，则点 M 的轨迹 E 的方程是 ．
4. 在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点的坐标为 A2,3，B1,-1，C5,1，点 P 在直线 BC 上运动，动点 Q 满足 PQ=PA+PB+PC，则点 Q 的轨迹方程是 ．
5. 已知 A-3,0，B 是圆 C:x-32+y2=100C为圆心 上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，则动点 Px,y 的坐标 x，y 适合的条件为 ．
6. 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A-5,0、B5,0 ，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 ．
7. 到两定点的距离之比等于常数 kk≠0 的点的轨迹是 ．
8. 到 y 轴距离等于 2 的点的轨迹方程是 ．
9. 已知点 P 是抛物线 y=2x2+1 上的动点，定点 A0,-1，点 M 分 PA 所成的比为 2，则点 M 的轨迹方程为 ．
10. 若动点 P 到点 1,1 的距离等于它到 y 轴的距离，则动点 P 的轨迹方程是 ．
11. 在 △ABC 中，B-2,0，C2,0，Ax,y，给出 △ABC 满足的条件，就能得到动点 A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程，则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号 C1 、 C2 、 C3 填入）．
条件方程①△ABC周长为10C1:y2=25②△ABC面积为10C2:x2+y2=4y≠0③△ABC中,∠A=90∘C3:x29+y25=1y≠0
12. 已知直线 l:x4+y3=1，M 是 l 上一动点，过 M 作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 A 、 B，则在 A 、 B 连线上，且满足 AP=2PB 的点 P 的轨迹方程是 ．
13. 如图，定点 A，B∈α，定点 P∉α，PB⊥α，C 是 α 内异于 A，B 的一个动点，且 PC⊥AC，动点 C 在 α 内的轨迹是 ．
14. 已知 a=x,0，b=1,y，且 a+3b⊥a-3b，则 Px,y 的轨迹方程为 ．
15. 由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB ，切点分别为 A、B ， ∠APB=60∘ ，则动点 P 的轨迹方程为 ．
16. 过定点 A0,a 且在 x 轴上截得的弦长为 2a 的动圆圆心的轨迹方程为 ．
17. 过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，过原点 O 作 OM⊥AB，垂足为 M，则点 M 的轨迹方程是 ．
18. 曲线 C 是平面内与定点 F2,0 和定直线 x=-2 的距离的积等于 4 的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线 C 过坐标原点；
②曲线 C 关于 x 轴对称；
③曲线 C 与 y 轴有 3 个交点；
④若点 M 在曲线 C 上，则 MF 的最小值为 22-1．
其中，所有正确结论的序号是 ．
19. 已知线段 AB 的长为 4，且端点 A，B 分别在 x 轴与 y 轴上，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 ．
20. 有一条长度为 1 的线段 EF，其端点 E 、 F 在边长为 3 的正方形 ABCD 的四边上滑动，当 EF 绕着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点 M 所形成的轨迹的长是 ．
21. 点 M 到直线 l:y=-1 的距离比它到点 F0,2 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程．
22. 求到 A-2,1，B4,-3 两点的距离相等的点 P 的轨迹方程．
23. △ABC 底边 BC=10，∠A=12∠B，以 B 为极点，BC 为极轴，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程．
24. 已知直线 l:y=x+b 与曲线 c:y=1-x2 有两个公共点，求 b 的取值范围．
25. 已知常数 a>0，向量 c=0,a,i=1,0．经过原点 O 以 c+λi 为方向向量的直线与经过定点 A0,a 以 i-2λc 为方向向量的直线相交于点 P，其中 λ∈R．试问：是否存在两个定点 E,F，使得 ∣PE∣+∣PF∣ 为定值．若存在，求出 E,F 的坐标；若不存在，说明理由．
26. 已知两点 P-2,2,Q0,2 以及一条直线 l:y=x ，设长为 2 的线段 AB 在直线 l 上移动，求直线 PA 和 QB 所在直线的交点 M 的轨迹方程．
27. 过点 P1,3 作两条相互垂直的直线 l1,l2，l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
28. 已知 A，B 为两定点，动点 M 到 A 与到 B 的距离之比为常数 λ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
29. 已知 ⊙C:x2+y2-2x-2y+1=0，直线 l 与 ⊙C 相切，且分别交 x 轴、 y 轴正向于 A、B 两点，O 为坐标原点，且 OA=a，OB=ba>2,b>2．
(1)求线段 AB 中点的轨迹方程；
(2)求 △AOB 面积的最小值．
30. 已知 B-3,0，C3,0，△ABC 中 BC 边上的高为 3，求 △ABC 的垂心 H 的轨迹方程．
31. 设 λ>0 ，点 A 的坐标为 1,1 ，点 B 在抛物线 y=x2 上运动，点 Q 满足 BQ=λQA, 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M, 点 P 满足 QM=λMP ，求点 P 的轨迹方程．
32. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 33 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+2 相切．
(1)求 a 与 b ；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ，直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直，动直线 l2 与 y 轴垂直， l2 交 l1 于点 P ．求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型．
33. 如图，圆 O：x2+y2=16 与 x 轴交于 A，B 两点，l1，l2 是分别过点 A，B 的 ⊙O 的切线，过此圆上的另一点 P（点 P 是圆上任一不与 A，B 重合的点）作此圆的切线，分别交 l1，l2 于点 C，D，且 AD，BC 两直线的交点为 M．当点 P 运动时，求动点 M 的轨迹方程．
34. 给定双曲线 x2-y22=1，过点 A2,1 的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2，求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程．
35. 试画出方程 x+y=1 的曲线，并研究其性质．
36. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C:x22+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP=2NM．
(1)求点 P 的轨迹方程；
(2)设点 Q 在直线 x=-3 上，且 OP⋅PQ=1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F．
37. 已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 P,Q 两点．
(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ；
(2)若 △PQF 的面积是 △ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
38. △ABC 的顶点 A 固定，点 A 的对边 BC 的长是 2a，边 BC 上的高的长是 b，边 BC 沿一条定直线移动，求 △ABC 外心的轨迹方程．
39. 已知点 M，N 分别在直线 y=mx 和 y=-mxm>0 上运动，点 P 是线段 MN 的中点，且 ∣MN∣=2，动点 P 的轨迹是曲线 C．
(1)求曲线 C 的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；
(2)设 m=22 时，过点 A-263,0 的直线 l 与曲线 C 恰有一个公共点，求直线 l 的斜率．
40. 如图，已知圆 D：x2+y2-4x+4y+6=0，若 P 为圆 D 外一动点，过 P 向圆 D 作切线 PM，M 为切点，设 PM=2，求动点 P 的轨迹方程．
