高中数学第三章不等式3-4基本不等式第2课时基本不等式的应用达标检测含解析新人教A版必修5

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高中数学第三章不等式3-4基本不等式第2课时基本不等式的应用达标检测含解析新人教A版必修5

基本不等式的应用 A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.下列命题正确的是(  )‎ A.函数y=x+的最小值为2‎ B.若a,b∈R且ab>0,则+≥2‎ C.函数+的最小值为2‎ D.函数y=2-3x-的最小值为2-4 解析:A错误,当x<0时或x≠1时不成立;B正确,因为ab>0,所以>0,>0,且+≥2;C错误,若运用基本不等式,需()2=1,x2=-1无实数解;D错误,y=2-(3x+)≤2-4.‎ 答案:B ‎2.已知x≥,则f(x)=有(  )‎ A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1‎ 答案:D ‎3.已知a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值为(  )‎ A.6 B. B.4 C.2 D.2 解析:2a+2b≥2=4.‎ 答案:B ‎4.(多选)已知函数f(x)=(x∈R)的值域为[m,+∞),则实数a与实数m的取值可能为(  )‎ A.a=0,m=0 B.a=1,m=1‎ C.a=3,m=3 D.a=,m= - 5 -‎ 解析:f(x)===x2+1+,‎ 设x2+1=t,t≥1,则y=t+.‎ 当a=0时,y=t-在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=0,故y∈[0,+∞),A项正确;‎ 当a=1时,y=t在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=1,故y∈[1,+∞),B项正确;‎ 当a=3时,y=t+在上单调递减,在上单调递增,故ymin=2,C项错误;‎ 当a=时,y=t+在[1,+∞]上单调递增,t=1时,y=,故y∈,D项正确.‎ 答案:ABD ‎5.已知不等式(x+y)≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.4 D.-6‎ 解析:(x+y)=4+a+,因为x>0,y>0,a>0,所以+≥2=4,当且仅当=时取等号.由已知可得4+a+4≥16,即a+4-12≥0,解得≥2或≤-6(舍去),所以a≥4,即a的最小值为4.‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.‎ 解析:因为x>0,a>0,‎ 所以f(x)=4x+≥2=4,‎ 当且仅当4x=时,等号成立,‎ 此时a=4x2,因为x=3时函数取得最小值,‎ 所以a=4×9=36.‎ 答案:36‎ - 5 -‎ ‎7.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.‎ 解析:因为a,b为正数,所以ab=a+b+3≥2+3,‎ 所以(-3)(+1)≥0,‎ 所以≥3,所以ab≥9.‎ 答案:[9,+∞)‎ ‎8.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的最大值为________.‎ 解析:x+≥a恒成立⇔≥a,‎ 因为x>1,即x-1>0,‎ 所以x+=x-1++1≥2 +1=3,‎ 当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.‎ 所以a≤3,即a的最大值为3.‎ 答案:3‎ 三、解答题 ‎9.已知x,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的范围.‎ 解:因为x,y是正实数,故30=x+2y+xy≥2+xy,当且仅当x=2y,‎ 即x=6,y=3时,等号成立.‎ 所以xy+2-30≤0.‎ 令=t,则t>0,得t2+2t-30≤0,‎ 解得-5≤t≤3.‎ 又t>0,知0<≤3,即xy的范围是(0,18].‎ ‎10.已知x,y是正实数,且2x+5y=20.‎ ‎(1)求u=lg x+lg y的最大值;‎ ‎(2)求+的最小值.‎ 解:(1)因为x>0,y>0,‎ 所以由基本不等式,得≥=.‎ 因为2x+5y=20,‎ 所以≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ 所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.‎ - 5 -‎ 所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.‎ ‎(2)因为x>0,y>0,‎ 所以+=·=≥=,‎ 当且仅当=时,等号成立.‎ 由解得 所以+的最小值为.‎ B级 能力提升 ‎1.某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为400平方米的三级污水处理池,如图所示,池外圈造价为每米200元,中间两条隔墙造价为每米250元,池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使水池的总造价最低,那么污水池的长和宽分别为(  )‎ A.40米,10米 B.20米,20米 C.30米,米 D.50米,8米 解析:设总造价为y元,污水池的长为x米,则宽为米,总造价y=·200+2×250·+80×400=400·+32 000≥400×2+32 000=56 000(元),当且仅当x=,即x=30时等号成立,此时污水池的宽为米.‎ 答案:C ‎2.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n>0,则+的最小值为________.‎ 解析:函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),且点A在直线mx+ny+1=0上,‎ 所以2m+n=1,m,n>0,所以+=·(2m+n)=4++≥4+2 =8,‎ - 5 -‎ 当且仅当即时等号成立.‎ 答案:8‎ ‎3.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽约为2米,如图,设池塘所占的总面积为S平方米.‎ ‎(1)试用x表示S.‎ ‎(2)当x取何值时,才能使得S最大?并求出S的最大值.‎ 解:(1)由图形知,3a+6=x,‎ 所以a=.‎ 则总面积S=·a+2a·=a=·=1 832-,‎ 即S=1 832-(x>0).‎ ‎(2)由S=1 832-,‎ 得S≤1 832-2=1 832-2×240=1 352.‎ 当且仅当=,‎ 即x=45时等号成立.‎ 即当x为45米时,S最大,且S最大值为1 352平方米.‎ - 5 -‎
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