高考理科概率大题

高考理科概率大题

高三数学总复习概率大题集锦 1. 甲、乙二人用 4 张扑克牌（分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4）玩游戏，他们将 扑克牌洗均匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设（i,j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃 3，则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少？ （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。你认为此游 戏是否公平，说明你的理由。 解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片 4 用 4′表示）为 （2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、（4，4′）、 （4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共 12 种不同情况。……4 分 （2）甲抽到 3，乙抽到的牌只能是 2，4，4。 因此乙抽到的牌的数字大 3 的概率为 ;3 2 ……………………8 分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共 5 种 ………………11 分 甲胜的概率 p1= 12 5 ，乙获胜的概率为 ,12 7 2 p ,12 7 12 5  ∴此游戏不公平………………………………12 分 2.甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比 赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为 0.6，每场比赛必须 分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负． （1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率； （2）求甲队获得冠军的概率； 解：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件 M，则第五场比赛甲队获胜，前四场 比赛甲队获胜三场,依题意得 20736.04.06.0)( 43 4  CMP ． （2）设甲队获得冠军为事件 E，则 E 包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情 况，且它们被彼此互斥． ∴ 710208.04.06.04.06.04.06.06.0)( 343 6 243 5 43 4 4  CCCEP ． 3. 一个袋中装有大小相同的球 10 个，其中红球 8 个，黑球 2 个，现从袋中有放回地取球， 每次随机取 1 个．求： （Ⅰ）连续取两次都是红球的概率； （Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过 3 次的概率． 解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率 4 4 16 ;5 5 25P    …………………… 6 分 （Ⅱ）取到黑球时取球次数为 1 次，2 次，3 次的事件，分别记为 A 、 B 、C ． 1( ) 5P A  ， 4 1 4( ) 5 5 25P B    ， 24 1 16( ) ( )5 5 125P C    所以，取球次数不超过 3 次的概率是 ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C     ＝ 1 5 ＋ 4 25 ＋ 16 125 = 61 125 ． 答：取球次数不超过 3 次的概率是 61 125 ．…………………………………………12 分 4.将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为 6 的概率； （2）两数之积是 6 的倍数的概率； （3）以第一次向上的点数为横坐标 x，第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x, y)在直线 x－y=3 的下方区域的概率 （1）两数之和为 6 的概率为 36 5 （2）此问题中含有 36 个等可能基本事件，记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 A， 则 由 下 面 的 列 表 可 知 ， 事 件 A 中 含 有 其 中 的 15 个 等 可 能 基 本 事 件 ， 所以 P(A)= 36 15 = 12 5 , 两数之积是 6 的倍数的概率为 12 5 6. 两个人射击，甲射击一次中靶概率是 p1，乙射击一次中靶概率是 p2，已知 1 p1 , 1 p2 是 方程 x2－5x + 6 = 0 的根，若两人各射击 5 次，甲的方差是 5 4 ．1 求 p1、p2 的值； 2 两人各射击 2 次，中靶至少 3 次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？3 两人 各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？ 解析：1 由题意可知 甲 ~ B(5, p1)，∴D甲 = 5p1 1－p1 = 5 4  p1 2－p1 + 1 4 = 0  p1 = 1 2 ．2 分；又 1 p1 ·1 p2 = 6，∴ p2 = 1 3 ． 3 分 2 两类情况：共击中 3 次概率 C 2 2  1 2  2  1 2  0×C 1 2  1 3  1  2 3  1 + C 1 2  1 2  1  1 2  1×C 2 2  1 3  2  1 3  0 = 1 6 ； 共击中 4 次概率 C 2 2  1 2  2  1 2  0×C 2 2  1 3  2  2 3  0 = 1 36 ． 6 分 所求概率为 1 6 + 1 36 = 7 36 ． 8 分 3 设事件 A, B 分别表示甲、乙能击中．∵ A, B 互相独立（9 分），∴ PA·B  = PA  PB  = 1－PA 1－PB  = 1－p11－p2 = 1 2 ×2 3 = 1 3 （11 分），∴ 1－PA·B  = 2 3 为所求概率． 12 分 评析：这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想， 体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该 题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明． 7. 有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为 5 3 ；乙第一次在距 离 8 米处投篮命中率为 4 3 ，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为 12 米，如 果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为 16 米，乙若投中，则不再继续投篮， 且知乙命中的概率与距离的平方成反比. （Ⅰ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差； （Ⅱ）求乙投篮命中的概率. 解：（Ⅰ）甲三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即 )5 3,3(~ B ，…………2 分 则 3 93 ,5 5E np     ………………………………4 分 3 2 183 .5 5 25D npq      …………………………6 分 （Ⅱ） 记乙三次投篮依次为事件 A、B、C，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系数 为 a，则由题意得 2 3( ) , 488 4 aP A a    ……………………………………7 分 2 1( ) 12 3 aP B   …………………………8 分 .16 3 16 )( 2  aCP ……………………9 分 故乙投篮命中的概率为 )()()()()()()()()( CPBPAPBPAPAPCBAPBAPAPP  .96 83 16 3 3 2 4 1 3 1 4 1 4 3  ………………………………12 分 8. 某办公室有 5 位教师，只有 3 台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。 （Ⅰ）若上午某一时段 A、B、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是 4 1 、 3 2 、 5 2 ，求这一 时段 A、B、C 三位教师中恰有 2 位教师使用电脑的概率； （Ⅱ）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是 3 1 ，求这一时段该办公室电脑数无 法满足需求的概率。 解：（Ⅰ）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为 A、B、C，因为各位教师是否使用电脑 是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有 2 位使用电脑的概率是： 3 1 5 2 3 2)4 11(5 2)3 21(4 1)5 21(3 2 4 1)()()(  BCAPCBAPCABPp （Ⅱ）电脑数无法满足需求，即指有 4 位以上（包括 4 位）教师同时需要使用电脑，记有 4 位教师同时需要使用电脑的事件为 M，有 5 位教师同时需要使用电脑的事件为 N， 2 P（M）= )3 2()3 1( 44 5C   5 3 1Np      …10 分 所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）= 243 11)3 1()3 2()3 1( 544 5 C 。 …12 分 9. 一个口袋内装有大小相同的 4 个红球和 6 个白球。 (1) 从中任摸 2 个球，求摸出的 2 个球颜色不同的概率； (2) 从中任摸 4 个球，求摸出的 4 个球中红球数不少于白球数的概率； （3）每次从中任摸 4 个球，放回后再摸 4 个球，如此反复三次，求三次中恰好有一次 4 个球都是白球的概率． 解：(1)记从中任摸 2 个球，摸出的 2 个球颜色不同为事件 A, 则 A 所含的基本事件数为 1 1 4 6C C , 事件总数为 2 10C 1 1 4 6 2 10 24 8( ) 45 15 C CP A C     ------------------------------4 分 (2)记任摸 4 个球，摸出的 4 个球中红球数不少于白球数为事件 B, 则事件 B 可分为三类：4 个红球，3 个红球 1 个白球，2 个红球 2 个白球，故 B 包含的基本事件的个数为： 4 3 1 2 2 4 4 6 4 6C C C C C  ∵基本事件的总数为 4 10C --------------------6 分 4 3 1 2 2 4 4 6 4 6 4 10 115 23( ) 210 42 C C C C CP B C      .-------------------------8 分 (3) 每 次 从 中 任 摸 4 个 球 ， 4 个 球 都 是 白 球 的 概 率 4 6 4 10 1 14 CP C   ,-----------------10 分 由 独 立 重 复 试 验 可 得 ， 三 次 中 恰 好 有 一 次 4 个 球 都 是 白 球 的 概 率 1 2 3 1 1 507(1 )14 14 2744P C     ---------------------------12 分 12. 一个口袋中装有 n 个红球（ 5n  且 n N ）和 5 个白球，一次摸奖从中摸两个球，两 个球颜色不同则为中奖． （Ⅰ）试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ； （Ⅱ）若 5n  ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； 解：（Ⅰ）一次摸奖从 5n  个球中任选两个，有 2 5nC  种， 它们等可能，其中两球不同色有 1 1 5nC C 种，………………………2 分 一次摸奖中奖的概率 10 ( 5)( 4) np n n    ．………………………4 分 （Ⅱ）若 5n  ，一次摸奖中奖的概率 5 9p  ,………………………6 分 三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是 1 2 3 3 80(1) (1 ) 243P C p p     ． ………………………8 分 14. 在 2008 年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。 已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的 3 倍，汽车票随时都能买到。 若先去买火车票，则买到火车票的概率为 0.6，买不到火车票，再去买汽车票。 （I）求这名大学生先去买火车票的概率； （II）若火车票的价格为 120 元，汽车票的价格为 280 元，设该大学生购买车票所花费 钱数为  求, 的期望值。 解：（I）设先去买火车票的概率为 P（A），先去买汽车票的概率为 P（B）， 则由条件可知           .25.0)( ,75.0)( .1)()( ),(3)( BP AP BPAP BPAP 解之得 即先去买火车票的概率为 0.75. …………4 分 （II）解：该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为 .45.06.075.0  …………6 分 ∴该大学生买汽车票的概率为 .55.045.01  …………8 分 设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下： ξ 120 280 P 0.45 0.55 ∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为 .20855.028045.0120)( E …………12 分 15. 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的 概率为 5 3 ，甲胜丙的概率为 5 4 ，乙胜丙的概率为 5 3 ，比赛的规则是先由甲和乙进行第 一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中， 有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III）求甲取得比赛胜利的概率. （I）解：只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为： .25 12 5 4 5 3 1 P …………4 分 （II）解：只进行两局比赛，比赛就结束的概率为： .25 18 5 3 5 2 5 4 5 3 2 P …………8 分 （III）解：甲取得比赛胜利共有三种情形： 若甲胜乙，甲胜丙，则概率为 25 12 5 4 5 3  ； 若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为 625 27 5 3 5 3 5 1 5 3  ； 若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为 .625 48 5 3 5 4 5 2 5 2  所以，甲获胜的概率为 .5 3 625 48 625 27 25 12  …………13 分 16.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 3 1 ，从 B 中 摸出一个红球的概率为 p． (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸 5 次． (i)恰好有 3 次摸到红球的概率； (ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率． (Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红 球的概率是 2 5 ，求 p 的值． 解：(Ⅰ)（ⅰ） 3 2 3 5 1 2 40 .3 3 243C             （ⅱ） 31 1 3 27      . (Ⅱ)设袋子 A 中有 m 个球，袋子 B 中有 2m 个球， 由 1 2 23 3 5 m mp m   ，得 13 30p  17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 3 2 和 4 3 。假设两人射击是否击中目标， 相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。 （Ⅰ）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率； （Ⅱ）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率； （Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的 概率是多少？ 思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从 反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有 3 次末击中目标 的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的 概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式. 解: （Ⅰ）记“甲连续射击 4 次，至少 1 次未击中目标”为事件 A1， 由题意，射击 4 次，相当于 4 次独立重复试验， 故 P（A1）=1- P（ 1A ）=1- 4)3 2( = 81 65 。 答：甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率为 81 65 (Ⅱ) 记“甲射击 4 次，恰好击中目标 2 次”为事件 A2， “乙射击 4 次，恰好击中目标 3 次”为事件 B2，则 27 8)3 21()3 2()( 2422 42  CAP ， 64 27)4 31()4 3()( 1433 42  CBP ， 由于甲、乙射击相互独立， 故 8 1 64 27 27 8)()()( 2222  BPAPBAP 。 答：两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率为 8 1 ； （Ⅲ）记“乙恰好射击 5 次后，被中止射击”为事件 A3， “乙第 i 次射击未击中” 为事件 Di，（i=1，2，3，4，5），则 A3=D5D4 3 2 1(D D D），且 P（Di） = 4 1 ， 由于各事件相互独立， 故 P（A3）= P（D5）P（D4）P（ 3 2 1(D D D）） = 4 1 × 4 1 × 4 3 ×（1- 4 1 × 4 1 ） = 1024 45 ， 答：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是 1024 45 。 18. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测，设 各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 5 12 ，至少一项技 术指标达标的概率为 11 12 ．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品. （Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？ （Ⅱ）任意依次抽出 5 个零件进行检测，求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少？ （Ⅲ）任意依次抽取该种零件 4 个，设 表示其中合格品的个数，求 E 与 D . 解：（Ⅰ）设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 1P 、 2P 由题意得： 1 2 1 2 1 2 5(1 ) (1 ) 12 111 (1 ) (1 ) 12 P P P P P P               解得： 1 2 3 2,4 3P P  或 1 2 2 3,3 4P P  ，∴ 1 2 1 2P PP  . 即，一个零件经过检测为合格品的概率为 1 2 . （Ⅱ）任意抽出 5 个零件进行检查，其中至多 3 个零件是合格品的概率为 5 5 4 5 5 5 1 1 131 2 2 16C C            （Ⅲ）依题意知 ～B(4, 1 2 )， 14 22E    ， 1 14 12 2D     19. 从甲地到乙地一天共有 A、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内 A 班车正点到 达乙地的概率为 0.7，B 班车正点到达乙地的概率为 0.75。 （1）有三位游客分别乘坐三天的 A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达 的概率（答案用数字表示）。 （2）有两位游客分别乘坐 A、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有 1 人正点到达的概 率（答案用数字表示）。 解：（1）坐 A 班车的三人中恰有 2 人正点到达的概率为 441.03.07.0)2( 122 33  CP ………………（6 分） （2）记“A 班车正点到达”为事件 m，“B 班车正点到达”为事件 n 则两人中至少有一人正点到达的概率为 )()()( nmpnmpnmPP  =0.7×0.75+0.7×0.25+0.3×0.75 =0.525+0.175+0.225=0.925………………（12 分） 20．某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则 是：盒子中装有 8 张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”， 要求 4 人中一组参加游戏，参加游戏的 4 人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽 2 张，抽取后不 放回，直到 4 人中一人一次抽到 2 张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。 （1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中 任抽 2 张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为 25 28 ，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？ （2）现有甲、乙、丙、丁 4 人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用 表示 4 人中 的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求 的概率分布及 的数学期望。 解：（1）设盒子中有“会徽卡”n 张，依题意有， 28 251 2 8 2  C Cn 解得 n=3 即盒中有“会徽卡”3 张。……4 分 （2）因为 表示某人一次抽得 2 张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数， 所以 的所有可能取值为 1，2，3，4，……4 分 14 5)1( 2 8 2 5  C CP  ； 7 2)2( 2 6 2 4 2 8 1 5 1 3 2 6 2 5 2 8 2 3  C C C CC C C C CP  ； 14 3)3( 2 4 2 3 2 6 1 4 1 2 2 8 1 5 1 3 2 4 2 4 2 6 2 2 2 8 1 5 1 3 2 4 2 4 2 6 1 5 1 1 2 8 2 3  C C C CC C CC C C C C C CC C C C CC C CP  ； 7 1)4( 2 2 2 2 2 4 1 3 1 1 2 6 1 4 1 2 2 8 1 5 1 3  C C C CC C CC C CCP  ， 概率分布表为：  1 2 3 4 P 14 5 7 2 14 3 7 1 ……10 分  的数学期望为 7 15 7 1414 337 2214 51 E 。……12 分 21. 规定 10 条鱼养在一水池中，其中 6 条鲫鱼，4 条鲤鱼，某人每天随机从水中取出 3 条 鱼进行观察。 （I）若此人将 3 条鱼一次取出，求取出的 3 条鱼中两种鱼均出现的概率； （II）若此人将 3 条鱼分 3 次取出，每次取出观察后又放回水池中，求第二次、第三次均取 到鲤鱼的概率。 解：（I）记“一次取出 3 条鱼，其中两种鱼均出现”为事件 A， 则 1 2 2 1 6 4 6 4 3 10 4( ) 5 C C C CP A C   （II）记“每次取出鱼后被放回，在三次取鱼中，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件 B， “每次取出鱼后放回，第一次取到鲫鱼，第二次、第三次均取到鲤鱼”为事件 B1，“每次取 出鱼后放回，三次均取到鲤鱼“为事件 B2，则： 2 1 6 4( ) ( ) ,10 10P B   3 2 4( ) ( ) ,10P B  2 1 2 4 4( ) ( ) ( ) ( )10 25P B P B P B     。 22. 现有编号分别为1, 2 , 3, 4 , 5 的五个不同的物理题和编号分别为 6 , 7 , 8 , 9 的四个不同 的化学题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号 ( , )x y 表示事件“抽到的两题的编号分别为 x 、 y ，且 x y ”． （1）共有多少个基本事件？并列举出来； （2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于 17 但不小于 11 的概率． 解:（Ⅰ）共有36个等可能性的基本事件，列举如下： )2,1( ， )3,1( ， )4,1( ， )5,1( ， )6,1( ， )7,1( ， )8,1( , )9,1( ， )3,2( ， )4,2( ， )5,2( ， )6,2( ， )7,2( ， )8,2( , )9,2( ， )4,3( ， )5,3( ， )6,3( ， )7,3( ， )8,3( , )9,3( ， )5,4( ， )6,4( ， )7,4( ， )8,4( , )9,4( ， )6,5( ， )7,5( ， )8,5( , )9,5( ， )7,6( ， )8,6( , )9,6( ， )8,7( , )9,7( ， )9,8( ………………6 分 （Ⅱ）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于17 但不小于11”为事件 A . 即事件 A 为“  , 1,2,3,4,5,6,7,8,9x y  ，且 x y   11,17 ，其中 yx  ”， 由（1）可知事件 A 共含有15个基本事件，列举如下： )9,2( ， )8,3( , )9,3( ， )7,4( ， )8,4( , )9,4( ， )6,5( ， )7,5( ， )8,5( , )9,5( ， )7,6( ， )8,6( , )9,6( ， )8,7( , )9,7( ………………10 分 12 5 36 15)(  AP . ………………12 分 答：（Ⅰ）共有36 个基本事件；（Ⅱ）G 同学所抽取的两题的编号之和不小于11且小于17 的 概率为 12 5 . 22.盒中装有 7 个零件，其中 2 个是使用过的，另外5 个未经使用. （Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3 次抽取中恰有1次 抽到使用过的零件的概率； （Ⅱ）从盒中随机抽取 2 个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为 X ， 求 X 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件 A ， 则 2( ) 7P A  . ……………………………………………2 分 所以 3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率 1 2 3 2 5 150C ( )( )7 7 343P   . ……5 分 （Ⅱ）解：随机变量 X 的所有取值为 2,3,4 .…………………………………7 分 2 2 2 7 C 1( 2) C 21P X    ； 1 1 5 2 2 7 C C 10( 3) C 21P X    ； 2 5 2 7 C 10( 4) C 21P X    .………10 分 所以，随机变量 X 的分布列为: X 2 3 4 P 1 21 10 21 10 21 ………………11 分 1 10 10 242 3 421 21 21 7EX        . ………………12 分 23.将编号为 1,2,3,4，5 的五个同质量的小球，随机地放入编号为 1,2,3,4,5 的五个小盒中， 每盒仅放一个小球，若第 i(i=1,2,3,4,5)号小球恰好放入第 i 号小盒，则称其为一个匹对， 用 表示匹对的个数。（1）求第 3 号小球恰好放入第 3 号小盒的概率。 （2）求 1 号小球不落入 1 号小盒且 5 号小球也不落入 5 号小盒的概率。 （3）求匹对的个数 的分布列和数学期望 E . 1）第 3 号小球恰好放入第 3 号小盒记为时间 A，则 P(A)= 4 4 5 5 1 5 A A  ……3 分 （2）1 号小球不落入 1 号小盒且 5 号小球不落入 5 号小盒的事件记为 B， 则 P(B)= 5 4 3 5 4 3 5 5 2 13 20 A A A A    ……3 分 （3） 3 5 5 5 5 5 1 1 1( 5) ; ( 3)120 12 CPA A        可取0，1,2,3,5，则P 2 1 5 5 5 5 5 5 2 91 3( 2) ; ( 1) ;6 8 3 1 1 1 11( 0)=1- 8 6 12 120 30 C CP PA A P                 的分布列为：  0 1 2 3 5 P 11 30 3 8 1 6 1 12 1 120 E =1 ……6 分。 24.知汕头市某学校高中部某班共有学生 50 人，其中男生 30 人，女生 20 人，班主任决定用 分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取 5 人进行高考前心理调查。 (Ⅰ)若要从这 5 人中选取 2 人作为重点调查对象，求至少选取 1 个男生的概率； (Ⅱ)若男学生考前心理状态好的概率为 0.6，女学生考前心理状态好的概率为 0.5， 表示抽取的 5 名学生中考前心理状态好的人数，求 P( =1)及 E ． 解：（1）男生被抽取人数为 3 人，女生被抽取人数为 2 人. 选取的两名学生都是女生的概率 10 1 2 3 2 2  C CP ,所求的概率为 10 91  P . （2） 104.05.04.05.04.06.0)1( 231 2 221 3  CCP  . 用 1 表示 3 个男生中考前心理状态好的人数， 2 表示 2 个女生中考前心理状态好的人数， 则 分，，于是 分 13..........................15.028.16.03 11................................),........5.0,2(~),6.0.3(~ 21 21    EE BB ∴ 8.221   EEE . 法二： 的可能取值为 0、1、2、3、4、5. P( =0)= 分9 016.05.04.0 23  分10 104.0)1( P 分11268.04.05.05.04.06.05.04.06.0)2( 322 2 21 2 21 3 222 3  CCCCP  分12342.05.04.06.05.04.06.05.06.0)3( 22 2 21 3 21 2 22 3 233 3  CCCCCP  分13216.05.04.06.05.06.0)4( 22 2 22 3 21 2 33 3  CCCCP  054.05.06.0)5( 23 P E =2.8 27．（本小题满分 12 分） 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科目 B 的考 试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加 这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ，科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 1 2 . 假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为  ，求  的数学期望 E  . 解：设“科目 A 第一次考试合格”为事件 1A ，“科目 A 补考合格”为事件 2A ；“科目 B 第一 次考试合格”为事件 1B ，“科目 B 补考合格”为事件 2B (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 1 1A B ,注意到 1A 与 1B 相互独立， 则 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) 3 2 3P A B P A P B     . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 1 3 . (Ⅱ)由已知得， ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 1 1 1 2( 2) ( ) ( )P P A B P A A     2 1 1 1 1 1 4 .3 2 3 3 3 9 9        1 1 2 1 1 2 1 2 2( 3) ( ) ( ) ( )P P A B B P A B B P A A B          2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ,3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3              1 2 2 2 1 2 1 2( 4) ( ) ( )P P A A B B P A A B B         1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ,3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9            故 4 4 1 82 3 49 9 9 3E        ， 答：该考生参加考试次数的数学期望为 8 3 . 28．（本小题满分 12 分） 三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为 1 1 1, , ,5 4 3 且他们是否破译 出密码互不影响。 (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率； (Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. 解：记“第 i 个人破译出密码”为事件 ( 1,2,3)iA i  ，依题意有 1 2 3 1 1 1( ) , ( ) , ( ) ,5 4 .3P A P A P A   且 1 2 3, ,A A A 相互独立. （Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件 B ，则有 1 2 3 1 2 3 1 2 3B A A A A A A A A A   且 1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,A A A A A A A A A 彼此互斥 于是 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P B P A A A P A A A P A A A   ＝ 3 1 4 1 5 4 3 1 4 3 5 1 3 2 4 1 5 1  ＝ 20 3 . 答：恰好二人破译出密码的概率为 20 3 . （Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件 D . 1 2 3D A A A   ，且 1A ， 2A ， 3A 互相独立，则有 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P D P A P A P A   ＝ 3 2 4 3 5 4  ＝ 5 2 . 而 3( ) 1 ( ) 5P C P D   ，故 ( ) ( )P C P D . 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 38.(辽宁理 18) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下表所示 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 ⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; ⑵已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, 表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),以 上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 的分布列和数学期望. 解（Ⅰ）周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3． （Ⅱ） 的可能值为 8，10，12，14，16，且 P（ =8）=0.22=0.04，P（ =10）=2×0.2×0.5=0.2，P（ =12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P（ =14）=2×0.5×0.3=0.3，P（ =16）=0.32=0.09．  的分布列为  8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 E =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 40.(全国Ⅰ理 20（本小题满分 12 分） 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果 呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任 取 1 只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望．（文科不求） 解：（Ⅰ）分别用 iA 、 iB 表示依甲、乙方案需要化验i 次，则： 1 2 1 4 1 1( ) , ( )5 5 4 5P A P A    , 3 4 3 1 1( ) 5 4 3 5P A     , 4 4 3 2 2( ) 5 4 3 5P A     次数 1 2 3 4 概率 0.2 0.2 0.2 0.4 3 2 1 4 4 1 2 3 3 1 5 5 3 2 3 1( ) 0.65 5 3 C C CP B C C C        2 1 4 2 3 3 1 5 3 3 2( ) 0.45 3 C CP B C C      次数 2 3 概率 0.6 0.4 ( ) ( 2 2 ( 3 0.2 0.6 0.6 0.72P A P P     甲 乙 ） 甲 次及以上） ． （Ⅱ） 表示依方案乙所需化验次数， 的期望为 2 0.6 3 0.4 2.4E      ． 43.（山东理 18）（本小题满分 12 分） 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答 错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 2 3 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 2 2 1 3 3 2 ，， ，且 各人回答正确与否相互之间没有影响．用 表示甲队的总得分． （Ⅰ）求随机变量 的分布列和数学期望； （解：（Ⅰ）解法一：由题意知， 的可能取值为 0，1，2，3，且 3 0 3 2 1( 0) 1 3 27P C         ， 2 1 3 2 2 2( 1) 13 3 9P C          ， 2 2 3 2 2 4( 2) 13 3 9P C                ， 3 3 3 2 8( 3) 3 27P C        ． 所以 的分布列为  0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27  的数学期望为 1 2 4 80 1 2 3 227 9 9 27E          ． 解法二：根据题设可知， 2~ 3 3B      ， ， 因此 的分布列为 3 3 3 3 2 2 2( ) 13 3 3 k k k k kP k C C                 ， 01 2 3k  ，，，． 因为 2~ 3 3B      ， ，所以 23 23E    ． 47.（四川理 18）（本小题满分 12 分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且 购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （Ⅰ）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分 布列及期望。 解：记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品， 记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品， 记C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记 D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种， （Ⅰ）C A B A B       P C P A B A B       P A B P A B           P A P B P A P B    0.5 0.4 0.5 0.6    0.5 （Ⅱ） D A B     P D P A B     P A P B  0.5 0.4  0.2    1 0.8P D P D   （Ⅲ）  3,0.8B  ，故 的分布列   30 0.2 0.008P       1 2 31 0.8 0.2 0.096P C        2 2 32 0.8 0.2 0.384P C        33 0.8 0.512P     所以 3 0.8 2.4E    49.（天津理 18）（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 2 1 与 p ，且乙投球 2 次 均未命中的概率为 16 1 . （Ⅰ）求乙投球的命中率 p ； （Ⅱ）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B； 由题意得      16 111 22  pBP ，解得 4 3p 或 4 5（舍去），所以乙投球的命中率为 4 3 （Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知         4 1,4 3,2 1,2 1  BPBPAPAP ，  可能的取值为 0，1，2，3，故       32 1 4 1 2 10 2      BBPAPP              32 7 2 1 4 1 4 324 1 2 1 32 1 4 1 2 11 2 2 1 2           APBPBPCBBPAPP        32 9 4 3 2 13 2      BBPAPP          32 1531012   PPPP  的分布列为  0 1 2 3 P 32 1 32 7 32 15 32 9  的数学期望 232 9332 15232 7132 10 E 51.（浙江理 19）（本题 14 分） 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的 概率是 5 2 ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 9 7 。 （Ⅰ）若袋中共有 10 个球， （i） 求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 的数学期望 E 。 （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 10 7 。并指出袋中哪 种颜色的球个数最少。 解：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 A， 设袋中白球的个数为 x ，则 2 10 2 10 7( ) 1 9 xCP A C    ，得到 5x  ．故白球有 5 个． （ii）随机变量 的取值为 0，1，2，3，分布列是  0 1 2 3 P 1 12 5 12 5 12 1 12  的数学期望 232 9332 15232 7132 10 E