【精品】人教版 九年级下册数学 27

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第 1 页 共 10 页 27.3 位 似 第 2 课时 平面直角坐标系中的位似 学习目标：1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系． 2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后， 点的坐标变化的规律. (重点、难点) 3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的异同，并能在复杂图形中找出这些变 换. 自主学习 一、知识链接 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形 叫做 ，这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于 ， 对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 位似的基本模型： 第 2 页 共 10 页 合作探究 一、要点探究 探究点 1：平面直角坐标系中的位似变换 观察 1 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．以原点 O 为位似中心，相 似比为 3 1 ，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化. 回答 1 如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )， B' ( ， )；A" ( ， )，B" ( ， ). 观察 1 △AOC 三个顶点坐标分别为 A (4，4)，O (0，0)，C (5，0)，以点 O 为位似中 心，相似比为 2，将△AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化. 回答 2 如图，把 △AOC 放大后 A，O，C 的对应点为 A' ( ， )，C' ( ， )；A" ( ， )，C" ( ， ). 思考 1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 2.所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如 果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 第 3 页 共 10 页 【要点归纳】1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其 对应顶点的坐标的比为－k．（位似中的相似比 k 一般指新图形与原图形的比） 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1 时，图形缩小为原来的 k 1 ． 【针对训练】1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为 位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 2 1 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标 为( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， 3 2 )，C′ ( 3 2 ， 3 1 )，则 △A′B′ C′ 与 △ABC 的位似比是 . 【典例精析】 例 1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2， 0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 2 3 . 【提示】画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 第 4 页 共 10 页 的坐标为       2 342 32 ， ，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标. 【针对训练】在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)， B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四 边形 OABC 的相似是 2 : 3. 探究点 2：平面直角坐标系中的图形变换 思考 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间 的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 【针对训练】将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生 的变化．（每个小方格的长度为 1 个单位长度） (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 在点 C 的左侧，以 点 C 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍； (4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针旋转 180°． 第 5 页 共 10 页 二、课堂小结 当堂检测 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点 弄脏了，则 E 点坐标为 ( ) A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) 第 6 页 共 10 页 第 2 题图 第 3 题图 3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 . 4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是 对应点，△ABC 的面积是 2 3 ，则 △A′B′C′的面积是 . 5. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中 心，将这个三角形放大为原来的 2 倍． 6. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). (1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC 的位似图形 △A′B′C′； (2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标. 7. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，点 B 的坐标为 (4，0). (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度后得△A1O1B1，则点 A1 的坐标为 ， △A1O1B1 的面积为 ； (2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°后得 △A2O2B2，则点 A2 的坐标为 ； 第 7 页 共 10 页 (3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的坐标为 ； (4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B4 在 x 轴 负半轴上，则点 A4 的坐标为 ，△A4O4B4 的面积为 . 拓展提升： 8. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1， －1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 ． 【分析】此时两个正方形位似，但未指明对应的点，因此需要分类讨论 参考答案 自主学习 一、知识链接 1. 位似图形 位似中心 相似比 平行或在同一条直线上 2. 解：看它的对应点的连线是否交于一点 3. 解：过位似中心与其他各个顶点各作一条直线，按位似比在直线截取对应长度的线段， 依次连接. 合作探究 一、要点探究 探究点 1：平面直角坐标系中的位似变换 第 8 页 共 10 页 回答 1 2 1 2 0 -2 -1 -2 0 回答 2 8 8 10 0 -8 -8 -10 0 【针对训练】1. D 2.1:3 【典例精析】 例 1 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3， 0)，O (0，0).顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形. 【针对训练】解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 3 2 ；在平面直角坐标系中描 点 O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 3 2 ；在平面直角坐标系中描点 O (0，0)， A″ (-4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接 O，A″，B″，C″. 探究点 2：平面直角坐标系中的图形变换 【针对训练】解：（1）如图中红色三角形，横坐标不变，纵坐标加 3； （2）如图中蓝色三角形，纵坐标互为相反数； （3）如图中粉色三角形，C 不变，A 横纵坐标均为-2，B 的横坐标－1，纵坐标+1. （4）如图中绿色三角形，C 不变，A 的横纵坐标均加 4，B 的横坐标加 2，纵坐标-2. 第 9 页 共 10 页 当堂检测 1. C 2. A 3. (-2a，-2b) 4. 6 5. 解：点的坐标为 A' (4，－4)，B' (8，－10)，C' (10，－4)；A″ (－4，4)，B″ (－8，10)， C″ (－10，4). 6. 解：（1）如图所示. （2）△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4). 7. (1) （2,4） 8 (2) （-4，-3） (3) （3，-4） (4) （-6，-8） 32 拓展提升： 8. (1，0) 或 (－5，－2) 第 10 页 共 10 页